() dsv dlc cdt = nds − dl = ( n − 1) dl + nds − ndl ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dt = − ∫ ∫ € €

(1)

Propagation atmosphérique

•  Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques:

–  Dans le vide = c

–  Dans l’atmosphère = v (avec v < c)

–  Rapport n = c/v = index de réfraction du milieu > 1

•  Par conséquent, les signaux GPS subissent un retard lorsqu’ils se

propagent dans l’atmosphère = différence entre le trajet réel S et la ligne droite L dans le vide:

•  En terme de distance, en multipliant par c:

€

dt = ds v

∫ S ⁻ ∫ _L ^dl _c

€

cdt = nds

∫ S ⁻ ∫ L ^dl ⁼ ∫ L ⁽ⁿ ⁻ ^1)dl ⁺ ( ∫ S ^nds ⁻ ∫ L ^ndl )

Allongement dû à la courbure du rai: négligeable

Allongement dû à la différence

de vitesse de propagation (n≠1)

(2)

Réfraction ionosphérique

•  Index de réfraction ionosphérique = fonction de la fréquence de l’onde incidente f

et de la fréquence de résonnance du plasma ionosphérique f _p : légèrement différent de l’unité, peut être approximé (en négligeant les termes d’ordres supérieurs) par:

•  La fréquence de résonance du plasma f

_p

vaut ~10-20 MHz – les fréquences

porteuses GPS ont été choisies pour minimiser leur atténuation en prenant f ₁ ^and f ₂ >> fp .

•  On a aussi:

où N(z) est la densité électronique (fonction de l’altitude z ), q

_e

et m _e la charge et masse de l’électron. L’indice de réfraction n _ion peut donc s’écrire:

€

n _ion = 1 − f _p ² 2 f ²

€

f _p ² = N ( z)q _e ² π m _e

€

n(z) = 1 − N (z)q _e ²

2 π m _e f ²

(3)

Réfraction ionosphérique

•  L’allongement du trajet dans l’ionosphère est (z = altitude):

•  Le délai correspondant, induit par la réfraction dans l’ionosphère est donc:

avec A = 40.3 m

³

.s

^-2

(en remplaçant q

_e

et m

_e

par leurs valeurs numériques) et IEC = contenu intégré en électrons (le long du trajet satellite-récepteur)

•  Par conséquent::

•  I = 3-70 ns => Δ L = 1-20 m (au zenith)

•  Délai ionosphérique proportionnel à la densité d’électron intégrée le long du rai, soit, pour les deux fréquences GPS:

€

I = 1 c

N (z)q

_e²

2 π m

_e

f

²

dz

rec

∫

sat

⁼ _cf ^A

²

∫

_rec^sat

^N ^(z)dz ⁼ _cf ^A

²

^IEC

€

I

₁

= A

cf

₁²

IEC et I

₂

= A

cf

₂²

IEC

€

ΔL _ion = ∫ _sat ^rec ( n(z) − 1 ) ^dz

(4)

Réfraction ionosphérique

•  Les équations de phase pour L1 et L2 sont (en cycles):

•  Ecrivons la combinaison linéaire suivante des observables ϕ ₁ et ϕ ₂ :

•  Notons que: (car I ₁ et I ₂ proportionnels à IEC )

•  D’où:

€

ϕ

₁

= f

₁

c ρ + f

₁

Δt + f

₁

I

₁

+ f

₁

T − N

₁

ϕ

₂

= f

₂

c ρ + f

₂

Δt + f

₂

I

₂

+ f

₂

T − N

₂

€

I ₁

I ₂ = f ₂ ² f ₁ ²

€

ϕ _LC = f ₁ ² f ₁ f ₁ ² − f ₂ ²

f ₂ ²

f ₁ ² I ₂ − f ₁ f ₂ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ + ... ⇔ ϕ _LC = f ₁ f ₂ ²

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ − f ₁ f ₂ ² f ₁ ² − f ₂ ² I ₂

= 0

! # # # # " # # # # $ + ...

€

ϕ _LC = f ₁ ²

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₁ − f ₁ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₂ ⇒ ϕ _LC = f ₁ ² f ₁

f ₁ ² − f ₂ ² I ₁ − f ₁ f ₂ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ + ...

