Lycée Rue A.Amara Hichem - Aouadi Le Kef

(1)

1

Lycée Rue A.Amara Hichem - Aouadi Le Kef

Décembre 2010

4

^e

Sc-tec

DEVOIR DE SYNTHESE N°1

Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie NB :Le sujet comporte deux pages

EXERCICE 1(3 points) Indiquer la réponse exacte

1) les solutions de l’équation ²z − − =iz 1 0sont

a) réelles b) opposées c) inverses 2) Si f est une bijection de IR sur IR et si f est dérivable en 1

avec f (1)=2etf '(1)=3 alors (f ⁻¹) '(2)= a) 1

3 b) 1

2 c) 1 '(2) f 3) si Cf admet une tangente verticale au point (1,2) alors

a) (f ⁻¹) '(2)=0 b) (f ⁻¹) '(2) 1= c) (f ⁻¹) '(2)n’existe pas EXERCICE 2(6 points)

1) a) vérifier que (3+i)²= +8 6 i

b) Résoudre l’équation (E) : ² ( 1 3 )z − − + i z − +(4 3 )i =0 2) Soit l’équation (E’) : z³+ − −( 4 3 ) ² (9 12 )i z − − i z +(20 15 )+ i =0 a) Vérifier que 5 est une solution de (E’)

b) Déterminer les réelles b et c

tels que z³+ − −( 4 3 ) ² (9 12 )i z − − i z +(20 15 )+ i =(z −5)( ²z +bz +c) c) Résoudre alors (E’)

3) Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct on donne les points A, B et C d’affixes respectives z_A = +1 2i z_B = − +2 i z_C =5

a) Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle

b) Déterminer l’affixe du point D pour que ABDC soit un carré EXERCICE 3(6points)

Soit la fonction définie sur

]

^0,^+∞

[

^par^{f x}^{( )} ¹ ^x

x

= +

1) a) Montrer que f est dérivable sur

]

^0,^+∞

[

^.

b) Vérifier que : 1

'( ) 1

2 ² f x

x x x

= −

+ c) Dresser le tableau de variation de f

2) a) Montrer que l’équation ( )f x =x admet dans

]

^0,^+∞

[

une unique solutionα ^{et que}¹< <α ²

b) Montrer que ^{∀ ∈ +∞}^x

[

^1,

[

^' ⁾ ¹

f tx ≤ 2 c) Montrer que ^{∀ ∈ +∞}^x

[

^1,

[

^{on a} ^{( )} ¹

f x − ≤α 2 x −α

(2)

2 3) a) Montrer que f réalise une bijection de

]

^0,^+∞

[

sur un intervalle I que l’on précisera

b) Expliciterf ⁻¹( )x pour x ∈I

c) Montrer que f ⁻¹est dérivable en α ^{et que}⁽^f ⁻¹^{) '( )}α = −²α³ EXERCICE 4(5points)

On donne la représentation graphique d’une fonction f et la droite D:y = +x 1 f(-1,4)=0

1) Par lecture graphique Déterminer : a) le domaine de définition de f b) lim ( )

x f x

→+∞ ; ( )

xlim f x

→+∞ x ; lim ( )

x f x x

→+∞ − ;

1

( ) ( 1, 4)

lim 1, 4

x

f x f

+ x

→−

− − + c) Le tableau de variation de f

d) Les asymptotes à Cf.

2) Soit h la restriction de f sur

]

⁻^{1, 4;1}

[

Montrer que h réalise une bijection de

]

⁻^{1, 4;1}

[

sur un intervalle J que l’on déterminera