D20393. Enveloppe à découvrir
Un point M parcourt l’ellipse fixe (E), et est le centre d’un cercle variable (C), orthogonal à un cercle fixe (D) bitangent à (E). Trouver l’enveloppe de (C).
Solution
Considérons une droite d passant par D, centre du cercle fixe de rayon r; une tangente à (E) perpendiculaire à d coupe d en K et touche (E) en M, centre d’un cercle (C) orthogonal à (D) ;d coupe (C) enT etT0; M T2 = M T02 = M D2 −r2, d’où KT2 = KT02 = KD2 −r2, quantité stationnaire dans une rotation élémentaire de d; ainsi T et T0 sont les points caractéristiques de (C), points de contact avec son enveloppe.
(E) ayant deux tangentes perpendiculaires à d, dcoupe l’enveloppe en 4 points : c’est une quartique. Celle-ci a pour points doubles les pointsP, Q de contact entre (E) et (D), et les points cycliques. Tout cercle passant par P,Qet un autre point de la quartique a 9 points communs avec celle-ci, et lui appartient tout entier. Elle se décompose donc en deux cercles passant par P etQ.
De plus, les isotropes issues de F et F0, foyers de (E), sont tangentes à (E) ; ces foyers sont les centres des cercles de l’enveloppe.
Autre solution (analytique)
Soit x2/a2 +y2+b2 = 1 l’équation de (E), x =m celle de la corde P Q des contacts entre (D) et (E).
(D) admet pour équationy2−b2+x2b2/a2+ (1−b2/a2)(x−m)2 = 0.
Le point M(acost, bsint) de (E) a pour puissance par rapport à (D) : (1−b2/a2)(acost−m)2.
C’est le carré du rayon de (C), qui admet donc pour équation : (x−acost)2+ (y−bsint)2−(1−b2/a2)(acost−m)2= 0, soit
2a(m(1−b2/a2)−x) cost−2bysint+x2+y2+b2−(1−b2/a2)m2 = 0, de la formeUcost+V sint+W = 0.
Dérivant ent, les points (x, y) caractéristiques de (C) sont son intersection avec la droite d’équation −Usint+V cost= 0.
On en tire cost/U = sint/V =−W, puis l’élimination detpar U2+V2 =W2, qui est l’équation de l’enveloppe :
4a2(m(1−b2/a2)−x)2+ 4b2y2 = (x2+y2+b2−(1−b2/a2)m2)2. Le premier membre s’écrit 4b2W −4b4+ 4(a2−b2)(x−m)2, et l’équation prend la forme (W −2b2)2+ 4(b2−a2)(x−m)2 = 0.
Cela conduit à distinguer deux cas.
Sib > a, la cordeP Qest alors parallèle au grand axe. Sauf enP etQ,M est intérieur à (D), les cercles (C) sont imaginaires.
Leur enveloppe est imaginaire et formée des deux cercles d’équation W − 2b2 ± 2i(x − m)√
b2−a2 = 0 ayant P et Q, de coordonnées (m,±bp1−m2/a2), pour seuls points réels.
Sib < a, soitc2=a2−b2. L’enveloppe se décompose en les cercles d’équa- tionW−2b2±2c(x−m) = 0, soit (x±c)2+y2 = (m±c)2+b2(1−m2/a2).
Ce sont les cercles passant parP etQ et centrés aux foyers de (E) de co- ordonnées (±c,0). C’est donc ce dernier cas (corde des contacts parallèle au petit axe) qu’a envisagé l’auteur de l’énoncé et de la première solution, sans le dire explicitement.
