Exercices de dynamique et vibration mécanique

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Exercices de dynamique et vibration mécanique

David Dureisseix

To cite this version:

David Dureisseix. Exercices de dynamique et vibration mécanique. Master. Dynamique des solides

-Vibrations des systèmes mécaniques, Montpellier, France. 2010. �cel-02047369�

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Auteur de la ressource p ´edagogique :

Dureisseix David

Exercices de dynamique et vibration m ´ecanique

IUP GMP – Licence STPI – Master M ´ecanique

Cr ´eation : 2002-2010

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Exercices de dynamique et vibration m ´ecanique

David Dureisseix

D épartement M écanique, Universit é Montpellier 2

Ce polycopi é est principalement un recueil d’exercices, que j’esp ère assez originaux quant à leur support d’application, r éalis és suite à l’enseignement de dynamique du solide et celui de vibration en IUP GMP puis en Licence STPI et Master M écanique à l’Universit é Montpellier 2, aujourd’hui Universit é de Montpellier, entre 2002 et 2010. Les exercices propos és ici sont issus d’exercices et de contr ôles de connaissances, et ce document vise à les proposer comme exercices d’entraˆınement personnel ; il ne contient par contre pas de cours de dynamique ni de vibration...

Ces exercices sont aussi le fruit de discussions avec les coll ègues enseignants, dont Françoise Kra-sucki ; qu’ils en soient remerci és. Certains exercices sont certainement inspir és par des sujets propos és ant érieurement à l’ENS de Cachan, aujourd’hui ENS Paris-Saclay... Je suis donc à la recherche des sources pour pouvoir les citer... Les sujets que je crois les plus originaux sont rep ér és par un ast érisque

(4)

Table des mati `eres

1 Introduction 4

2 Exercices d’application de dynamique du solide 6

1 Centrifugeuse . . . 7

2 Cycliste*. . . 8

3 Roulement haute vitesse* . . . 9

4 Effet “ r ´etro ” . . . 10

5 R écup ération d’ énergie sur bus urbain . . . 11

6 Embrayage centrifuge . . . 13

7 Equilibrage dynamique´ . . . 15

8 Etude du d ´eploiement des bras d’un satellite´ . . . 17

9 Destruction de chemin ´ees par basculement* . . . 19

10 Principe d’un syst ème de r écup ération d’ énergie : le yoyo* . . . 24

11 Freinage et acc ´el ´eration d’une motocyclette* . . . 26

3 Exercices d’application de vibration m écanique 28 12 Etude d’un acc él érom ètre*´ . . . 29

13 Micro-acc él érom ètre MEMS r ésonnant* . . . 31

14 Etude d’une corde vibrante*´ . . . 34

15 Vibrations longitudinales. . . 36

16 Amortisseur passif accord ´e de vibrations* . . . 37

17 Vibrations transversales – Calcul par m ´ethodes approch ´ees. . . 38

18 Suspension automobile : le syst `eme skyhook * . . . 39

19 Pot vibrant ´electrodynamique* . . . 42

20 VAL* . . . 45

21 Vitesse critique d’arbre en rotation . . . 47

22 La machine `a laver simplifi ´ee* . . . 48

23 Couplage a ´ero ´elastique du pont de Tacoma* . . . 49

24 Oscillations des gratte-ciel* . . . 53

25 Vibrophore et endurance de pi `eces de faible raideur*. . . 56

(5)

(6)

`

A propos du principe fondamental de la dynamique (PFD)...

Principe. Du latin principium,commencement,origine(d ´eriv ´e de princeps,premier). Dans

les sciences, proposition premi ère pos ée au fondement d’un raisonnement ou d’une d émonstration. Pour Aristote, le souci de tout d émontrer se heurte à l’impossibilit é, pour l’esprit humain, de remon-ter à l’infini dans la chaˆıne des d éductions. Il faut donc adopremon-ter, comme point de d épart de toute d émonstration, un ou plusieurs principes qui ne sont d éduits d’aucune autre proposition et qui sont eux-m êmes ind émontrables.

Dictionnaire de la philosophie, Serge Le Strat (2002)

Et pour un petit aperc¸u historique, comparer :

Se dit aussi de toutes les causes naturelles par lesquelles les corps agissent & se meuvent. Principe de mouvement. Les animaux ont le principe du mouvement en eux-mesmes, & les corps inanimez ne se meuvent que par un principe qui leur est estranger.

Dictionnaire de l’Acad ´emie franc¸aise (1694)

Se dit aussi de toutes les causes naturelles, et particuli èrement de celles par lesquelles les corps agissent et se meuvent. Le principe de la chaleur. Le principe du mouvement. On dit que les animaux ont le principe du mouvement en eux-m êmes, et que les corps inanim és ne se meuvent que par un principe qui leur est étranger.

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Exercice 1. Centrifugeuse

Le plan de situation de la centrifugeuse est donn é sur la figure1. On consid ère uniquement le sous-ensemble 1, qui est donc un solide S, en liaison pivot avec le massif-b âti R autour d’un axe vertical (O, −→z ). Le point A de S est situ é au centre de la nacelle, sur son articulation avec S. Sa position est rep ér ée de la façon suivante :−→OA = h−→z + a−→ero ù (−→er, −→eθ, −→z )est un rep ère li é à S, et θ est l’angle entre −→x et −→er.

1°) Calculer−→V (A/S),−→V (A/R),−→V (A, S/R).

2°) Calculer−→Γ (A/R).

3°) Quelle est la trajectoire de A dans S ? Quelle est celle de A dans R ?

(9)

Exercice 2. Cycliste*

On consid ère la mod élisation du v élo de la figure2. Les deux roues 1 et 2 sont suppos ées parfaite-ment rigides et de m ême diam ètre D, en liaison pivot avec le cadre 3 aux points O1et O2. Le mouvement est suppos é plan. Les roues sont en contact avec le sol aux points I1et I2. Le cadre avance avec la vitesse v−→x, les roues roulent sans glisser sur le sol.

1°) Quel est le mouvement du cadre 3 par rapport au sol 0 ?

2°) Quel est le mouvement de la roue 1 par rapport au cadre 3 ?

3°) Que signifie le roulement sans glissement au point I1?

4°) Lier la vitesse de rotation des roues par rapport au cadre, `a v.

5°) Quel est le mouvement de la roue 1 par rapport à la roue 2 ? Pour r épondre, vous calculerez le torseur cin ématique V(1/2) par composition des vitesses.

1

2

3

0

2

O

1

O

1

I

2

x

y

(10)

Exercice 3. Roulement haute vitesse*

On s’int éresse à un roulement à bille haute vitesse (application typique : les roulements de broche de machine-outil), figure3. Plus pr écis ément, on consid ère une bille en acier S (de centre O, de rayon a), en contact en I avec la bague ext érieure R, et en contact en J avec la bague int érieure S1. La position de la bille est rep ér ée par−→AO = b−→er; le rep ère (−→er, −→eθ, −→z )est un rep ère li é à la cage du roulement, non repr ésent ée ici. Il tourne par rapport à R à une vitesse de rotation ωc−→z.

La bague ext ´erieure est fixe, la bague int ´erieure tourne autour de (A, −→z )avec une vitesse de rotation ω−→z.

La bille roule sans glisser en I et J . On suppose le mouvement plan. Le torseur cin ématique de S par rapport à R est alors not é :

V(S/R) = Ω− →_z v−→eθ

O

Pour les applications num ´eriques, on prendra a = 5mm, b = 50mm, ω = 15 000 tr/min.

1°) O `u est le centre de masse G de S ?

2°) a) Pr éliminaire : si on suppose connue la vitesse v de O par rapport à R, en d éduire l’expression

de ωc.

2°) b) Montrer que Ω = 1₂(1 −_ab)ωet v = 1₂(b − a)ω. Application num ´erique.

3°) Calculer l’op ´erateur d’inertie I(G, S). Application num ´erique.

4°) Calculer le moment cin ´etique −→σ (G, S/R). Application num ´erique.

5°) Calculer le moment dynamique−→δ (G, S/R). Application num ´erique.

6°) Quelle est la r ésultante des actions m écaniques agissant sur cette bille ? Quelles sont leur origines possibles ? Application num érique.

I

O

A

J

1

S

R

S

r

e

(11)

Exercice 4. Effet “ r ´etro ”

Un effet tr `es important pour les joueurs de billard est l’effet r ´etro1_{. Pour l’illustrer, figure} ₄_{, on}

consid ère le mouvement suppos é plan d’une boule de billard S, de centre A, de rayon a, sur son tapis R avec lequel elle est en contact au point I. Par rapport à R suppos é galil éen, le point A est anim é d’une vitesse horizontale V −→x, la boule tourne avec une vitesse de rotation ω−→z (voir figure ci-dessous). Le coefficient de frottement entre le tapis et la boule est not é µ.

