Théorème de Pythagore

Lorsqu’un voilier est face au vent, il ne peut pas avancer. Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.

Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième que chacun a parcourue.

Théorème de Pythagore

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Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵.

On peut donc appliquer le théorème de Pythagore.

On obtient :

𝐴𝐵²+ 𝐵𝐶² = 𝐴𝐶²

D’où : 4,8²+ 𝐵𝐶² = 5,6² On a donc : 𝐵𝐶² = 5,6²− 4,8² D’où 𝐵𝐶² = 31,36 − 23,04

𝐵𝐶² = 8.32

𝐵𝐶 = √8,32 = 2,88 On nous demande d’arrondir au dixième :

Le voilier 1 a donc parcouru : 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 = 2,9 + 4, 8 = 7,7 Le voilier 1 a parcouru 𝟕, 𝟕 𝒌𝒎.

Le triangle ADC est rectangle en D : On a donc :

cos 𝐴𝐶𝐷̂ = 𝐶𝐷 𝐴𝐶

D’où,

cos 24° = 𝐶𝐷 𝐴𝐶

D’où 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 × cos 24° = 5,1

Il faut à présent calculer AD.

Dans le triangle ADC rectangle en D on applique le théorème de Pythagore

On a : 𝐴𝐷²+ 𝐷𝐶² = 𝐴𝐶² D’où : 𝐴𝐷²+ 5,1² = 5,6 ²

𝐴𝐷² = 5,6² − 5,1² 𝐴𝐷² = 5,35

𝐴𝐷 = √5,35 = 2,31

On nous demande d’arrondir au dixième :

Le voilier 2 a donc parcouru : 𝐷𝐶 + 𝐴𝐷 = 5,1 + 2,3 = 7,4

Le voilier 2 a parcouru 𝟕, 𝟒 𝒌𝒎.

Le voilier 1 a parcouru une distance légèrement supérieure au voilier 2.

Michel participe à un rallye VIT sur un parcours balisé.

Le trajet est représenté en traits pleins.

Le départ du rallye est en A et l’arrivée est en G.

Le dessin n’est pas à l’échelle.

Les points A, B et C sont alignés.

Les points C, D et E sont alignés.

Les points B, D et F sont alignés.

Les points E, F et G sont alignés.

Le triangle BCD est rectangle en C.

Le triangle DEF est rectangle en E.

1. Montrer que la longueur BD est égale à 2,5 km.

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2. Justifier que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

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3. Calculer la longueur DF.

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4. Calculer la longueur totale du parcours.

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5. Michel roule à une vitesse moyenne de 16 km/h pour aller du point A au point B. Combien de temps mettra-t-il pour aller du point A au point B ? Donner votre réponse en minutes et secondes.

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1. Le triangle BCD est rectangle en C.

D’après le théorème de Pythagore on a : 𝐵𝐷² = 𝐵𝐶² + 𝐶𝐷²

D’où : 𝐵𝐷² = 1,5² + 2 ² = 2,25 + 4 = 6,25 D’où 𝐵𝐷 = √6,25 = 2,5

Donc 𝑩𝑫 = 𝟐, 𝟓 𝒌𝒎.

2. On sait que les points C, D et E sont alignés.

Le triangle BCD est rectangle en C, donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (CE).

Le triangle DEF est rectangle en E, donc la droite (EF) est perpendiculaire à la droite (CD) donc à la droite (CE) puisque les points C, D et E sont alignés.

Donc les droites (BC) et (EF) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (CE).

Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles. Donc (BC) et (EF) sont parallèles.

3. Puisque les droites (BC) et (EF) sont parallèles on peut appliquer le théorème de Thalès :

Les droites (BC) et (EF) sont parallèles Les droites (BF) et (CE) sont sécantes en D Donc d’après le théorème de Thalès on a :

𝐷𝐹

𝐷𝐵 = 𝐷𝐸

𝐷𝐶 = 𝐸𝐹 𝐵𝐶 D’où,

𝐷𝐹 2,5 = 5

2

D’où 𝐷𝐹 = 5 × 2,5 ÷ 2

D’où 𝑫𝑭 = 𝟔, 𝟐𝟓 𝒌𝒎

4. La longueur totale du parcours est égale à :

𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 + 𝐷𝐹 + 𝐹𝐺 = 7 + 2,5 + 6,25 + 3,5 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟓 𝒌𝒎.

