A815. Des combinaisons sous toutes les coutures ****
Soient trois entiers strictement positifs a,b et c.
Q1 Déterminer le nombre maximum N d'entiers positifs distincts qu'il est possible d'obtenir en combinant ces trois entiers avec les quatre opérations élémentaires +, ‒ * / et des parenthèses (..) utilisées en tant que de besoin. Par exemple : a + b + c, a + b ‒ c, a*b/c, (b ‒ a)*c, c / (b + a), etc...
Q2, Trouver le triplet (a, b, c) de produit abc minimal qui donne N.
Proposition :
1°)
Avec les expressions comprenant au moins l’un des trois termes a, b et c : 45 solutions avec le triplet (120, 6, 2)
Détail de cette solution
Avec a = 120, b = 6 et c = 2, nous obtenons
45 solutions avec les trois nombres initiaux dont le produit est minimal : 1440.
D’autres solutions sont proposées à la fin de ce document.
Ne sont notées que les combinaisons donnant des résultats tous différents.
a = 120 b = 6 c = 2
b*c = 12, a*c = 240 b+c = 8 a+c = 122 a*b = 720 a+b = 126 b-c = 4 b/c = 3
a-c = 118 a-b = 114 a/c = 60 a/b = 20
a*b*c = 1440 a+b*c = 132 a*c+b = 246 a*c-b = 234 a*c/b = 40 a*b+c = 722 a+b+c = 128 a+c-b = 116 a/b+c = 22 a*b-c = 718 a*b/c = 360 a+b-c = 124 a/c+b = 66 a+b/c = 123 a-b*c = 108 a-b-c=112 a-b/c = 117 a/c-b = 54 a/b/c = 10 a/b-c = 18
c*(a+b) = 252 c*(a-b) = 228 b*(a+c) = 732 b*(a-c) = 708 a*(b+c) = 960 a*(b-c) = 480 a/(b+c) = 15 a/(b-c) = 30 (a+b)/c = 63 (a-b)/c = 57
2°)
Avec les expressions comprenant exactement les trois termes a, b et c : 30 solutions avec le triplet (72, 6, 2).
C’est le triplet ayant le produit minimal, les suivantes étant : (96, 6, 2)…
puis (72, 6, 3) puis (90, 6, 3) puis (108, 6, 3) …
Voici le détail avec (72, 6 et 2). : a+b+c = 80
a*b*c = 864 a/b/c = 6 a+b*c = 84
a+b-c = 76 a+b/c = 75 a+c-b = 68 a-b*c = 60 a-b/c = 69
a*b+c = 434 a*b-c = 430 a*b/c = 216 a*c+b = 150 a*c-b = 138 a*c/b = 24
a/b+c = 14 a/b-c = 10 a/c+b = 42 a/c-b = 30
a*(b+c) = 576 a*(b-c) = 288 a-(b+c) = 64 a/(b+c) = 9 a/(b-c) = 18 b*(a+c) = 444 b*(a-c) = 420 c*(a+b) = 156 c*(a-b) = 132 (a+b)/c = 39 (a-b)/c = 33
Et voici ces mêmes solutions rangées numériquement en ordre croissant : a/b/c = 6
a/(b+c) = 9 a/b-c = 10 a/b+c = 14 a/(b-c) = 18 a*c/b = 24 a/c-b = 30 (a-b)/c = 33 (a+b)/c = 39 a/c+b = 42
a-b*c = 60 a-(b+c) = 64 a+c-b = 68 a-b/c = 69 a+b/c = 75 a+b-c = 76 a+b+c = 80 a+b*c = 84 c*(a-b) = 132 a*c-b = 138
a*c+b = 150 c*(a+b) = 156 a*b/c = 216 a*(b-c) = 288 b*(a-c) = 420 a*b-c = 430 a*b+c = 434 b*(a+c) = 444 a*(b+c) = 576 a*b*c = 864
Quelques réflexions notées rapidement
Prenons a>b>c, différents pour un maximum de solutions.
Le raisonnement suivant est donné pour une utilisation unique de chaque signe.
Il suffira de rajouter les cas :
a+b+c ET a*b*c ET a/b/c ET a-b-c qui donnent
4
cas supplémentaires éventuels s’ils ne font pas doublon avec les autres.Les autres donneraient :
a/(b/c)=a*c/b OU (a/b)/c=a/b/c OU a-(b-c)=a-b+c OU (a-b)-c=a-b-c Donc rien de nouveau par rapport à une utilisation unique de signes.