`

A l’instant initial, la boule est lanc ée avec adresse à une vitesse V (t = 0) = V0, ω(t = 0) = ω0. V0 et ω0sont tous deux positifs ! L’objectif est de regarder si et quand la boule est susceptible de s’arr êter, voire de rebrousser chemin.

1°) Donner l’expression de la vitesse de glissement au point I : vg(S/R).

2°) Donner les expressions des torseurs cin ´etique et dynamique du mouvement de S par rapport `a R.

3°) La pesanteur à une acc él ération g qu’on ne n égligera pas. Donner l’allure du torseur des actions m écaniques ext érieures à S agissant sur S.

4°) Tant que la vitesse de glissement est non nulle, donner les expressions des ´evolutions en temps de V (t) et ω(t).

5°) _{A quelle condition V s’annule-t-elle alors que la boule continue à glisser ? `}` _{A quel instant ceci se} produit-il ? Que vaut ω à cet instant ? D’apr ès vous, quel sera le mouvement de la boule apr ès cet instant ?

6°) Si la condition pr éc édente n’est pas v érifi ée, à quel instant la vitesse de glissement s’annule-t-elle ? Que valent alors V et ω ? D’apr ès vous, quel sera le mouvement de la boule apr ès cet instant ?

I

A

R

S

x

y

(12)

Exercice 5. R écup ération d’ énergie sur bus urbain

La fr équence de d émarrage et d’arr êt des bus urbains s’accroˆıt avec la circulation. Le co ût de fonctionnement de ces bus peut être r éduit en r écup érant l’ énergie dissip ée lors d’un freinage pour la r éutiliser au d émarrage suivant. On peut envisager plusieurs solutions de stockage temporaire de cette énergie ; nous allons nous int éresser ici à un stockage sous forme d’ énergie cin étique2_.

Un des premiers syst èmes de r écup ération d’ énergie a ét é mis au point par la soci ét é Volvo, voir figure6. Il utilise un volant d’inertie pour stocker l’ énergie. La transmission classique est remplac ée par un ensemble volant d’inertie et transmission hydrostatique pilot ée par microprocesseur (non étudi ée ici). Dans cette étude, on se propose de d éterminer quelques conditions à respecter lors de l’installation du volant d’inertie dans le bus pour r éduire les effets secondaires li és à ce volant.

Cahier des charges :

— vitesse de rotation maximale du volant : Ωmax= 8000 tr/min, — moment d’inertie du volant par rapport `a son axe : C = 15 kg· m2, — masse du volant d’inertie : m = 330 kg,

— masse totale du v ´ehicule (bus + volant) : M = 12 t.

Le rep ère Rg = (O, −→xg, −→yg, −→zg)li é à la route est suppos é galil éen.

On va s’int éresser au bus lors d’un virage, en supposant la suspension infiniment rigide (pour sim-plifier) : le mouvement du bus b est alors une rotation suivant −→zg. Le rep ère li é au bus est Rb = (B, −→xb, −→yb, −→zg)et la position du bus par rapport à la route est rep ér ée par l’angle α (figure5).

Le rep ère Rv = (G, −→xv, −→yv, −→zv) est li é au volant v, dont G est le centre de masse. (G, −→zv) est l’axe de la liaison pivot entre le volant et le bus. La position du volant par rapport au bus est rep ér ée de façon g én érale par trois angles (dits angles d’Euler) ψ, θ, φ (figure5). Les angles ψ et θ sont constants, et caract érisent la position de l’axe du volant par rapport au bus.

1°) A partir des donn ées pr éc édentes, proposez des valeurs d’encombrement pour le volant d’inertie.`

2°) Calculer l’ énergie cin étique maximale qui peut être stock ée dans le volant d’inertie. Si toute cette énergie cin étique peut être transform ée en énergie cin étique de translation du bus, quelle serait la vitesse du bus obtenue ?

3°) Donner l’expression de−→Ω (b/Rg). On note Ωn, Ωw, Ωzles composantes de − →

Ω (v/Rg)en projection sur −→n, −→w et −→zv. Donner leur expression.

Dans toute la suite, on se place dans le cas particulier suivant : le bus tourne `a vitesse constante ˙

α = ω, le volant d’inertie aussi ˙φ = Ωet sa vitesse est grande devant celle du bus Ω >> ω.

4°) Donner alors les versions simplifi ées des expressions pr éc édentes.

5°) On appelle Mn et Mwles composantes du moment en G des actions du bus sur le volant dans la liaison pivot. Donner leur expression en fonction de Ωn, Ωw, Ωz, et des donn ´ees du probl `eme, en limitant au maximum les calculs.

6°) Pour le sc énario consid ér é, que faut-il choisir d’apr ès vous comme position de l’axe du volant dans le bus ?

7°) Si cet axe avait ét é plac é transversalement (ψ = π/2, θ = 0), estimez la vitesse de rotation du bus, puis les moments dans la liaison entre le bus et le volant.

2. voir par exemple M. Hedlund al, Flywheel Energy Storage for Automotive Applications, Energies 8 :10636-10663, 2015.

(13)

z

_g

ψ

n

k

x

b

y

b

x

g

y

g

z

_g

x

b

α

y

b

θ

n

k

x

b

w

z

_v

ϕ

n

w

z

_v

x

v

y

v

FIGURE5 – Figures de calcul

FIGURE 6 – Volvo KERS system Flywheel hybrid systems http://www.racecar-engineering.com/

(14)

Exercice 6. Embrayage centrifuge

Le dispositif de la figure7repr ésente un embrayage centrifuge. L’objectif est de synchroniser l’arbre d’entr ée (3) et l’arbre de sortie (4) en pilotant l’embrayage constitu é du plateau de (4) et du disque d’embrayage (2) par la vitesse de rotation.

Pour cela, l’arbre d’entr ée est muni de 3 masses (1) en liaison glissi ère avec lui. Celle qui est repr ésent ée sur la figure a pour centre de masse G1, la liaison glissi ère est de direction −→er

−−−→

O1G1= r1−→er

Ces masses sont suppos ´ees de faible dimension (masses ponctuelles).

Ces masses sont en appui sur la partie conique du disque (2) suivant une liaison ponctuelle de normale inclin ée −→n. Le disque (2) est en liaison glissi ère par rapport à l’arbre d’entr ée, d’axe −→x. Il a une masse M2, un centre de masse O2, un moment d’inertie I2par rapport à l’axe (O2, −→x ).

−−−→ O1O2= a−→x

Le disque (2) est suppos ´e toujours en contact avec le plateau de l’arbre (4) (avec un effort presseur variable...) dont on n ´eglige l’inertie.

Dans toute la suite, on n égligera les effets de la pesanteur. Toutes les liaisons sont suppos ées parfaites (sauf le contact entre (2) et (4)). La position de l’arbre d’entr ée par rapport au b âti (liaison pivot) est rep ér ée par un angle θ3. La position de l’arbre de sortie (4) par rapport au b âti (liaison pivot) est rep ér ée par un angle θ4. Le b âti est suppos é galil éen.

α

1

O

x

er

n

2

O

1

G

1

2

4

3

(15)

1°) On appelle ω3la vitesse de rotation de l’arbre d’entr ée par rapport au b âti, et ω4celle de l’arbre de sortie. Donner l’expression de l’ énergie cin étique de l’ensemble étudi é {1,2,3,4}.

2°) En isolant une masse (1), donner l’expression de l’effort de contact N exerc ´e par (1) sur (2).

3°) Donner alors l’expression de l’effort presseur dans l’embrayage P (r ´esultante en projection sur −→x de l’action de (2) sur (4)).

Ind épendamment de ce que vous auriez pu trouver pr éc édemment, on suppose que les actions m écaniques de (2) sur (4) sont de la forme

T (2 → 4) =P − →_x C−→x O2 avec C = kω2

3 o `u k est une constante. `

A l’arbre de sortie (4), on lie un r écepteur (5) à forte inertie. Ses caract éristiques sont les suivantes :

— centre de masse G sur l’axe :−−→O1G = b−→x, — masse M

— op ´erateur d’inertie en G : I(5, G) =   I5 0 0 0 J 0 0 0 J   (−→x ,−→y ,−→z )

Dans toute la suite, on suppose que ω3est constante.

4°) En isolant (4) et le r écepteur, donner l’expression de son acc él ération angulaire ˙ω4.