5. Michel roule à une vitesse de 16 km/h

Il parcourt donc 16 km en 60 minutes

Pour trouver le temps qu’il va mettre pour aller du point A au point B, on construit un tableau de proportionnalité.

Distance parcourue

en km 16 7

Temps en minutes 60 ?

Il mettra donc : 7 × 60 ÷ 16 = 26,25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠

Or 0,25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒 = 𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒 = 15 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠

Pour aller du point A au point B, il mettra 𝟐𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒕 𝟏𝟓 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒆𝒔.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points C, B et E sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle BDC est rectangle en B.

1. Montrer que la longueur 𝐵𝐷 est égale à 4 cm.

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2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

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3. Sophie affirme que l’angle 𝐵𝐹𝐸̂ est un angle droit. A-t-elle raison ?

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4. Max affirme que l’angle 𝐴𝐶𝐷̂ est un angle droit. A-t-il raison ?

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La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points C, B et E sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle BDC est rectangle en B.

1. Montrer que la longueur 𝐵𝐷 est égale à 4 cm.

Le triangle CBD est rectangle en B.

D’après le théorème de Pythagore on a : 𝐶𝐷² = 𝐵𝐶² + 𝐵𝐷²

D’où : 𝐵𝐷² = 𝐶𝐷² − 𝐵𝐶² = 8,5²− 7,5² = 16 D’où 𝐵𝐷 = √16 = 4

Donc 𝐵𝐷 = 4 𝑐𝑚.

2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

Deux triangles sont semblables si les mesures de leurs côtés sont proportionnelles.

Or,

𝐵𝐹 𝐶𝐵 = 6

7,5= 0,8

𝐹𝐸

𝐵𝐷 =3,2

4 = 0,8

𝐵𝐸

𝐶𝐷 = 6,8

8,5= 0,8

Les trois rapports de longueur étant égaux, on en déduit que les triangles CBD et BFE sont semblables

3. Sophie affirme que l’angle 𝐵𝐹𝐸̂ est un angle droit. A-t-elle raison ?

Vérifions que le triangle BFE est rectangle : Pour cela on applique la réciproque du théorème de Pythagore :

• 𝐵𝐸² = 6,8² = 46,24

• 𝐵𝐹²+ 𝐹𝐸² = 6²+ 3,22² = 36 + 10, 24 = 46,24

*Donc : 𝐵𝐸² = 𝐵𝐹² + 𝐹𝐸²

En utilisant la réciproque de Pythagore on conclut que le triangle 𝐵𝐸𝐹 est rectangle en 𝐹 et donc que l’angle 𝐵𝐹𝐸̂ est droit .

4. Max affirme que l’angle 𝐴𝐶𝐷̂ est un angle droit. A-t-il raison ?

Calculons l’angle 𝐷𝐶𝐵.̂

On se place dans le triangle rectangle DCB :

cos 𝐷𝐶𝐵̂ = 𝐶𝐵

𝐶𝐷 = 7,5

8,5 = 15 17

En utilisant la touche 𝑐𝑜𝑠 ⁻¹ ou la touche 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 de la calculatrice, on obtient :

𝐷𝐶𝐵̂ = 28°

L’angle 𝐴𝐶𝐵̂ mesure donc :

61° + 28° = 89 °

L’angle 𝐴𝐶𝐵̂ n’est pas un angle droit.

Max a tort.

On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur. Les points A, B et E sont alignés ainsi que les points C, B et D.

1. Dans chacun des cas suivants, indiquer sur la copie la réponse qui correspond à la longueur du segment [AB] parmi les réponses proposées.

Aucune justification n’est attendue.

Données Réponse A Réponse B Réponse C

Cas n°1

𝐴𝐶 = 51 𝑐𝑚 𝐶𝐵 = 85 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 64 𝑐𝑚

68 𝑐𝑚 99,1 𝑐𝑚 67,7 𝑐𝑚

Cas n°2

𝐴𝐶𝐵 ̂ = 62°

𝐶𝐵 = 9 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 5 𝑐𝑚

Environ 10,2 𝑐𝑚

Environ 4,2 𝑐𝑚

Environ 7,9 𝑐𝑚

Cas n°3

𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 7 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 5 𝑐𝑚

11,2 𝑐𝑚 10,6 𝑐𝑚 4,3 𝑐𝑚

2. Pour l’un des trois cas uniquement, au choix, justifier la réponse sur la copie en rédigeant.

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On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur. Les points A, B et E sont alignés ainsi que les points C, B et D.

