Première solution

D. E NCONTRE Première solution

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 2 (1811-1812), p. 341-346

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Première solution ;

Par M. D. ENCONTRE , professeur, doyen de la faculté des sciences de l’académie

^de

Montpellier.

1.

LORSQUE

^deux

joueurs

^sont

prêts

^{à commencer la}

partie ,

^{et ont}

dejà

^forme

l’enjeu ^tutal,

^{ils en} cèdent l’un et l’autre l’entière pro-

priett

^à celui des deux

qui

gagnera. Chaenn a d’ailleurs droit d attendre

ce que ^le hasard doit

probablement

^{lui donner ; et, s’ils se trouvent}

contraints d’abandonner la

partie

^,

l’enjeu

^{dcit être}

psrtagé

^{entre eux,}

non d’une manière

égale,

^mais de manière que la

part

^{de chacun}

soit

proportionnée

^{à la}

probabilité qu’il

^{aurait eu de} gagner ^{le tout} si la

partie

^{eût été continuée.}

Très-généralement,

les droits

respectifs

^{des deux}

joueurs

^{sur l’en-}

jeu ^{total ,}

^{au moment où la}

partie

^{se trouve}

interrompue ,

^sont

en raisun des

probabilités qui

^{leur sont}

respectivement favorables y

ou , ^en d’autres termes , ^{de leurs}

espérances mathématiquement

^cal-

culées.

II.

Lorsque,

^{de deux chances}

^données,

^{une doit} nécessairement

arriver;

que la

première promet

^{à un}

joueur

^{une certaine} somme ou un

certain

droit ,

_que ^{la seconde}

_promet

^{au même}

joueur

^{une autre}

somme ou un autre

droit,

^et

qu’elles

^{ne sont pas}

également

^pro-

bables ;

^{la somme ou} le droit que le

joueur

^{dont il}

s’agit

^doit

raisonnablement

attendre,

^{en vertu} des deux chances

données, équivaut

a la somme ou au droit

qu’apporterait

^la

première

^chance

multipliée

par ^sa

probabilité , plus

^{la somme ou le droit}

qu’apporterait

^la

seconde, multipliée

aussi par ^sa

probabilité.

Supposons

^I.°

qu’il

y

ait,

^{dans une}

bourse ,

^deux

billets,

^l’un

de 6 francs et l’autre de I2, ^et

qu’un joueur

ait actuellement le droit de

prendre ,

^au

hasard ,

^{un de ces deux}

^billets,

^Les

probabilités

Tom. Il.

47

342 QUESTIONS

étant

égales,

^et

exprimées,

^{l’une et}

l’autre, par I 2,

^le

^droit

^réel

de notre

joueur équivaut

^à

Supposons

^2.°

qu’il

y

ait ,

^{dans une}

bourse,

trois billets :

savoir,

deux ^{de 12} francs et un de

6 ;

^et

qu’un joueur

^{ait le droit de}

prendre,

au

hasard ,

^{un de ces trois billets. La}

probabilité qu’il

^{tirera un des}

deux billets de 12 francs étant

exprimée par 2 3,

^{et la}

probabilité qu’il

tirera celui de G francs étant

exprimée par I 3 ;

^{la somme à}

laquelle

il doit

raisonnablement prétendre

^sera

Supposons

^3.°

qu’il y ^{ait ,}

^{dans une}

bourse, quatre billets,

^dont

un donne droit de

prendre,

^au

hasard,

^{un des} billets de la bourse du

premier exemple,

^{et dont chacun} des trois autres donne droit de

prendre y

^au

^{hasard ,}

^{un des billets} de la bourse du second

exemple ; l’espérance

^du

^joueur qui

^aura le droit de

prendre,

^au

hasard ,

^{un de ccs} quatre billets ^sera

III.