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Exercice 7. ´Equilibrage dynamique

La machine repr ésent ée sur les documents de la figure9 est une machine à équilibrer les roues de v éhicules automobiles, ou plus g én éralement, les solides pour lesquels la vitesse de rotation est suffisamment élev ée pour qu’on ne puisse pas tol érer d’avoir un “balourd” trop grand. L’objectif est donc de pouvoir corriger ce balourd.

On va étudier le cas d’une roue ou d’un solide S en liaison pivot d’axe (0, −→x )avec un b âti R. Il est entraˆın é en rotation à l’aide d’un moteur qui exerce sur lui un couple C−→x en O. On rep ère sa position avec un angle θ et on note ω = ˙θsa vitesse de rotation (pas forc ément constante).

S

x

G O

FIGURE8 – Mod `ele de balourd

On ne consid èrera pas d’autres actions m écaniques ext érieures (par exemple : pas de pesanteur, pas de tension dans la poulie).

Ce solide S poss ède un “balourd”. En particulier, son centre de masse G n’est pas sur l’axe :−OG =−→ λ−→x + e−→y1. Le rep ère (−→x , −→y1, −→z1)est li é à S, il tourne donc par rapport au rep ère (−→x , −→y , −→z )li é au b âti. Sa matrice d’inertie est quant à elle quelconque (a priori, aucun des coefficients A, B, C, D, E, F n’est nul) : I(O, S) =   A −F −E −F B −D −E −D C   (−→x ,−→y1,−→z1)

1°) On note −→R la r ésultante des efforts exerc és par le b âti R sur le solide S dans la liaison pivot. Donner l’expression de−→R.

2°) On note−M→le moment des efforts exerc ´es par le b ˆati R sur le solide S en O dans la liaison pivot. Donner l’expression de−M→et de C.

3°) On souhaiterait ne plus avoir de r ´esultante −→R dans cette liaison, quelle que soit la vitesse de rotation. Quelle condition faut-il respecter ?

4°) Une fois la condition pr ´ec ´edente satisfaite, on souhaiterait ne plus avoir non plus de moment−M→. Quelle condition faut-il respecter ?

Si aucune des conditions pr éc édente n’est v érifi ée, on voudrait alors équilibrer le solide S en rotation autour de l’axe de rotation. Une solution consiste à ajouter une ou des masses ponctuelles (ou a les enlever par usinage) au solide S.

5°) Essayons avec une masse ajout ´ee m1 en position −−−→

OM1 = λ1−→x + a1→−y1+ b1−→z1. Il faut donc choisir (m1, λ1, a1, b1). Pourra-t-on arriver à équilibrer dynamiquement S, c’est- à-dire n’avoir plus d’action m écanique dans la liaison pivot ?

6°) Essayons avec une seconde masse ajout ´ee m2en position −−−→

OM2 = λ2−→x + a2→−y1+ b2−→z1. Pourra-t-on arriver à équilibrer dynamiquement S, c’est- à-dire n’avoir plus d’action m écanique dans la liaison pivot ? Y arrivera-t-on en plaçant les deux masses dans le m ême plan, c’est- à-dire avec λ1 = λ2? Donner les conditions à v érifier pour équilibrer dynamiquement S.

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Exercice 8. ´Etude du d ´eploiement des bras d’un satellite

Afin d’ étudier le d éploiement des bras d’un satellite, bras destin és au contr ôle de l’auto-rotation, on emploie au laboratoire le mod èle exp érimental d éfini sur la figure10.

Le r éf érentiel li é au laboratoire est R0 = (O1, − → X0, − → Y0, − →

Z0); il est suppos ´e galil ´een, − →

Z0est vertical ascendant.

Le corps du satellite S1est en liaison pivot parfaite d’axe (O1, − →

Z0)avec R0. On lui associe un rep `ere R1 = (O1, − → X1, − → Y1, − →

Z0). G1 est le centre de masse de S1 , −−−→ O1G1 = h

− →

Z0. Sa masse est M1. Son op ´erateur d’inertie est

I(O1, S1) =   A1 0 0 0 B1 0 0 0 I1   − → X1, − → Y1, − → Z0

Sa position est rep ér ée par rapport à R0par l’angle Ψ =( \ − → X0, − → X1). Le bras S2du satellite est en liaison pivot d’axe (O2,

− → Y1)avec S1, −−−→ O1O2= a2 − → X1. On lui associe un rep `ere R2= (O2, − → X2, − → Y1, − →

Z2). G2est le centre de masse de S2, −−−→ O2G2= b2

− →

I(O2, S2) =   A2 0 0 0 B2 0 0 0 C2   − → X2, − → Y1, − → Z2

Sa position est rep ér ée par rapport à R1par l’angle θ2=( \ − → Z1,

− →

Z2). Entre S1et S2, on place un moteur M2d ´elivrant un couple CM2

− → Y1.

Le bras S3 du satellite est en liaison pivot d’axe (O3, − → Y1)avec S1, −−−→ O1O3 = −a3 − → X1. On lui associe un rep `ere R3 = (O3, − → X3, − → Y1, − →

Z3). G3est le centre de masse de S3, −−−→ O3G3= b3

− →

I(O3, S3) =   A3 0 0 0 B3 0 0 0 C3   − → X3, − → Y1, − → Z3

Sa position est rep ér ée par rapport à R1par l’angle θ3=( \ − → Z1,

− →

Z3). Entre S1et S3, on place un moteur M3d ´elivrant un couple CM3

− → Y1.

Premi `ere partie

On s’int ´eresse pour l’instant au cas o `u le corps du satellite est fixe par rapport au laboratoire : Ψ = 0, ˙Ψ = 0.

1°) On souhaite avoir les équations du mouvement de S2, les couples moteurs étant donn és. Quels sont les syst èmes à isoler et quelles équations du principe fondamental faut-il écrire ?

2°) Etablir ces ´equations de mouvement.´

Deuxi `eme partie

Maintenant, le satellite peut aussi tourner par rapport au laboratoire.

3°) Si les bras S2et S3sont fixes par rapport au corps S1, quelle est l’inertie en rotation de l’ensemble {S1, S2, S3} autour de l’axe (O1,

− → Z0)?

4°) Ces bras peuvent maintenant aussi tourner par rapport au corps S1. On souhaite avoir les équations du mouvement du syst ème {S1, S2, S3} par rapport à R0, les couples moteurs étant donn és. Combien y a-t-il de degr és de libert é dans ce mouvement ? Quels sont les (sous)-syst èmes à isoler et quelles

´equations du principe fondamental faut-il ´ecrire ?

5°) Etablir ces ´equations de mouvement, dans le cas particulier (simplificateur) o `u G´ 2= O2et G1= O1 (donc b2= b3= 0).

(19)

(20)

Exercice 9. Destruction de chemin ´ees par basculement*

FIGURE11 – D émolition de la chemin ée principale de la fonderie Noranda à Murdochville (Qu ébec), le

13 octobre 2003 (photographie Jacques Gratton,http://www.jacquesgratton.com)

Premi `ere partie : la chemin ´ee Noranda

La compagnie Noranda a d écid é en 2003, pour des raisons de s écurit é, de d émolir la chemin ée principale de son ancienne fonderie de cuivre de Murdochville, qui s’est éteinte avec la fin des activit és de la mini ère au printemps 2002. Cette chemin ée de plus de 30 m ètres a ét é pendant cinquante ans un symbole de prosp érit é à Murdochville.

La technique de basculement consiste à dynamiter la base de la chemin ée de façon à la faire tomber comme s’il n’y avait plus qu’une articulation à la base.

Question 1 : Pour la mod ´elisation, on a plusieurs possibilit ´es :

- on peut mod éliser la chemin ée comme un cylindre creux S, homog ène, d’axe (G, −→y1), à base circulaire de rayon ext érieur Re, de rayon int érieur Ri. Sa longueur est 2L, sa masse m et G est son centre de masse (Figure12(a) à gauche).

- on peut aussi mod éliser la chemin ée comme une barre homog ène, d’axe (G, −→y1), de m ême longueur 2L, de m ême masse m et de m ême centre de masse G (Figure12(a) à droite).

Sous quelles conditions ces deux mod élisations peuvent être consid ér ées comme équivalentes pour la dynamique ?

Question 2 : Dans le cas de la barre homog `ene, rappeler l’expression de son moment d’inertie en G

autour de −→z (attention :−→z et pas −→y1! ! ) que l’on notera I.

Dans toute la suite, on utilisera le mod èle de la barre homog ène. On s’int éresse à la phase dans laquelle la chemin ée ne se brise pas au cours de la chute.

