Avec les conventions usuelles de priorité des opérations * et

A815. Des combinaisons sous toutes les coutures****

Soient trois entiers strictement positifs a, b et c.

Q1 Déterminer le nombre maximum N d'entiers positifs distincts qu'il est possible d'obtenir en combinant ces trois entiers avec les quatre opérations élémentaitres +, ‒ , *, / et des parenthèses (..) utilisées en tant que de besoin. Par exemple : a + b + c, a + b ‒ c, a*b/c, (b ‒ a)*c, c / (b + a), etc...

Q2 Trouver le triplet (a,b,c) de produit abc minimal qui donne N.

Solution proposée par jean Nicot

Déterminons en premier les combinaisons acceptables en ignorant dans un premier temps les résultats non entiers.

Avec les conventions usuelles de priorité des opérations * et / , on utilisera les parenthèses seulement pour modifier l’ordre des priorités. On a un seul opérande devant chaque entier a, b ou c. Chaque combinaison peut fournir un résultat positif et son opposé.

Dans une combinaison, le nombre de résultats est multiplié par S=2 pour chaque signe ± utilisé, par p= 3 pour permuter une seule valeur a, b ou c, par P= 6 avec les permutations circulaires

±a ±b ±c S³ =8

±a ±(b *c) S² p =12

±a *(b ±c) S² p =12

±a ±(b/c) S² P =24 (±a ±b) /c S² p =12

±a /(b ±c) S² p = 12

±a /(b*c) S p = 6 (±a *b) /c S p = 6

On évite les différences nulles avec des entiers différents comme par exemple a>b>c

Dans les 92 combinaison ci-dessus, il ne reste que 46 à valeur positive comme on peut toujours changer le signe.

Les combinaisons sans division ne posent aucune difficulté et contribuent pour R0 =32/2=16 résultats.

±a ±(b/c) si b divise a et si c divise b on aura R1 =6 résultats

(a ±b) /c la condition ci-dessus permet la division par c et peut-être b soit au mieux R2 = 4 résultats a /(b ±c) a doit vraisemblablement être le dividende, sans que R3= 2 résultats soient assurés

a /(b*c) a doit être le dividende et il se peut que R4=1

(a *b) /c a ne doit pas être le diviseur avec au mieux R5=2 résultats Pour un produit abc faible, on prend c=1 et b=2

Si c=1 b=2 on a a ±(2/1) ±2+(a/1) ±1+(a/2) R1=4 ou 6 si a est pair |

| parité indifférente (a±2)/1 ( a ±1)/2 R2=2 ou 4 si a est impair |

a/(2±1) 2/(a-1) R3=1 ou 2 si a est multiple de 3 ou bien 3 si a=3 a/(2*1) R4=1 si a pair

(a*2)/1 (a*1)/2 R5=1 ou 2 si a est pair Si a=3 R1+R2+R3+R4+R5 = 4+4+3+0+1=12 avec R0=16 N= 28 et abc =6 Si a=4 R1+R2+R3+R4+R5 = 6+2+1+1+2=12 avec R0=16 N= 28 et abc =8

Si a=6 R1+R2+R3+R4+R5 = 6+2+2+1+2=13 avec R0=16 N= 29 et abc =12 Le meilleur triplet est {1,2,6} pour N=29 et abc=6.