A
B
C J
I a. Construis un triangle ABC. Construis les points I et J,
milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].
b. Que peux-tu conjecturer concernant la droite des milieux (IJ) ?
c. Place le point I', symétrique du point I par rapport à J.
d. Que dire du quadrilatère AICI' ? Comment le démontrer ? e. Déduis-en que les segments [I'C] et [IB] sont parallèles et de même longueur.
f. Prouve alors la conjecture émise au b. : « Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors... ».
a. Construis un quadrilatère ABCD. Construis les points I, J, K et L, milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD]
et [DA] du quadrilatère ABCD.
b. Que peux-tu conjecturer quant au quadrilatère IJKL ? c. En appliquant deux fois la propriété de la droite des milieux dans un triangle (voir l'exercice précédent), démontre que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
d. Démontre de façon analogue que (IL) et (JK) sont parallèles.
e. Déduis-en que IJKL est un parallélogramme.
Ce résultat a été démontré par Pierre Varignon, mathématicien français du 17e siècle. Il est connu sous le nom de théorème de Varignon.
a. Construis un quadrilatère ABCD et le parallélogramme de Varignon associé IJKL.
(Voir l'exercice précédent).
b. Quelle semble être la nature du quadrilatère IJKL lorsque ABCD est un losange ? c. Quelle semble être la nature du quadrilatère IJKL lorsque ABCD est un rectangle ? d. Quelle semble être la nature du quadrilatère IJKL lorsque ABCD est un carré ?
e. Peux-tu faire en sorte que IJKL soit un rectangle sans que ABCD soit un parallélogramme ? Quelle semble être, toutefois, la particularité du quadrilatère ABCD dans ce cas ?
f. Peux-tu faire en sorte que IJKL soit un losange sans que ABCD soit un parallélogramme ? Quelle semble être, toutefois, la particularité du quadrilatère ABCD dans ce cas ?
g. Semble-t-il possible que IJKL soit un carré sans que ABCD soit un parallélogramme ? Quelle semble être, toutefois, la particularité du quadrilatère ABCD dans ce cas ?
G4 • Parallélogrammes