(21)

x₁ y₁ G R_e R_i 2L z S x₁ y₁ G z 2L

(a) Mod ´elisation de la chemin ´ee

O x y x₁ y₁ θ S G θ

(b) Basculement de la chemin ´ee

FIGURE12 – Chemin ´ee Noranda

Question 3 : Équation du mouvement de basculement de la chemin ée Noranda. Ayant mod élis é

la chemin ée par la barre S pr éc édente, on suppose cette fois-ci que la destruction de la base à l’explosif conduit à avoir une liaison pivot parfaite d’axe (O, −→z ) entre la chemin ée et le sol (Figure 12(b)). On appelle g l’acc él ération de la pesanteur, et θ est l’angle qui rep ère la position de S par rapport au r éf érentiel li é au sol R = (O, −→x , −→y , −→z )suppos é galil éen.

3a) Donner l’expression de la vitesse de G par rapport à R, puis de l’acc él ération de G par rapport à R.

3b) Donner l’expression du moment dynamique de S par rapport `a R au point O.

3c) Quelles sont les actions ext ´erieures agissant sur S ?

3d) Ecrire le principe fondamental de la dynamique appliqu é à S par rapport à R, en moment en O´ en projection sur −→z. En d éduire que l’ équation du mouvement de S par rapport à R est de la forme sin θ = αL

g ¨

θo `u α est une constante dont on demande l’expression.

Dans toute la suite, on suppose qu’on a pu r ésoudre cette équation de mouvement, au moins num ériquement, et en cas de besoin, la solution est donn ée graphiquement sur la figure13. Sur

cette figure, les valeurs port ées sur les axes ont ét é adimensionn ées (par exemple, on a en abscisse tpg

L, et les angles sont donn ´es en radian).

Question 4 : A partir des r ésultats num ériques de la figure` 13, qui sont donn és pour la chemin ée

Noranda, donner une m éthode pour d éterminer la valeur num érique de la constante α, puis la valeur de cette derni ère.

(22)

(23)

Deuxi `eme partie : la chemin ´ee de Marcoule

FIGURE14 – Basculement de la chemin ´ee G1 de Marcoule (Gard), le 19 juillet 2003 (http://www.cea.

fr/fr/thema/centres/valrho.htm)

Symbole historique du site nucl éaire de Marcoule, la chemin ée de l’ancien r éacteur G1 a ét é abattue avec 30 kilogrammes d’explosifs, pour cet édifice de 100 m ètres de haut, pesant 2200 tonnes de b éton et d’acier. La chemin ée avait cess é de fonctionner en 2000 et des études avaient ét é engag ées pour la d étruire puisque les conditions de sa construction (en 1956) ne correspondaient plus aux normes les plus r écentes de tenue aux vents violents et aux s éismes.

Ind épendamment de la valeur trouv ée pr éc édemment, et pour toute la suite, on prendra comme valeur de α celle correspondant à la chemin ée de Marcoule, et qui est α = 1.33.

Contrairement au cas pr éc édent, il s’av ère que la chemin ée s’est bris ée en deux lors de sa chute. Il est bien évident que pouvoir pr évoir ce genre de comportement est important du point de vue de la s écurit é du chantier de d émolition. On aimerait savoir si une mod élisation simplifi ée en dynamique des solides peut l’expliquer. Pour cela, on va cherche à connaˆıtre les efforts int érieurs s’exerçant entre les briques de la chemin ée.

Question 5 : La d émarche propos ée consiste à consid érer la chemin ée comme un assemblage de 2

barres S1et S2li ées entre elles par une liaison encastrement, et à d éterminer les efforts dans la liaison. On propose donc d’isoler la seule barre S1, de longueur 2h, (figure15) dont le mouvement est impos é (c’est celui de la figure13) et on cherche les actions de S2 sur S1: une r ésultante N −→y1+ T −→x1 et un moment en A M−→z. On appelle τ le rapport de longueur τ = h/L.

(24)

O x y x₁ y₁ θ S₁ G₁ θ A 2L 2h

FIGURE15 – Mod ´elisation de la partie haute de la chemin ´ee

5b) Donner l’expression de la masse m1de S1en fonction de la masse totale m de la chemin ´ee et de τ.

5c) Donner l’expression de l’acc él ération de G1par rapport à R en fonction de L, τ et θ.

5d) Donner l’expression de la r ésultante des efforts ext érieurs qui agissent sur S1, puis écrire le prin-cipe fondamental de la dynamique appliqu é à S1en r ésultante. En d éduire l’expression de l’effort tran-chant T en fonction, entre autres, de m, L et τ .

5e) D ´ecrivez, sans faire les calculs, la m ´ethode qui permettrait de trouver le moment M dans la liaison encastrement.

5f) Pour la suite, on suppose que les calculs nous donneraient M =mL

2 3 ατ (τ

2_{− 5τ + 4)}

En quel point A, c’est `a dire pour quelle valeur de τ le moment de flexion est-il d’amplitude maximale ? Conclure.

(25)

Exercice 10. Principe d’un syst ème de r écup ération d’ énergie : le yoyo*

Un syst ème de r écup ération d’ énergie pour monte-charge (quand il n’y a pas 2 monte-charges en parall èle, l’un descendant, l’autre montant) est bas é sur le m ême principe que celui du yoyo. Le syst ème

´etant plus simple dans ce dernier cas, c’est celui que nous allons ´etudier en premier lieu ici.

Ce syst ème se compose principalement d’un solide inertiel S1dont la g éom étrie peut varier, mais qui peut ressembler à celle de la figure16. G est son centre de masse et −→z son axe principal. (G,−→x1,−→y1,−→z) est donc un rep ère li é à S1. L’op érateur d’inertie de S1en G est de la forme

I(G, S1) =   J 0 0 0 J 0 0 0 I   (−→x1,−→y1,−→z )

Dans le cas d’un yoyo en bois, on a une masse de S1 ´egale `a m = 0, 12 kg, et un moment d’inertie I = 10−4kg m2.

Question 1 Une ficelle est enroul ´ee autour du cylindre central, de rayon r, du yoyo et se d ´eroule

autour de celui-ci lors de la descente du yoyo, figure17. On supposera la partie sup érieure de la ficelle attach ée au b âti, et pour simplifier, on consid èrera que la ficelle est toujours dirig ée suivant la verticale −

→_y_{. Le mouvement du yoyo est d écrit par 2 param ètres : un angle θ, et la position verticale λ,}−_{OG = −λ−}−→ →_y_. L’acc él ération de la pesanteur est −g−→y. On note ω−→z le taux de rotation de S1 par rapport au b âti, et −

→

V (G/bˆati) = −V −→y.

1a) Donner le torseur cin ´ematique de S1 par rapport au b ˆati, en fonction, entre autres, de ω et V . Donner ensuite les expressions de ω et V en fonction de θ et λ.

1b) Donner l’expression du torseur cin étique de S1par rapport au b âti, puis celle de l’ énergie cin étique de S1par rapport au b âti.

1c) Donner l’expression du torseur dynamique de S1par rapport au b ˆati.

Question 2 Lors du mouvement du yoyo, tout se passe comme si le yoyo roulait sans glisser sur la

ligne verticale de la ficelle. On note A le point ou se d ´eroule la ficelle (point de contact entre le yoyo et la verticale de la ficelle).

2a) Donner l’expression de−→V (A, S1/bˆati).

2b) Avec ce roulement sans glissement, comment sont li ´es ω et V ?

Question 3 On note T la tension dans la ficelle (l’action de la ficelle sur le yoyo en A est une r ´esultante

T −→y). Au cours de la descente du yoyo, le frottement de l’air agit comme un moment ext ´erieur s’appli-quant sur l’axe (G, −→z ). Il est proportionnel au taux de rotation et oppos ´e en signe :−M = −kω−→ →z (k est une constante positive).

3a) En ´ecrivant le principe fondamental de la dynamique en r ´esultante sur −→y, donner l’expression de T.

Avec la condition de roulement sans glissement de la question 2b), montrer que la tension peut s’ écrire T = a + b ˙ω, o ù a et b sont des constantes positives à d éterminer.

3b) _{Ecrire le principe fondamental de la dynamique en moment en G. Montrer que ω(t) est la solution}´ d’une équation du type : ˙ω + αω + βT = 0o ù α et β sont des constantes positives à d éterminer, en particulier en fonction de k.

(26)

3c) La r ésolution de l’ équation pr éc édente (avec une vitesse initiale nulle) donne ω(t) = aβ α exp (− α 1 + βbt) − 1 !

(on ne demande pas de la retrouver !).