Les signes opératoires ne peuvent être placés qu’après des chiffres ou après une parenthèse fermante.
Un signe opératoire doit être suivi d’un nombre d’une parenthèse ouvrante etc.
Pour toutes les combinaisons de longueur plus petite que 5, les parenthèses ne sont pas utiles.
On ne peut avoir qu’une longueur impaire pour les combinaisons possibles.
Par exemple :
5*(-5) sera trouvé avec 5*-5=-25 ; Combinaisons de longueur 1 Il y en a
3
: a, b et c.Combinaisons de longueur 2, (seul cas acceptable avec une longueur paire).
Nous en avons 6 mais on ne garde que les entiers positifs. Donc rien de nouveau.
+a, +b, +c et -a, -b puis -c.
Il y en a donc 0.
Combinaisons de longueur 3
→
12
solutions maximum entières et positives.Il y a 3*4*2, = 24 possibilités au maximum.
a*b a*c a+b a+c a-b a-c a/b a/c
c-a c-b c/a c/b
b*c b+c b-a b-c b/a b/c
On retient 18 résultats réels (non obligatoirement distincts) et moins en ne retenant que les entiers positifs distincts,
Ainsi pour les entiers positifs on aura au MAXIMUM les 12, solutions suivantes.
On choisit a>b>c,
On élimine c/b car <1, b/a et c/a, On élimine b-a et c-a qu iseront négatifs.
a+b a+c b+c a-b a-c c-b
a*b a*c b*c a/b a/c b/c
MAIS ces solutions n’étaient pas vraiment demandées dans le problème qui précisait : « de combiner les trois nombres entiers a, b et c ».
Aussi nous ne retiendrons que les combinaisons, de 3 ou 7 termes, suivantes.
Combinaisons de longueur 5
→
21
solutions maximum entières et positives.Dans ce cas, les parenthèses sont inutiles et avons 3*4*2*3*1 = 72, possibilités d’écritures différentes au maximum.
a*b+c a*b-c a*c+b a*c-b
a*c/b= a/b*c= c/b*a=c*a/b a+b*c
a+b-c a+b/c a+c-b a+c/b a-b*c a-b/c a-c+b a-c/b a/b+c a/b-c
a/c*b=a*b/c=b*a /c a/c+b
a/c-b
b*c-a b+c-a b+c/a b-a*c b-a+c b-a/c b-c/a
b/a*c=b*c/a= c/a*b=c*b/a b/a+c
b/a-c b/c-a
c-a*b c-a/b c-b/a c/a-b c/b-a
On retient 35 résultats réels (non obligatoirement distincts) et clairement moins en ne retenant que les entiers positifs distincts.
Par exemple on va
-éliminer b/c -a qui ne peut pas être entier positif puisque a>b donc a>b/c.
-éliminer c/b- a qui ne peut pas être entier positif puisque c<b etc.
Ainsi pour les entiers positifs on aura au MAXIMUM les 21 solutions suivantes.
a+b-c a+c-b a-c+b b+c-a a*b+c a*b-c a*c+b a*c-b a+b*c a-b*c b*c-a
a-b/c a/b+c a/b-c a/c-b a/c+b
a/c*b=a*b/c=b*a /c c/b*a=c*a/b
b/a*c=b*c/a
b-a/c c-a/b
Combinaisons de longueur 7
→
16
solutions maximum entières et positives.Si l’on accepte les formes (4+5-8), nous retrouvons les combinaisons de longueur 5…
En tenant compte des priorités des opérations (éventuellement de gauche à droite pour * et /, donc des cas comme a*(b/c), de même que a+(b/c) et aussi (a*b)+c qui sont déjà comptés dans les combinaisons de longueur 3.
On tient compte aussi du fait que (a/c)*b = a/c*b donc déjà compté dans les combinaisons de longueur 5 ; idem pour (a/c)+b et (a/c)-b = a/c -b puis pour a-(c/b) =a-c/b puis a*(b/c)=a*b/c puis
a+(b*c)=a+b*c
Tenir compte de la commutativité de * et + etc.