1. Dans chacun des cas suivants, indiquer sur la copie la réponse qui correspond à la longueur du segment [AB] parmi les réponses proposées.

Aucune justification n’est attendue.

Données Réponse A Réponse B Réponse C

Cas n°1

𝐴𝐶 = 51 𝑐𝑚 𝐶𝐵 = 85 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 64 𝑐𝑚

68 𝑐𝑚 99,1 𝑐𝑚 67,7 𝑐𝑚

Cas n°2

𝐴𝐶𝐵 ̂ = 62°

𝐶𝐵 = 9 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 5 𝑐𝑚

Environ 10,2 𝑐𝑚

Environ 4,2 𝑐𝑚

Environ 7,9 𝑐𝑚

Cas n°3

𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 7 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 5 𝑐𝑚

11,2 𝑐𝑚 10,6 𝑐𝑚 4,3 𝑐𝑚

2. Pour l’un des trois cas uniquement, au choix, justifier la réponse sur la copie en rédigeant.

Cas N°1 :

Le triangle ABC est rectangle en A. On applique le théorème de Pythagore.

On a donc :

𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶² Donc :

𝐴𝐵² = 𝐵𝐶²− 𝐴𝐶² = 85²− 51² = 7225 − 2601 = 4624 Donc : 𝐴𝐵 = √4624 = 68 𝑐𝑚

Cas n°1

𝐴𝐶 = 51 𝑐𝑚 𝐶𝐵 = 85 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 64 𝑐𝑚

68 𝑐𝑚 99,1 𝑐𝑚 67,7 𝑐𝑚

Cas N°2 :

Dans le triangle ABC rectangle en A on a : sin 62° = 𝐴𝐵

𝐵𝐶

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 × sin 62 ° ≈ 7,9 𝑐𝑚

Cas n°2

𝐴𝐶𝐵 ̂ = 62°

𝐶𝐵 = 9 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 5 𝑐𝑚

Environ 10,2 𝑐𝑚

Environ 4,2 𝑐𝑚

Environ 7,9 𝑐𝑚

Cas N°3 :

Les droites (AC) et (DE) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à une même droite, on peut appliquer le théorème de Thalès :

On a :

𝐴𝐵

𝐵𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐸

𝐴𝐵 7 = 8

5 D’où :

𝐴𝐵 = 7 × 8 ÷ 5 = 56 ÷ 5 = 11,2 𝑐𝑚

Cas n°3

𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚 𝐵𝐸 = 7 𝑐𝑚 𝐷𝐸 = 5 𝑐𝑚

11,2 𝑐𝑚 10,6 𝑐𝑚 4,3 𝑐𝑚

Sur la copie on ne vous demande de rédiger qu’un seul des cas.

Ici les 3 cas ont été rédigés.

Justine et Gérald décident de construire un panneau.

Pour cela ils découpent un rectangle de 1,6 m de large sur 1,2 m de long dans un grand carton.

Au moment de tracer le rectangle, n’ayant pas trouvé d’équerre, Justine et Gérald se demandent comment construire les angles droits de leur panneau.

Choisir, parmi les trois essais, celui qui donnera un rectangle.

Les dessins ne sont pas à l’échelle

On détermine quelle est la figure qui a un angle droit :

Pour cela on applique la réciproque du théorème de Pythagore.

Essai n°1 :

1,8 ² = 3,24 1,6²+ 1,2² = 4

Donc l’essai n°1 ne marche pas. Il ne s’agit pas d’un rectangle.

Essai n°2

2 ² = 4

1,6²+ 1,2² = 4

Donc l’essai n°2 marche. Il s’agit bien d’un rectangle.

Essai n°3

2,2 ² = 4,84 1,6²+ 1,2² = 4

Donc l’essai n°3 ne marche pas. Il ne s’agit pas d’un rectangle.