Donner l’expression de la tension T . `A quel instant la valeur de T est-elle maximale ?

x₁ y₁ y₁ z G G

FIGURE16 – G ´eom ´etrie du yoyo

ficelle G A S₁ O x y 2r x1 y₁ θ

(27)

Exercice 11. Freinage et acc ´el ´eration d’une motocyclette*

On s’int éresse à une motocyclette qui roule en ligne droite, sur un terrain parfaitement plat. Plus pr écis ément, on s’int éresse à la phase de freinage. La figure 18 pr ésente le probl ème, ainsi que la mod élisation propos ée. L’ensemble pilote et moto sans les roues est suppos é former un solide rigide 3, de masse m, de centre de masse G. La suspension est suppos ée infiniment rigide, de façon à avoir des liaisons pivot parfaites entre le solide 3 et les roues 1 et 2, d’axes (O1, −→x )et (O2, −→x ). L’acc él ération de la pesanteur est −g−→z.

−−→

O1G = H−→y + h−→z et

−−−→ O1O2= L−→y

Les roues ont un rayon ext érieur Re. Le contact entre une roue et le sol 0 est suppos é ponctuel (aux points I1et I2), et le coefficient de frottement de Coulomb correspondant est not é µ. On suppose qu’il y a roulement sans glissement des roues sur le sol.

Le syst `eme de freinage est mont ´e entre le solide 3 et les roues. Il exerce un couple C1−→x en O1sur la roue 1, et un couple C2−→x en O2sur la roue 2.

Le rep `ere (−→x , −→y , −→z )est orthonorm ´e direct.

y

z

I

O

L

G

H

h

FIGURE18 – À gauche : le probl ème consid ér é, à droite : la mod élisation envisag ée

1°) Quel est le mouvement de 3 par rapport au sol 0 ? Donner son torseur cin ´ematique. Dans toute la suite, on notera V −→y la vitesse de 3 par rapport `a 0.

2°) Pour estimer l’inertie d’une roue, on utilise un mod èle simplifi é homog ène équivalent, pr ésent é sur la figure 19. Donner l’expression de son moment d’inertie autour de son axe en fonction de la g éom étrie de la roue et de la masse volumique équivalente ρeq(on ne vous demande pas de recalculer les int égrales correspondantes, mais de r éutiliser les documents que vous avez !). Cette roue est-elle

´equilibr ´ee dynamiquement autour de son axe, et pourquoi ?

Dans toute la suite, on n ´egligera les effets des masses et des inerties des roues.

3°) Les couples de freinage C1et C2 étant suppos és donn és, trouver l’expression des efforts tangen-tiels T1−→y et T2−→y exerc és au contact par le sol sur les roues 1 et 2.

4°) En isolant l’ensemble de la moto, écrire le th éor ème de la r ésultante dynamique. En d éduire l’ex-pression de l’acc él ération (en fait sa d éc él ération)−→Γ (G/0)en fonction des efforts aux contacts,

(28)

tangen-x

y

z

h

e

R

i

R

FIGURE19 – Mod ´elisation de la roue pour le calcul de l’inertie ´equivalente

5°) Ecrire le th éor ème du moment dynamique en G appliqu é à la moto.´

6°) A partir des r ésultats des questions pr éc édentes, donner les expressions des efforts normaux N` 1et N2exerc és au contact par le sol sur les roues 1 et 2, en fonction, entre autres, des couples de freinage.

Dans toute la suite, pour une g éom étrie particuli ère de la moto (valeurs de H, h et L particuli ères), on utilisera les expressions suivantes qui pourraient être obtenues dans la

question 5° : N1= 2 3mg − 2 3Re (C1+ C2)et N2= 1 3mg + 2 3Re (C1+ C2)

7°) On imagine maintenant le cas o ù C2 = 0 : on ne freine qu’avec la roue arri ère. Quelle est la condition sur les efforts au contact à respecter pour que la roue arri ère ne glisse pas sur le sol ? Quelle est alors la condition à respecter sur C1?

8°) On imagine maintenant le cas o ù C1= 0: on ne freine qu’avec la roue avant. Quelle est la condition sur les efforts au contact à respecter pour que la roue avant ne glisse pas sur le sol ? Quelle est alors la condition à respecter sur C2?

9°) Pour obtenir la d éc él ération la plus grande, quel est des deux cas pr éc édents, le plus favorable ?

10°) Lors d’une phase d’acc él ération, les freins sont desserr és. Le moteur, mont é sur 3, exerce un couple −C−→x sur la seule roue 1. Donner l’expression de l’acc él ération −→Γ (G/0) dans cette phase en fonction du couple C. À partir de quelle valeur la motocyclette d écolle-t-elle de la roue avant ?

(29)

(30)

Exercice 12. Étude d’un acc él érom ètre*

On s’int éresse à un acc él érom ètre pi ézo- électrique, qui peut être mod élis é par le sch éma de la figure20. L’embase, suppos ée ind éformable et solidaire de la structure dont on d ésire mesurer l’acc é-l ération, est soumise au d épé-lacement de cette structure. k et c sont respectivement é-la raideur et é- l’amor-tissement de la partie r éalis ée en mat ériau pi ézo- électrique, m est la valeur de la masse sismique.

On d ésigne par x(t) et y(t) les d éplacements de la structure et de la masse sismique par rapport à la position d’ équilibre statique, et on pose z = y − x.

Un él ément pi ézo- électrique a la particularit é de d élivrer un signal électrique proportionnel à l’effort qui lui est appliqu é. Le but est de d éterminer dans quelles conditions l’acc él érom ètre mesure avec fid élit é les vibrations de la structure étudi ée.

1°) Montrer que l’effort exerc é par la masse m sur l’ él ément pi ézo- électrique est f = k.z + c. ˙z

Pour connaˆıtre f (t) il faut donc d éterminer auparavant z(t) et sa d ériv ée.

2°) Ecrire l’ équation diff érentielle v érifi ée par z. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme´ ¨

z + 2ω0z + ω˙ 02z = −¨x avec = c/cco `u cc= 2

√

k.mest l’amortissement critique.

3°) La structure est anim ´ee d’un mouvement harmonique x(t) = X. sin(ωt).

Montrer que la solution forc ée z(t)peut s’ écrire sous la forme z(t) = Z. sin(ωt − φ). Exprimer tan(φ) puis Z/X en fonction de la fr équence adimensionnelle τ = ω/ω0.

`

A ω = ω0, que valent φ et Z/X ?

4°) Montrer que l’effort f appliqu é à l’ él ément pi ézo- électrique est f = m.ω2X.A. sin(ωt − ψ)

Donner l’expression de A en fonction de X et Z. Quelle est la m ´ethode pour calculer ψ ?

5°) Quelle est l’expression de l’acc él ération γ(t) de la structure qu’on cherche à mesurer ? Quelle est son amplitude ? Quelle est l’amplitude de l’effort mesur é f ? Quelle est l’amplification de l’amplitude (appel ée aussi gain) ? En s’aidant des figures 21et 22, quelle est la fr équence autour de laquelle le capteur effectue une mesure fid èle de l’acc él ération de la structure ?

6°) On consid ère deux acc él érom ètres B&K de type 4367 et 4370 dont les caract éristiques, donn ées par le fabricant, sont les suivantes :

type f0= ω0/2π Gain pour f = f0 Masse sismique Sensibilit ´e (pC/ms−2) Sensibilit ´e (mV/ms−2) Masse du capteur

4367 39 kHz 26 dB 5 g 2,1 1,8 13 g

4370 26 kHz 27 dB 25 g 10 7,9 52 g

V érifier que la sensibilit é des capteurs est proportionnelle à la masse sismique.

Donner pour le premier capteur : le coefficient d’amortissement , les bandes de fr ´equence pour lesquelles la distorsion d’amplitude n’exc `ede par 10%.

(31)

k

m

c

y

x

z

masse sismique

embase

structure

FIGURE20 – Mod `ele

0 1 2 3 2 3 4 1 √ 2 ε = 0, 1 ε = 0, 15 ε = 0, 2 ε = 0, 25 ε = 0, 3 ε = 0, 5 ε = 1 FIGURE21 – A(, τ ) 0 60° 120° 180° 1 2 3 4 5 ψ = arctan( 2.ε.τ 2 1− τ2_{+ 4.ε}2_.τ2) ε = 0, 05 ε = 0, 1 ε = 0, 15 ε = 0, 25 ε = 0, 35 ε = 0, 5

(32)

Exercice 13. Micro-acc él érom ètre MEMS r ésonnant*

On s’int éresse ici à la conception de micro-acc él érom ètres qui font partie de la famille des MEMS (Micro Electro Mechanical Systems), qui ont l’avantage d’ être miniaturis és et qui sont r éalis és avec les m êmes proc éd és que les circuits int égr és. Ils sont donc d’un co ût r éduit, à condition d’ être produits en tr ès grandes quantit és.

