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LES SUITES - DEVOIR
EXERCICE 1
L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année.
· Pierre possède 500 euros d'économies le 1er janvier. Il décide d'ajouter 50 euros le 27 de chaque mois.
· Emilie ne possède que 400 euros d'économies le 1er janvier, mais elle décide d'augmenter ses économies de 10 % le 27 de chaque mois.
1) Cas de Pierre :
On note la somme initiale reçue le 1er janvier, et la somme disponible à la fin du nième mois.
a) Montrer que la suite () correspondante est arithmétique : précisez sa raison et son terme initial
b) Exprimer en fonction de
c) Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l'année.
d) Calculer le taux d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre 2) Cas de Emilie :
On note la somme initiale reçue le 1er janvier, et la somme disponible à la fin du nième mois.
a) Montrer que la suite () correspondante est géométrique : précisez sa raison et son terme initial
b) Exprimer en fonction de
c) Calculer la somme dont dispose Emilie à la fin de l'année.
d) Calculer le taux d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre 3) Comparaison des deux cas :
A l’aide de la calculatrice, déterminer à la fin duquel mois les économies d’Emilie deviennent supérieures à celles de Pierre.
EXERCICE 2
L’élève souhaite estimer le nombre de plombémies pour l’année 2010. Pour cela, elle considère que le nombre de plombémies baisse de 11% par année à partir de 2005.
Elle modélise alors cette évolution par une suite géométrique de terme général où désigne un entier naturel et représente le nombre de plombémies de l’année (2005 + ).
On a alors = 9 029
1. a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,89.
b. Calculer . On arrondira à l’unité.
2. a. Exprimer en fonction de .
b. Calculer alors le nombre de plombémies que l’élève peut estimer pour l’année 2010. On arrondira le résultat à l’unité.
3. On rappelle le résultat suivant :
Si () est une suite géométrique de premier terme et de raison avec ≠ 1, alors : + + + ⋯ + = ×1 −
1 −
a. Calculer, pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l’élève peut obtenir avec sa modélisation. On arrondira le résultat à l’unité.
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EXERCICE 3
Le tableau ci-dessous donne les dépenses de soins hospitaliers pour les années 2008 à 2010 en milliards d’euros en France.
Années 2008 2009 2010
Dépenses de soins hospitaliers en milliards d’euros 76,2 76,1 81,2 Source : DREES, comptes de la santé.
1. Calculer le pourcentage d’évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009.
2. Les prévisions de dépenses font apparaître une augmentation annuelle de 2% des dépenses de soins hospitaliers à partir de l’année 2010.
On note, pour tout entier naturel , le montant des dépenses de soins hospitaliers en milliards d’euros pour l’année (2010 + ). On a donc = 81,2.
a. Calculer et . On arrondira à 10!près.
b. Quelle est la nature de la suite () ? Préciser sa raison.
c. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .
3. Calculer l’estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l’année 2015.
4. On utilise un tableur pour calculer le montant des dépenses de soins hospitaliers.
A B C D E F G H I J K L M N
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 81,2
Quatre formules sont proposées à saisir en C2 puis à recopier vers la droite.
Une seule est exacte. Indiquer, sur la copie, la réponse choisie.
a. =B2∗1,02ˆC1 b. =B2∗1,02 c. =B2∗0,02 d. =$B$2∗1,02 5. a. Résoudre, pour t réel, l’équation
81,2 × 1,02" ≥ 100.
b. En déduire une estimation de l’année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100 milliards d’euros.
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CORRECTION
Exercice 1
1) Cas de Pierre
Chaque mois Pierre ajoute une somme fixe à ses économies, on a donc une relation de la forme =+ $
Avec le 1er terme = 500 et la raison $ = 50 Soit =500 + 50
A la fin de l’année, il dispose de =+ 1 × $
⇔ =500 + 1 × 50
⇔ =550 550 − 500
500 × 100 = 10
Entre le 1er janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%.
2) Cas d’Emilie
Chaque mois Emilie ajoute un pourcentage à ses économies, on a donc une relation de la forme =×
Avec le 1er terme = 400 et la raison = '1 +( = 1,1 Soit = 400 × (1,1)
A la fin de l’année, il dispose de = 400 × (1,1)
⇔ = 400 × 1,1
⇔ =440 440 − 400
400 × 100 = 10
Entre le 1er janvier et le 31 décembre, ses économies ont augmenté de 10%.
3) Comparaison des deux cas Cela équivaut à résoudre ≥
Economie de Pierre
=+ 1 × 50 = 500 + 50 = 550 =+ 2 × 50 = 500 + 2 ∗ 50 = 600 +=650
… ,=950 =1000
Economie d’Emilie
=× (1,1)= 400 × 1,1 = 440 = × (1,1)= 400 × 1,21 = 484 += 532,4
… ,≈943,17 ≈1037,4
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Les économies d’Emilie deviennent supérieures à celles de Pierre à la fin du mois d’octobre.
EXERCICE 2 1.a.
Une baisse de 11% correspond à un coefficient multiplicateur de : 1 − 11
100 = 0,89
La suite étant géométrique, on passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre qui est la raison.
La raison est donc 0,89.
b. = 9 029 × 0,89 ≈ 8 036 2.a. = ×
= 9 029 × 0,89
b. L’année 2010 correspond à 0
0= 9 029 × 0,890
⇔ 0 ≈ 5 042
Le nombre de plombémies que l’élève peut estimer pour l’année 2010 est de 5 042.
3. a. L’année 2009 correspond à 1
D3où 6 = + + + 1
⇔ 6 = ×1 − 1 1 −
⇔ 6 = 9 029 ×1 − 0,890 1 − 0,89
⇔ 6 ≈ 36 247
Pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total T de plombémies que l’élève peut obtenir avec sa modélisation est de 36 247.
Exercice 3
1. Valeur finale − Valeur initiale
Valeur initiale = 79,1 − 76,2
76,2 = 0,03806 Soit 3,81%
Le pourcentage d’évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009 est de 3,81%.
2.
La hausse de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + = 1,02 a. = 81,2 × 1,02 ≈ 82,82
= 82,82 × 1,02 ≈ 84,48
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b. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par le même nombre 1,02, qui est la raison. La suite () est une suite géométrique de raison est 1,02 et de premier terme 81,2.
c. = × 1,02
⇔ = 81,2 × 1,02
3. L’estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l’année 2015 est 0. 0= 81,2 × (1,02)0≈ 89,65
4.
Réponse b.
5. a.
81,2 × 1,02" ≥ 100
⇔ 1,02" ≥ 100
⇔ 1,02" ≥81,21,231527
⇔ > log 1,02 ≥ log1,231527
⇔ > ≥log1,231527
log 1,02
⇔ > ≥ 10,52
L’ensemble des solutions de l’inéquation est [10,52 ; +1[.
b. L’année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100 milliards d’euros est 2021 (2010 + 10,52).