(5)

Réfraction ionosphérique

•  La combinaison linéaire ϕ _LC : est donc indépendante du délai ionosphérique:

•  Par conséquent:

–  Utilisation de GPS bi-fréquence pour minimiser l’effet de l’ionosphère –  Mais ϕ

LC

est ~3 fois plus bruitée que ϕ

1

ou ϕ

2

–  Premier ordre du délai corrigé seulement – impact du second ordre non négligeable…

•  Dans le cas de récepteurs mono-fréquence:

–  Modèle « climatologique » empirique: termes contenus dans les éphémérides radio-diffusées, corrige 50-60% du délai

–  Se cantonner à des lignes de base courtes (< 10 km)

€

ϕ _LC = f ₁ ²

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₁ − f ₁ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₂

⇒ ϕ _LC = 2.546 × ϕ ₁ − 1.984 × ϕ ₂

(6)

Réfraction ionosphérique

•  Notons au passage que la combinaison linéaire suivante des observables ϕ

₁

et ϕ

₂

annule les termes géométriques:

•  Puisque:

•  On a donc:

•  Les observables GPS ϕ

₁

et ϕ

₂

permettent donc de mesurer facilement le contenu électronique intégré (à une constante près) le long du trajet récepteur-satellite.

€

I

₂

− I

₁

= A( f

₁²

− f

₂²

) f

₁²

f

₂²

IEC

€

ϕ

₂

− f

₂

f

₁

ϕ

₁

= f

₂

c (I

₂

− I

₁

) (+ N )

€

ϕ

₂

− f

₂

f

₁

ϕ

₁

= f

₂

c

A( f

₁²

− f

₂²

) f

₁²

f

₂²

IEC

⇒ IEC = ϕ

₂

− f

₂

f

₁

ϕ

₁

%

&

' (

) * × cf

₁²

f

₂

A( f

₁²

− f

₂²

)

(7)

Réfraction ionosphérique

•  On peut montrer que la combinaison linéaire suivante est indépendante du délai ionosphérique:

•  Par conséquent: utilisation de GPS bi-fréquence pour minimiser l’effet de l’ionosphère

•  On peut montrer que la combinaison linéaire suivante des observables ϕ

1

et ϕ

2

annule les termes géométriques:

•  Les observables GPS ϕ

1

et ϕ

2

permettent donc de mesurer facilement le contenu électronique intégré (à une constante près) le long du trajet récepteur-satellite.

€

ϕ _LC = f ₁ ²

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₁ − f ₁ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₂

⇒ ϕ _LC = 2.546 × ϕ ₁ − 1.984 × ϕ ₂

€

ϕ

₂

− f

₂

f

₁

ϕ

₁

= f

₂

c (I

₂

− I

₁

) (+N ) IEC = ϕ

₂

− f

₂

f

₁

ϕ

₁

"

# $ %

&

'× cf

₁²

f

₂

A( f

₁²

− f

₂²

)

et

(8)

Réfraction

ionosphérique

Carte du contenu électronique global

Perturbation ionosphérique causée par un lancement de

de fusée

(9)

Réfraction troposphérique

•  L’allongement du trajet dans la troposphère est (z = altitude):

•  On sépare généralement les contributions de l’atmosphère « sèche » (en équilibre

hydrostatique) et humide (vapeur d’eau). Pour un trajet zénithal, on a:

•  Contributions:

–  Hydrostatique ~ 200 to 230 cm au zénith au niveau de la mer

–  Humide < 40 cm au zénith au niveau de la mer –  Augmente avec l’angle d’élévation du satellite:

pris en compte par une fonction d’élévation de la forme:

€

ΔL

_trop

= ∫

_sat^rec

( n(z) − 1 ) ^dz

€

ΔL ^zen = ΔL ^zen _hydro + ΔL ^zen _wet ^GPS

antenna troposphere

ε

toward satellite

at low elevation

H _z R

Zenith delay

Slant delay

€

m( ε ) = R

H

_z

= 1 sin ε

€

m( ε ) =

1 + a

a + b 1 + c sin( ε ) + a

sin( ε ) + b sin(ε) + c

En prenant en compte la courbure de la Terre:

(10)

Réfraction troposphérique

•  Pour un trajet zénithal, le délai « sec » dépend uniquement de la pression au sol P ₀ , de la latitude du site λ et de sa hauteur ellipsoïdale H:

•  Erreur standard de ce modèle ~0.5 mm pour une mesure (simple à réaliser) de la pression au sol avec une précision de ~0.5 hPa.