La figure23pr ésente une puce de 3 mm de c ôt é contenant le syst ème de contr ôle électronique et l’acc él érom ètre (sensor ) de 400 µm de taille ( à gauche3_{). La m ême figure ( à droite}4_{) pr ésente un zoom}

sur l’acc él érom ètre5_{. La puce est plac ée directement sur la structure ou le syst ème dont on cherche à}

connaˆıtre le mouvement ou l’acc ´el ´eration.

FIGURE23 – R éalisation d’un micro-acc él érom ètre et de sa partie m écanique

La mod élisation m écanique de cet acc él érom ètre par un syst ème à 1 degr é de libert é (acc él érom ètre 1 axe) est pr ésent ée sur la figure24. On note m la masse sismique, qui est reli ée au carter (la puce) par des suspensions constitu ées de lames flexibles, de raideur k et de coefficient d’amortissement c. On note x la position absolue de la masse (par rapport au r éf érentiel galil éen, donc), y la position absolue du carter (la puce), et z = x − y rep ère la position de la masse par rapport à la puce. f est un effort ext érieur, exerc é sur la masse m par un syst ème d’actionneurs électromagn étiques (voir figure23).

bras déformable de suspension carter (puce) masse sismique carter (puce) masse sismique k c k c k c k c m m K C y x f(t) m k, c k, c k, c k, c

FIGURE24 – Mod èles de l’acc él érom ètre : sch éma ( à gauche), syst ème à 1 degr é de libert é (au centre), syst ème type équivalent ( à droite)

3. M. A. Lemkin et al., 1996, A fully differential surface micromachined lateral accelerometer, CICC, Atlanta

4. d’apr `es N. Yazdi et al, Micromachined Inertial Sensors, Proceedings of the IEEE 86(8) :1640-1659, 1998 doi:

10.1109/5.704269

(33)

On rappelle l’extrait du formulaire suivant : pour un syst ème à 1 degr é de libert é (de pulsation propre ω0, pourcentage d’amortissement ε, et masse m), sa fonction de transfert en d éplacement est H(ω) = 1/m

p(ω2

0− ω2)2+ 4ε2ω2ω02

de valeur maximale Hmax=

1/m 2ω2 0ε √ 1 − 2ε2 atteinte pour ω = ω0 √ 1 − 2ε2

1°) Donner l’expression de la raideur K et du coefficient d’amortissement C ´equivalents.

2°) Donner l’ équation du mouvement de la masse sismique et montrer qu’elle peut s’ écrire m¨z + C ˙z + Kz = f − mÿ.

Dans un premier temps, on consid ère le cas d’un acc él érom ètre capacitif (passif) pour lequel on a f = 0.

On mesure la r éponse permanente z dans le composant de façon électronique (la r éponse transitoire a ét é amortie depuis longtemps), et on cherche à le relier à ÿ qui est la quantit é qu’on cherche à atteindre. Un tel composant a les caract éristiques suivantes : m = 3 µg = 3 × 10−9kg, C = 6, 8 µNm−1s, K = 0, 17 N/m.

3°) Donner les expressions de la pulsation propre ω0, du pourcentage d’amortissement ε et de la pul-sation propre amortie ωD. Applications num ´eriques. Le syst `eme est-il fortement ou faiblement amorti ?

4°) En fait, le mouvement qu’on cherche à d étecter (d’acc él ération ÿ) est tr ès lent devant la pulsation propre de l’acc él érom ètre. On d éfinit la sensibilit é s de l’acc él érom ètre comme le rapport de l’amplitude de z sur l’amplitude de ÿ. L’amplitude maximale de l’acc él ération ÿ qu’on cherche à atteindre est de A = 0, 1 m/s2_{. On envisage alors deux cas de figure :}

4a) Si l’acc él ération de la puce est une constante, ÿ = a0, son amplitude est évidemment aussi a0. Donner l’expression de la solution particuli ère z. Donner l’expression de s. Application num érique. Quelle sera la valeur maximale de z à mesurer ?

4b) Si ÿ = a0sin(ωt), avec ω ω0, En utilisant la fonction de transfert rappel ée figure 23, donner l’expression de s. Quelle sera la valeur maximale de z à mesurer ?

Au vu des faibles valeurs pr éc édentes de z, il est difficile de les mesurer pr écis ément avec la technologie retenue pour la fabrication du micro-acc él érom ètre. On utilise alors plut ôt un acc él érom ètre r ésonnant (actif) dans lequel on trouve des actionneurs qui permettent d’appliquer

un effort f sur la masse sismique, pilot é par un circuit électronique d’asservissement dont l’objectif est d’imposer un mouvement z = Z sin(ω1t), quelle que soit l’acc él ération ÿpar ailleurs. On appelle toujours A = 0, 1 m/s2_{l’amplitude maximale de cette acc él ération à mesurer, et on conserve} les m êmes caract éristiques : m = 3 µg = 3 × 10−9kg, C = 6, 8 µNm−1s, K = 0, 17 N/m.

5°) Consid érons tout d’abord le cas o ù y(t) = 0 (pas de mouvement de la puce). Donner alors l’ex-pression de l’effort f (t) que le syst ème d’asservissement impose, en fonction de Z et ω1.

Donner ensuite l’expression de son amplitude F . Pour quelle valeur de ω1 cette derni `ere est-elle minimale ?

6°) Ind épendamment du r ésultat de la question pr éc édente, on fixe la pulsation ω1 à ω0et l’amplitude Z à 0, 1 µm. On consid ère maintenant le cas o ù la puce bouge. Donner alors l’expression de l’effort f (t)que le syst ème d’asservissement doit imposer, et montrer qu’il peut se mettre sous la forme f (t) = F cos(ω0t) + mÿ.

(34)

7°) Ayant capt é le signal f (t) pr éc édent, le syst ème électronique est capable de mesurer pr écis ément la valeur RMS (Root Main Square) du signal. La valeur RMS d’un signal w(t) p ériodique de p ériode T est not ée < w > et est d éfinie de la façon suivante :

< w >= s 1 T Z T 0 w2_(t)dt

On d éfinit maintenant la sensibilit é s de l’acc él érom ètre comme le rapport de la valeur RMS de f sur la valeur RMS de ÿ. Si l’acc él ération de la puce est une constante, ÿ = a0, donner l’expression de s. Quelle sera la valeur maximale de f à mesurer ?

(35)

Exercice 14. ´Etude d’une corde vibrante*

Dans cet exercice, on s’int éresse aux vibrations d’une corde dans un instrument de musique soumise à diff érentes conditions initiales. Elle est de longueur l et de masse lin éique ρ, encastr ée à ses extr émit és sous une tension fixe T0. Le d éplacement transversal d’un point d’abscisse x de cette corde est not é v(x, t).

1°) Rappeler d’apr ès le cours l’ équation d écrivant l’ évolution de la d éform ée transversale et la forme g én érale de la solution v(x, t).

Cas du piano

l

0 x

e

˙

v

0 x v(x, 0) ∂v ∂t(x, 0) = ˙v0pour xe− e 2 ≤ x ≤ xe+ e 2 et ∂v ∂t(x, 0) = 0sinon. FIGURE25 – Piano

2°) A t = 0, la corde, initialement immobile et dans sa position d’ équilibre, est excit ée à l’aide d’un` marteau de largeur e l dont l’effet est d’imposer une vitesse initiale ˙v0sur cette partie centr ée autour du point d’abscisse xe (cf. figure25). En d éduire l’ évolution de la d éform ée. Comment s’expriment les amplitudes des modes propres ? De quoi est fonction le spectre sonore de cette corde ?

3°) On cherche `a supprimer un harmonique dissonant qui correspond au mode p = 7. Comment faut-il faire ?

4°) On choisi d’exciter cette corde en la frappant en xe= ₂l. Donner les amplitudes des modes propres pour n = 1 . . . 6. Faire l’application num ´erique avec ρ = 0, 062 kg/m, l = 0, 42 m, T0= 8470N, e = 5 mm et ˙v0= 95m/s. Clavecin

l

0 v

0 x v(x, 0)

x

e

=

l

2

v(x, 0) =2v0 l xpour 0 ≤ x ≤ l 2 et v(x, 0) = 2v0 l (l − x)pour l 2 ≤ x ≤ l ∂v ∂tv(x, 0) = 0pour tout x FIGURE26 – Clavecin

(36)

5°) On impose cette fois un d éplacement initial v0au point d’abscisse xe= ₂l avec une vitesse initiale nulle partout (voir figure 26). Exprimer de m ême la d éform ée v(x, t). Comment évoluent cette fois les amplitudes modales ?

