L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚2
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Question de cours :
Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.Probl` eme 1 : ´ Etude d’une projection vectorielle
Dans tout ce probl`eme,a d´esigne un nombre r´eel fix´e, diff´erent de 1.
Partie A - ´Etude des puissances d’une matrice SoitA la matrice2×2 d´efinie par :A= 1
a−1
a −1 a −1
. 1. Montrer queA2=A. On ´ecrira toutes les ´etapes du calcul.
2. En d´eduire que la matriceA n’est pas inversible.
3. Conjecturer la valeur deAn pour toutn∈N∗, puis d´emontrer la conjecture faite par r´ecurrence.
Partie B - D´efinition d’une projection vectoriellep On fixe un rep`ereR= (O;−→
i ,−→
j)du plan. On identifiera, dans tout ce probl`eme, un vecteur du plan `a ses coordonn´ees dans la base(−→
i ,−→ j).
Soient les vecteurs −→u = 1
1
et−→v = 1
a
. On note F la droite passant parO et dirig´ee par−→u etGla droite passant par O et dirig´ee par−→v.
1. Soit −→w = x
y
un vecteur du plan. D´emontrer qu’il existe un unique vecteur du plan−→ w0 =
x0 y0
tel que :
−→
w0 et−→u sont colin´eaires et −→
w0− −→w et−→v sont colin´eaires et exprimer
x0 y0
`
a l’aide de x
y
et d’une matrice 2×2 dont les coefficients ne d´ependent ni de x, ni dey.
Le vecteur −→
w0 est appel´e projet´e de −→w sur la droite F parall`element `a la droiteG. La projection sur la droite F parall`element `a la droite Gest l’applicationpd´efinie par :
p:R2→R2; x
y
7→
x0 y0
o`u−→ w0 =
x0 y0
d´esigne le projet´e de−→w = x
y
sur la droite F parall`element `a la droiteG.
1
2. On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que a = 0. Calculer p 0
2
et repr´esenter graphiquement le rep`ereR, les droitesF, Get les vecteurs
0 2
,p
0 2
. Partie C - Quelques propri´et´es de la projection vectorielle p
1. Calculerp(−→u) etp(−→v).
2. Soit x
y
∈R2. Calculerp◦p x
y
et comparer le r´esultat obtenu `ap x
y
. 3. D´eterminerle noyau depd´efini par :
Ker(p) = x
y
∈R2 : p x
y
= 0
0
et pr´eciser sa nature g´eom´etrique.
4. D´eterminerl’image de pd´efinie par : Im(p) =
x0 y0
∈R2 : ∃ x
y
∈R2tel que p x
y
= x0
y0
et pr´eciser sa nature g´eom´etrique.
5. Comparer Ker(p) et Im(p) `aF etG.
6. Montrer que pour tout−→w ∈R2, il existe un unique couple (−w→1,−w→2)∈Ker(p)×Im(p) tel que :
−
→w =−w→1+−w→2.
Probl` eme 2 : Valeurs approch´ ees rationnelles de √ 2
L’objet de ce probl`eme est la suite(un)n∈N d´efinie par u0= 2 et la relation de r´ecurrence un+1= un
2 + 1 un
valable pour toutn∈N.
Au cours de l’´etude, on d´emontrera que cette suite converge vers√
2(cf. partie B) et on construira un algorithme donnant une valeur approch´ee rationnelle (i.e. dans Q) de √
2 avec une pr´ecision aussi petite que d´esir´ee (cf.
parties C et D).
Partie A - ´Etude d’une fonction auxiliaire Soitf la fonction d´efinie par :
f:R∗→R; x7→ x 2 + 1
x. On note Cf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere Rfix´e du plan.
1. Justifier quef est continue et d´erivable sur R∗. 2. Calculerf0(x) pour toutx∈R∗.
3. Montrer que pour toutx∈[√ 2,2] :
0≤f0(x)≤ 1 4.
4. ´Etudier les variations de f surR∗. On donnera le r´esultat sous forme d’un tableau de variations.
5. ´Etudier le signe de f(x)−xpour toutx∈R∗ et interpr´eter graphiquement le r´esultat obtenu.