€

Δ L

^zen_hydro

= ( 2.2768 ± 0.0024 × 10

⁻⁷

) _f ₍ _λ ^P

⁰

_, _H ₎

€

f ( λ , H) = 1 − 0.00266cos 2 ( ) λ ⁻ ^0.00028H

(11)

Réfraction troposphérique

•  Le délai « humide » peut se modéliser avec, par exemple:

où M _w et M _d = masses molaires de l’air sec et de la vapeur d’eau, e = pression partielle de vapeur d’eau, T = température, k ₁ ,k ₂ ,k ₃ = constantes déterminées empiriquement.

•  D’autres paramétrisations ont été proposées, mais:

–  e et T varient rapidement dans le temps et spatialement

–  Quantités difficiles a mesurer en fonction de l’altitude (ballons sondes) –  Erreur standards des modèles ~2 cm.

€

Δ L ^zen _wet = 10 ⁻⁶ k ₂ − M _w M _d k ₁

$

% &

' ( ) e

T dz + k ₃ e T ² dz

∫

+ ∫

, -

.

/ 0

(12)

Réfraction troposphérique

•  Solutions?

–  Modèle: marche bien pour le délai sec, pas le délai humide –  Corrections

•  À partir de mesures de surface

•  À partir de mesures en fonction de l’altitude: ballons sondes, radiomètres

•  À partir de modèles météo

–  Estimation:

→  On introduit une inconnue supplémentaire = délai zénithal total (+ gradient NS et EW)

→   Estimation toutes les n heures, contraintes temporelles

•  Si le délai zénithal total est estimé, et que l’on dispose d’un baromètre précis, on peut donc soustraire la contribution hydrostatique et en déduire la contribution humide.

() dsv dlc cdt = nds − dl = ( n − 1) dl + nds − ndl ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dt = − ∫ ∫ € €

Propagation atmosphérique

• Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques:

– Dans le vide = c

– Dans l’atmosphère = v (avec v < c)

– Rapport n = c/v = index de réfraction du milieu > 1

• Par conséquent, les signaux GPS subissent un retard lorsqu’ils se

propagent dans l’atmosphère = différence entre le trajet réel S et la ligne droite L dans le vide:

• En terme de distance, en multipliant par c:

€

dt = ds v

∫ S − ∫ L dl c

€

cdt = nds

∫ S − ∫ L dl = ∫ L (n − 1)dl + ( ∫ S nds − ∫ L ndl )

Allongement dû à la courbure du rai: négligeable

Allongement dû à la différence

de vitesse de propagation (n≠1)

Réfraction ionosphérique

• Index de réfraction ionosphérique = fonction de la fréquence de l’onde incidente f

et de la fréquence de résonnance du plasma ionosphérique f p : légèrement différent de l’unité, peut être approximé (en négligeant les termes d’ordres supérieurs) par:

• La fréquence de résonance du plasma f

vaut ~10-20 MHz – les fréquences

porteuses GPS ont été choisies pour minimiser leur atténuation en prenant f 1 and f 2 >> fp .

• On a aussi:

où N(z) est la densité électronique (fonction de l’altitude z ), q

et m e la charge et masse de l’électron. L’indice de réfraction n ion peut donc s’écrire:

€

n ion = 1 − f p 2 2 f 2

€

f p 2 = N ( z)q e 2 π m e

€

n(z) = 1 − N (z)q e 2

2 π m e f 2

Réfraction ionosphérique

• L’allongement du trajet dans l’ionosphère est (z = altitude):

• Le délai correspondant, induit par la réfraction dans l’ionosphère est donc:

avec A = 40.3 m

.s

(en remplaçant q

et m

par leurs valeurs numériques) et IEC = contenu intégré en électrons (le long du trajet satellite-récepteur)

• Par conséquent::

• I = 3-70 ns => Δ L = 1-20 m (au zenith)

• Délai ionosphérique proportionnel à la densité d’électron intégrée le long du rai, soit, pour les deux fréquences GPS:

€

I = 1 c

N (z)q

2 π m

f

dz

∫

= cf A

∫

N (z)dz = cf A

IEC

€

I

= A

cf

IEC et I

= A

cf

IEC

€

ΔL ion = ∫ sat rec ( n(z) − 1 ) dz

Réfraction ionosphérique

• Les équations de phase pour L1 et L2 sont (en cycles):

• Ecrivons la combinaison linéaire suivante des observables ϕ 1 et ϕ 2 :

• Notons que: (car I 1 et I 2 proportionnels à IEC )

• D’où:

€

ϕ

= f

c ρ + f

Δt + f

I

+ f

T − N

ϕ

•  Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques:

–  Dans le vide = c

–  Dans l’atmosphère = v (avec v < c)

–  Rapport n = c/v = index de réfraction du milieu > 1

•  Par conséquent, les signaux GPS subissent un retard lorsqu’ils se

•  En terme de distance, en multipliant par c:

∫ S ⁻ ∫ _L ^dl _c

∫ S ⁻ ∫ L ^dl ⁼ ∫ L ⁽ⁿ ⁻ ^1)dl ⁺ ( ∫ S ^nds ⁻ ∫ L ^ndl )

•  Index de réfraction ionosphérique = fonction de la fréquence de l’onde incidente f

et de la fréquence de résonnance du plasma ionosphérique f _p : légèrement différent de l’unité, peut être approximé (en négligeant les termes d’ordres supérieurs) par:

•  La fréquence de résonance du plasma f

porteuses GPS ont été choisies pour minimiser leur atténuation en prenant f ₁ ^and f ₂ >> fp .

•  On a aussi:

et m _e la charge et masse de l’électron. L’indice de réfraction n _ion peut donc s’écrire:

n _ion = 1 − f _p ² 2 f ²

f _p ² = N ( z)q _e ² π m _e

n(z) = 1 − N (z)q _e ²

2 π m _e f ²

•  L’allongement du trajet dans l’ionosphère est (z = altitude):

•  Le délai correspondant, induit par la réfraction dans l’ionosphère est donc:

•  Par conséquent::

•  I = 3-70 ns => Δ L = 1-20 m (au zenith)

•  Délai ionosphérique proportionnel à la densité d’électron intégrée le long du rai, soit, pour les deux fréquences GPS:

⁼ _cf ^A

^N ^(z)dz ⁼ _cf ^A

^IEC

ΔL _ion = ∫ _sat ^rec ( n(z) − 1 ) ^dz

•  Les équations de phase pour L1 et L2 sont (en cycles):

•  Ecrivons la combinaison linéaire suivante des observables ϕ ₁ et ϕ ₂ :

•  Notons que: (car I ₁ et I ₂ proportionnels à IEC )

•  D’où:

I ₁

I ₂ = f ₂ ² f ₁ ²

ϕ _LC = f ₁ ² f ₁ f ₁ ² − f ₂ ²

f ₂ ²

f ₁ ² I ₂ − f ₁ f ₂ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ + ... ⇔ ϕ _LC = f ₁ f ₂ ²

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ − f ₁ f ₂ ² f ₁ ² − f ₂ ² I ₂

ϕ _LC = f ₁ ²

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₁ − f ₁ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₂ ⇒ ϕ _LC = f ₁ ² f ₁

f ₁ ² − f ₂ ² I ₁ − f ₁ f ₂ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² I ₂ + ...

•  La combinaison linéaire ϕ _LC : est donc indépendante du délai ionosphérique:

•  Par conséquent:

–  Utilisation de GPS bi-fréquence pour minimiser l’effet de l’ionosphère –  Mais ϕ

–  Premier ordre du délai corrigé seulement – impact du second ordre non négligeable…

•  Dans le cas de récepteurs mono-fréquence:

–  Modèle « climatologique » empirique: termes contenus dans les éphémérides radio-diffusées, corrige 50-60% du délai

–  Se cantonner à des lignes de base courtes (< 10 km)

ϕ _LC = f ₁ ²

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₁ − f ₁ f ₂

f ₁ ² − f ₂ ² ϕ ₂

⇒ ϕ _LC = 2.546 × ϕ ₁ − 1.984 × ϕ ₂

•  Notons au passage que la combinaison linéaire suivante des observables ϕ

•  Puisque:

•  On a donc:

•  Les observables GPS ϕ