6°) Faire l’application num ´erique avec v0 = 1mm en calculant les amplitudes des 6 premiers modes propres. Harpe

l

0 v

0 x v(x, 0)

x

e

=

l

2

v(x, 0) =4v0 l2 x(l − x)et ∂v ∂tv(x, 0)=0, pour tout x FIGURE27 – Harpe

7°) Le pincement est ici plus d élicat et conduit aux conditions initiales pr ésent ées en figure27. Com-ment s’ écrit la d éform ée v(x, t) dans ce cas ?

8°) Faire l’application num ´erique sur les 6 premiers modes propres.

Bilan

(37)

Exercice 15. Vibrations longitudinales

Barre simple

On étudie les mouvements longitudinaux u(x, t) d’une barre en acier d éfinie en figure 28a. Ses caract éristiques sont les suivantes : A = 1 cm2_{, E = 210000 MPa, ρ = 7800 kg/m}3 _{et l = 1 m. On la} soumet à diff érentes conditions aux limites et initiales.

1°) Rappelez la forme de l’ ´equation que respecte u(x, t). Quelle est la forme de la solution ?

2°) On consid ère d’abord que la barre est totalement libre à ses extr émit és. À t < 0, on la maintient immobile sous une effort normal N0 = 1kN puis on la rel âche compl ètement à t = 0. D éterminez le mouvement u(x, t)puis faites l’application num érique pour les 6 premiers modes.

3°) On encastre la barre à son extr émit é gauche (x = 0) et on la soumet aux m êmes conditions initiales. D éterminez de m ême u(x, t) et faites l’application num érique.

4°) On fixe cette fois l’extr émit é droite (x = l) par un ressort de raideur K. Exprimez u(x, t) dans ce cas. Comment peut on d éterminer le nombre d’onde kn? Que se passe-t-il lorsque K → +∞ (encastrement parfait) ?

Colonne

On étudie la colonne d éfinie en figure 28b. Elle est form ée d’un assemblage de deux barres de longueur l, de m ême caract éristiques que pr éc édemment mais de sections diff érentes.

5°) Donnez les conditions aux limites requises pour exprimer les mouvements longitudinaux v(y, t).

6°) Ecrire l’ équation que doit v érifier le nombre d’onde k et évaluer les fr équences et les allures des´ premiers modes.

l

0

x u(x,t)

x

ρ, E, A

l

ρ, E, A

l

v(y,t) y

ρ, E, 2A

(38)

Exercice 16. Amortisseur passif accord ´e de vibrations*

On s’int éresse au r églage de la liaison au sol d’une machine outil, en vue de contr ôler ses vibrations lors d’usinages de pi èces. La masse qui peut vibrer est m = 500 kg, et on estime la valeur de la raideur de la liaison au sol (faisant intervenir la raideur du carter, du tacle et de la visserie) à k = 106_N/m, figure29.

1°) Sous une charge ext érieure F = A sin(ωt), suppos ée verticale pour simplifier, due au balourd de la pi èce à usiner et aux efforts de coupe, la machine vibre, et on note B l’amplitude de son d éplacement vertical.

Donner l’expression de B en fonction des donn ´ees.

Application num ´erique pour A = 500 N et ω = 1 500 tr/min.

2°) On ajoute un syst ème compos é d’une masse m1 et de deux ressorts k1 afin de limiter les vibra-tions pr éc édentes. On cherche à dimensionner m1et k1de façon à avoir une solution viable (masse et vibrations de la masse ajout ée pas trop importantes), figure30.

Plus pr écis ément, on essaie d’avoir un carter machine immobile (x(t) = 0) et on cherche le mouve-ment de la masse ajout ée m1sous la forme x1(t) = C sin(ωt).

2a) Donner l’expression de C en fonction des donn ées et des caract éristiques cherch ées de l’amortis-seur (m1, k1).

2b) Quelles contraintes constructives sur m1et k1faut-il avoir ?

2c) Pour le chargement de la question 1, on cherche à avoir une amplitude du mouvement de la masse additionnelle, C, limit ée à 1 cm. Choisir les valeurs de m1et k1.

3°) Avec le syst ème d étermin é pr éc édemment, on se place sous une autre condition de coupe, pour ω = 800 tr/min, et on se demande alors quelles sont les valeurs des amplitudes du mouvement du carter machine, et de la masse ajout ée (pour une m ême valeur de A).

La solution choisie est-elle encore viable ?

m

k

F

_x

FIGURE 29 – Centre d’usinage OKUMA MB46VA/VAE et sa

mod ´elisation simplifi ´ee 1D

m

₁

k

1

k

₁

k

F

_x

x

₁

FIGURE 30 – Syst `eme avec

amortisseur dynamique

(39)

Exercice 17. Vibrations transversales – Calcul par m ´ethodes approch ´ees ´

Etude d’un triangle

On propose de d éterminer les caract éristiques modales d’un triangle. Celui-ci est en fait une poutre en acier de longueur l, recourb ée en deux endroits, à x = ₃l et x = 2l₃. On étudie donc les mouvements transversaux v(x, t) de cette poutre dont les caract éristiques sont les suivantes : E = 210000 MPa, ρ = 7800kg/m3_{. Sa section est circulaire de diam ètre φ = 1 cm et la longueur d’un c ôt é du triangle fait} 15 cm.

1°) Rappelez la forme de l’ ´equation que respecte v(x, t). Quelle est la forme de la solution ?

2°) Donnez les conditions aux limites `a respecter. En d ´eduire l’expression du nombre d’onde k.

3°) Que vaut la fr ´equence fondamentale ? Faites l’application num ´erique pour ce premier mode.

4°) On applique maintenant la m éthode de Rayleigh-Ritz. On propose la fonction de forme du premier mode d’allure suivante : polyn ôme de degr é 2, valant 2 en 0 et l, et -1.25 en l

2. Calculer la fr ´equence fondamentale. Comparez avec la solution exacte.

Passerelle pi ´eton

Cette étude concerne une passerelle pi éton l ég ère. Celle-ci est en fait une structure r éticul ée constitu ée de barres et de c âbles organis és en nappes. On étudie ses mouvements dans un plan vertical. Elle est donc assimilable à une poutre continue de longueur l = 12.8 m, de raideur EI = 1.125 107_N.m2_{. Sa} masse lin éique est µ = 78.125 kg/m.

5°) Exprimez les conditions aux limites requises et en d ´eduire les mouvements transversaux v(x, t).

6°) Calcul des deux premi ères fr équences propres par m éthode énerg étique : 1. En utilisant les formes exactes sinuso¨ıdales.

2. En utilisant les formes approch ées de la d éform ée statique : force ponctuelle au milieu pour mode 1 et couple ponctuel au milieu pour mode 2.

(40)

Exercice 18. Suspension automobile : le syst `eme skyhook *

On s’int éresse ici à une mod élisation simple d’une suspension automobile classique ou avec un syst ème actif appel é skyhook (litt éralement “crochet dans le ciel”) ; ce dernier syst ème est propos é sur des v éhicules haut de gamme, des engins militaires... figure316_.

FIGURE31 – Maserati Coup ´e et blind ´e 8x8 de 33 tonnes

Une transmission classique peut être mod élis ée grossi èrement par un syst ème lin éaire compos é d’une masse m, d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient c (tous prenant aussi en compte le comportement du pneumatique), sollicit ée par la pesanteur, ainsi qu’ à sa base (par exemple, lors d’un franchissement d’obstacle, pour un v éhicule avançant à vitesse constante V , la roue à un d éplacement vertical not é x0(t)), figure32à gauche7. Enfin, on note g l’acc él ération de la pesanteur.

Le principe du syst ème skyhook est de pouvoir interposer un amortisseur de coefficient c1avec une “r éf érence” qui reste horizontale (par exemple, un nuage dans le ciel...) qui peut m ême remplacer dans l’id éal le reste de l’amortisseur, ce qui correspondrait à c2= 0pour le mod èle de la figure32au centre. En pratique, on ne peut pas s’accrocher à un nuage ! Les syst èmes propos és veulent simuler ce comportement ; ils utilisent un amortisseur variable pilot é (syst ème semi-actif) seul, ou avec un effort de contr ôle Fcpilot é lui aussi (syst ème actif), figure32 à droite.

m c k x0(t) x(t) − mg m c2 k c1 x0(t) x(t) − mg m k x0(t) x(t) − mg Fc

FIGURE32 – Illustration de la sollicitation `a la base et d’une suspension classique ( `a gauche), principe

(au centre) et r éalisation ( à droite) du syst ème skyhook

Des crit ères de s écurit é demanderaient à ne pas trop amplifier la r éponse du syst ème au voisinage de ω0, alors que des crit ères de confort demanderaient à amortir la r éponse du syst ème à fr équence élev ée. Si le confort est am élior é, le syst ème pr éc édent ne doit pas trop influencer la tenue de route. On se propose donc ici de regarder le comportement de ce syst ème dans certains sc énarios de conduite.