2
Partie B - ´Etude de la suite (un)n∈N
1. Montrer que la suite (un)n∈N est parfaitement d´efinie et `a valeurs rationnelles, i.e. que pour tout n∈N:
un existe et appartient `a Q. 2. Montrer que pour toutn∈N: √
2< un≤2.
3. Montrer que la suite (un)n∈N est strictement d´ecroissante.
4. En d´eduire que la suite (un)n∈Nconverge et que sa limite est sup´erieure ou ´egale `a √ 2.
5. (a) Donner un exemple de suite (vn)n∈N strictement d´ecroissante, minor´ee par√
2, et qui converge vers une limite l6=√
2.
(b) D´emontrer que lim
n→+∞un =√ 2.
Partie C - D´etermination de valeurs approch´ees rationnelles de √ 2
1. En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour toutn∈N: 0≤un+1−√
2≤1
4(un−√ 2).
2. En d´eduire que pour toutn∈N:
0≤un−√ 2≤
1 4
n
(u0−√ 2) puis que pour toutn∈N:
0≤un−√ 2≤2
1 4
n
.
3. Soitε∈R+∗. D´eterminer un nombre entier positifn(ε), d´ependant deε, tel que : 0≤un(ε)−√
2≤ε.
Partie D - Algorithme de calcul de valeurs approch´ees rationnelles de √ 2 Soitε∈R+∗.
On se propose de construire un algorithme de calcul d’une valeur approch´ee rationnelle (i.e. dansQ) de√ 2 avec un ´ecart n’exc´edant pasε. Cet algorithme de calcul ne doit mettre en jeu que des nombres rationnels (i.e. dans Q). On rappelle que √
2 n’est pas rationnel.
Ci-dessous, voici quelques ´el´ements d’un tel algorithme. Recopier et compl´eter cet algorithme.
n←−0 u←−2
Tant que 2/(4^n)
Faire
n←−
u←−
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3
Probl` eme 3 : Simplification d’une fonction mettant en jeu arcsin et arctan
L’objectif de ce probl`eme est de simplifier l’´ecriture de la fonctionf d´efinie par : f:x7→2 arctan(x)−arcsin
1−x2 1 +x2
et de donner l’allure de sa repr´esentation graphique Cf dans un rep`ere Rfix´e du plan.
Partie A - ´Etude d’une fonction auxiliaire Soitg la fonction d´efinie par :
g:R→R; x7→ 1−x2 1 +x2. On note Cg la courbe repr´esentative deg dans le rep`ere R.
1. ´Etudier la parit´e deg.
2. ´Etudier les limites ´eventuelles deg en −∞et en +∞. Quelles cons´equences graphiques peut-on en d´eduire ?
3. Montrer queg est continue et d´erivable surR, puis calculerg0(x) pour toutx∈R.
4. Donner une ´equation de la tangente T1 `a Cg au point d’abscisse 1 et ´etudier la position relative de T1 et Cg.
5. ´Etudier les variations degsurR. On donnera le r´esultat sous forme d’un tableau de variations aussi complet que possible.
6. Repr´esenter graphiquement l’allure de la courbe Cg, en faisant figurer toutes les informations gra- phiques obtenues au cours de l’´etude.
Partie B - ´Etude de la fonction f
1. Justifier avec soin que la fonction f est d´efinie surR. 2. Calculerf(−1),f(0) etf(1).
3. Donner le domaine de continuit´e def.
4. ´Etudier les limites ´eventuelles de f en−∞et en +∞.
5. (a) D´eterminer l’ensemble E des points x o`u les th´eor`emes g´en´eraux permettent de conclure `a la d´erivabilit´e de la fonctionf enx.
(b) Calculerf0(x) pour toutx∈ E.
6. En d´eduire une expression simplifi´ee def(x) pour toutx∈R.
7. (a) `A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer quefest d´erivable en 0 `a gauche, d´erivable en 0 `a droite, mais n’est pas d´erivable en 0.
(b) Quelles cons´equences graphiques peut-on d´eduire du r´esultat de la question pr´ec´edente ? 8. Repr´esenter graphiquement l’allure de la courbeCf.
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