Ainsi pour les entiers positifs on aura au MAXIMUM les 16 solutions suivantes.
a*(b+c) a*(b-c) a*(c-b)
a-(b+c)=a-b-c (déjà compté au début ) a/(b+c)
a/(b-c)
b*(a+c) b*(a-c) b*(c-a) b-(a+c) b/(a+c) b/(a-c)
c*(a+b) c*(a-b) c*(b-a) c-(a+b) c/(a+b) c/(a-b)
(a+b)/c (a+c)/b (a-b)/c (a-c)/b
(b+c)/a (b-a)/c (b-c)/a
(c-a)/b (c-b)/a
a/(c-b) a/(b*c)
a/(b/c)=a*c/b (déjà compté )
b/(c-a) c/(b-a)
Il semble évident qu’une solution comme (b+c)/a va disparaître si on prend des valeurs de b et c assez éloignées de a.
Combinaisons de longueur 9
C’est simplement IMPOSSIBLE en ne prenant qu’une seule fois chaque nombre a, b ou c.
Finalement nous avons avec a, b et c un maximum de
4 + 3 + 21 + 16 + 12 = 56
solutions au MAXIMUM non forcément toutes distinctes.
Certaines conditions doivent être respectées pour obtenir un maximum de résultats positifs et entiers.
Optimisons avec
a>b>c ET a multiple de b ET de c, ET b multiple de c.
Pour garder a/(b*c) entier, prendre a multiple de b*c comme 84, 6 et 2 Il ne faut pas que c=a*b, sinon on diminue le nombre de cas.
Eviter que a*b/c soit égal à b ou c.
De même ne pas prendre c=1 car alors a*b = b (longueur 1 pour la combinaison).
Il faut obtenir un maximum de résultats différents, donc éviter par exemple 12, 6 et 2, ou même 72, 6 et 2, (car 72/(2*6) donne 6) qui vont redonner des résultats déjà acquis
Autres exemples de solutions avec N=45
( 2, 6, 120)( 2, 6, 168) ( 2, 6, 192) ( 2, 6, 216) ( 2, 6, 240) ( 2, 6, 264) ( 2, 6, 288) ( 2, 6, 312) ( 2, 6, 336) ( 2, 6, 360) ( 2, 6, 384) ( 2, 6, 408) ( 2, 6, 432) ( 2, 6, 456) ( 2, 6, 480) ( 2, 6, 504) ( 2, 6, 528) ( 2, 6, 552) ( 2, 6, 576) ( 2, 6, 600) ( 2, 6, 624) ( 2, 6, 648) ( 2, 6, 672)
( 2, 6, 840) ( 2, 6, 864) ( 2, 6, 888) ( 2, 6, 912) ( 2, 6, 936) ( 2, 6, 960) ( 2, 6, 984) ( 2, 6, 1008) ( 2, 6, 1032) ( 2, 6, 1056) ( 2, 6, 1080) ( 2, 6, 1104) ( 2, 6, 1128) ( 2, 6, 1152) ( 2, 6, 1176) ( 2, 8, 240) ( 2, 8, 480) ( 2, 8, 720) ( 2, 8, 960) ( 2, 10, 360) ( 2, 10, 480) ( 2, 10, 600) ( 2, 10, 720)
( 3, 12, 1080) ( 3, 15, 360) ( 3, 15, 900) ( 3, 12, 360) ( 3, 12, 720) ( 3, 12, 900) ( 3, 15, 1080) ( 3, 21, 1008)
( 4, 12, 288) ( 4, 12, 336) ( 4, 12, 432) ( 4, 12, 480) ( 4, 12, 672) ( 4, 12, 720) ( 4, 12, 816) ( 4, 12, 864) ( 4, 12, 912) ( 4, 12, 960) ( 4, 12, 1008) ( 4, 12, 1056) ( 4, 12, 1104) ( 4, 12, 1152) ( 4, 20, 720) ( 4, 20, 960)
( 5, 15, 600) ( 5, 15, 900) ( 5, 20, 900)
( 6 18, 864) ( 6 18, 1080) ( 6 42, 1008) ( 8 24, 1152) ( 40, 120, 960)
( 2, 6, 696) ( 2, 6, 720) ( 2, 6, 744) ( 2, 6, 768) ( 2, 6, 792) ( 2, 6, 816)
( 2, 10, 840) ( 2, 10, 960) ( 2, 10, 1080) ( 2, 12, 840) ( 2, 14, 672) ( 2, 14, 1008)