Pour cela, on étudie le mod èle de suspension d écrit sur la figure33à gauche. Si c1= 0, on retrouve la suspension classique, et le syst ème skyhook correspond dans le cas id éal à un amortissement c2= 0.

1°) Isoler la masse m et montrer que son équation de mouvement vertical est de la forme m¨x + c ˙x + kx = f (t)o ù vous pr éciserez les expressions de c et f (t).

Rappeler les expressions de la pulsation propre w0 et du coefficient d’amortissement ε correspon-dants.

6. M. H ¨onlinger et U. Glauch, Mobility Analysis of a Heavy Off-Road Vehicle Using a Controlled Suspension, Krauss-Maffei Wegmann GmbH & Co. KG, 1999.

7. J.-C. Walrick et al, Optimisation num érique d’une suspension de v éhicule en sollicitation dynamique, M écanique & Industries 7(5-6) :445-452, 2006doi:10.1051/meca:2007002

(41)

m c₂ k c₁ x₀(t) x(t) − mg t x₀(t) a 0 T t x₀(t) a 0 T

FIGURE 33 – Mod èle de suspension étudi ée ( à gauche), route avec dos d’ âne (au centre), et avec

ondulation ( `a droite)

2°) Si la route `a un profil de la forme a sin(πy

L), o ù a et L sont des longueurs donn ées (y est la distance horizontale), et si le v éhicule avance à vitesse constante V , montrer que x0 = a sin(ωt) en donnant l’expression de ω en fonction des donn ées.

Dans toute la suite, on prendra x0= a sin(ωt). Pour les applications num ´eriques, vous utiliserez les valeurs suivantes : g = 9, 81 m/s2_{, m = 400 kg, k = 26 660 N/m.}

3°) Montrer que f peut se mettre sous la forme f (t) = −mg + kaA(ω) sin(ωt + Φ) o `u vous pr ´eciserez l’expression de la fonction A(ω) (on ne demande pas celle de Φ).

Dans un premier temps, on s’int éresse au passage du v éhicule sur une route en forme de “t ôle ondul ée”, figure33 à droite. On s’int éresse alors à la solution forc ée uniquement (solution

particuli `ere de l’ ´equation du mouvement).

4°) On note X l’amplitude du d ´eplacement vertical x(t) autour de la valeur moyenne −mg/k.

a) Pour la suspension skyhook avec c2 = 0, montrer que X = aHD(ω) o `u HD est la fonction de transfert en d ´eplacement.

b) Pour la suspension classique (c1= 0), le ratio X/a est trac é sur la figure34à gauche, pour plusieurs valeurs de ε, en m ême temps que le ratio X/a de la question pr éc édente. Le compromis s écurit é/confort pour la suspension classique conduit en g én éral à une valeur ε = 0.7.

Comparez les deux suspensions sur ce cas de figure.

c) Un crit ère de confort demande à ce que l’amplitude de l’acc él ération verticale de la caisse du v éhicule (masse m) ne d épasse jamais 1.2g. Pour la suspension skyhook avec c2 = 0et ε = 0.7, en d éduire une condition sur l’ondulation du sol, a, maximale.

On s’int éresse maintenant au franchissement d’un “dos d’ âne”, figure33au centre, pour lequel x0(t) = 0sauf quand t ∈ [0, π/ω] o ù x0(t) = a sin(ωt). On s’int éresse alors à la solution transitoire compl ète (solution g én érale de l’ équation du mouvement avec second membre), et si

n ´ecessaire pour les applications num ´eriques, on prendra ε = 0, 7.

(42)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 1 2 3 4 5 X/a ω/ω0 skyhook (c₂ = 0) ε = 0.7 skyhook (c₂ = c₁) ε = 0.7 classique ε = 0.5 classique ε = 0.7 classique ε = 1 π 2 π/2 1 0 π 3π/4 π/2 π/4 0 ω t B (ω0/ω) C

FIGURE34 – R éponses de la suspension classique et du syst ème skyhook ( à gauche), évolution des

fonctions B et ω0

ωC( `a droite)

6°) Donner la valeur num érique de ω0 et de l’amortissement c pour ε = 0.7. Pour un dos d’ âne de longueur L = 10 cm et une vitesse de v éhicule de V = 10 km/h, donner la valeur num érique de ω.

En supposant ω ω0

1, on peut simplifier l’expression de la solution en d ´eplacement pour t ∈ [0, π/ω]en x(t) − x0(t) = −mg/k + a(ωt − sin(ωt)). On utilisera cette expression dans toute

la suite.

7°) Rappeler l’expression de l’action du ressort k et de l’amortisseur c2 sur la masse m (figure33 à gauche). En isolant la roue suppos ée sans masse, donner l’expression de l’action F de la route sur la roue en fonction, entre autres, de x et ˙x. Avec l’expression propos ée de x(t), donnez l’expression de F sous la forme F (t) = mg − ka[B(ωt) +√c2

kmC(ωt)]o `u vous pr ´eciserez les expressions de B(ωt) et C(ωt), le coefficient c2ne devant pas intervenir dans celles-ci.

8°) On cherche à v érifier si, au moins pendant le passage de l’obstacle, la roue de d écolle pas, c’est-à-dire si F (t) reste positif pour t ∈ [0, π/ω].

a) Les allures des fonctions B(ωt) et ω0

ωC(ωt)sont donn ées sur la figure34 à droite. À quel instant F (t)prend-il sa valeur minimale ? Quelle est l’expression de cette valeur minimale ?

b) Ecrire la condition de non d écollement de la roue dans le cas de la suspension skyhook avec c´ 2= 0. Pour que cela soit valable ∀t ∈ [0, π/ω], en d éduire une condition sur le franchissement de l’obstacle, c’est- à-dire sur les éventuelles quantit és a et ω.

c) Ecrire la condition de non d ´ecollement de la roue dans le cas de la suspension classique (c´ 1= 0) et pour ω ω0.

Pour que cela soit valable ∀t ∈ [0, π/ω], en d éduire une condition sur le franchissement de l’obstacle, c’est- à-dire sur les éventuelles quantit és a et ω.

d) Comparer les deux suspensions ci-dessus vis `a vis de ce crit `ere de tenue de route pour a = 2 cm et L = 20 cm.

(43)

Exercice 19. Pot vibrant ´electrodynamique*

Pour d éterminer les caract éristiques vibratoires d’une structure (pulsation propre, amortissement...), une m éthode souvent utilis ée est l’excitation de la structure par pot vibrant (ou excitateur électrodynamique, figure358_{) :}

— l’entr ée du syst ème est l’effort exerc é sur la structure,

— la sortie mesur ée est la r éponse de la structure (par exemple en d éplacement). Le pot vibrant est constitu é (figure36à gauche) :

— d’un aimant permanent solidaire du carter du pot,

— d’une bobine électrique (de masse m2) se d éplaçant dans l’entrefer de l’aimant, le guidage en translation étant assur é par des membranes élastiques (de raideur k2).

L’excitateur est fix é à un b âti rigide. La bobine m2est li ée rigidement à la structure.

Pour simplifier, la structure étudi ée est assimil ée à un syst ème à 1 degr é de libert é, de raideur k, de masse m et de coefficient d’amortissement c (figure36 à droite). On note x(t) le d éplacement vertical de l’ensemble (bobine + structure). On n égligera la pesanteur devant les efforts mis en jeu.

On suppose que l’effort exerc é par l’aimant sur la bobine est de la forme f (t) = F0cos ωto ù F0 est une constante, et ω peut être r égl ée par l’exp érimentateur.

FIGURE35 – structure instrument ´ee et pot vibrant

k

₂

m

₂

m

k

c

x(t)

f(t)

pot vibrant

structure

étudiée

FIGURE36 – constitution d’un pot vibrant ( à gauche) et mod élisation de l’ensemble pot + structure ( à

droite)

1°) Montrer que l’ équation du mouvement est de la forme M ¨x + C ˙x + Kx = f o ù vous pr éciserez les expressions de M , K et C.

8. la structure étudi ée ici est un syst ème de tens égrit é (structure r éticul ée constitu ée de barres en compression et de c âbles en tension), photographies de J. Averseng ; LMGC, Universit é Montpellier 2.