Ces

principes

^étant admis par ^tous les

mathématiciens ,

^{nous ne}

nous arrêterons ni à les démontrer ni à les

expliquer

par ^un

plus grand

^nombre

d’exemptes ,

^{et nous} passerons ^{de suite a leur}

appli-

cation à la

question proposée. ^Mais,

pour ^nous ouvrir

plus

^facilement

la voie à la solution

générale ,

^nous commencerons par ^un

exemple particulier.

Soient A et B les deux

joueurs ,

^et convenons , ^en

général

de

designer

par

A

^et

B

^{leurs états}

respectifs , lorsque

^le

premier

aura p

jetons

^et le second 9.

Supposons.,

par

exemple,

que le

premier

ait deux fois

plus

d’adresse que le

second ;

^{en sorte}

qu’à chaque partie

il y ^ait deux a

parler

^{contre un} que ^{ce sera} lui

qui

gagnera ; alors leurs

probabilités respectives

de gagner ^une

partie quelconque seront 2 3

^et

I 3.

^{Donnons eniui un}

jeton

^{à A et}

quatre

^à

B,

^ce _que

nous

exprimerons

^ainsi

AI , B4 .

RESOLUES.

Les conditions du

jeu

^{étant celles}

qu’on

^{a vues} dans l’énoncé du

problème ,

proposons-nous ^de trouver, ^{dans ce cas}

particulier ,

^le

droit des deux

joueurs

^sur

^l’enjeu

^{commun , ou}

quelles sont

^leurs

espérances , mathématiquement

^calcu1ées.

Soient

désignées respectivement

^{par xI, x2,} x x 4 les

proba-

bilites favorables au

joueur A,

^{dans les}

hypothèses

successives

AI , B4 ; A2 , B3 ; A3 , ^{B2 ; A4 , BI ;} d’après quoi

^{on aura,} x0=0, xs=I.

Il est évident que, solvant que ^A gagnera ^la

première partie

^ou

qu’il

^la

perdra ,

^son

espérance

^{deviendra xz ou x0=0;} que s’il la gagne , suivant

qu’il

^{gagnera ou}

qu’il perdra

^la

^seconde,

^son

espérance

deviendra ur; 3 ou xI, ^et ainsi de

suite ; puis

donc que les

probabilites qu’il

^a de gagner ^ou de

perdre chaque partie,

^sont

respectivement 2 3 et I 3,

on aura

ces

équations

^{étant en même} nombre que les inconnues

qu’elles

^ren-

ferment,

^{ces inconnues}

pourront

^être déterminées ct

consequemment

on pourra

assigner ,

^pour

chaque

^{état du}

jeu, l’espérance

^{de chacun}

des

joueurs.

En faisant le

calcul , désignant

^en

génLral

^par

_y l’espérance

^de

B

lorsqu’il

a q

jetons,

^{et se}

rappelant

que la ^somme des

espérances

des deux

joueurs

^{doit être}

^l’unité,

^{on obtiendra le} tableau, suivant

Ainsi,

^dans

l’hypothèse proposée AI, B4 ,

^les

espérances

^des

joueurs

A et B sont

respectivement

^et

I5 3I.

^{Mais on} voit que, pour

parvenir-

à ce

l’ésultat ,

^{nous avons été}

obligés

de calculer les

espérances

^des

QUESTIONS

dpux

joueurs,

^{dans d’autres}

hypothèses

que ^nous n’avions _pas en vue; ^ce

qui,

^à raison des

longueurs qui

^en

résultent,

^{est un mcon-} veient _que ^ne

présentera plus l’emploi

^{des formules}

générales

que

nous allons chercher à construire.

IV.

Soit s le nombre total des

jetons

^{des deux}

joueurs.

Considérons les états successifs

AI , BS-I ; A2 , BS-2 ; A3 , BS-3 ;

^;...

AS-3 , B3 ; AS-2 , B2 ; AS-I , BI ;

^et

désignons respectivement

par xI, x2, x3, ...

xs-3, xs-2 , xs-I , les

espérances

^{de A}

qui

^leur

répondent.

^{Si m et n}

représentent

^{les adresses}

respectives

^{des deux}

joueurs ,

^la

probabilité

que A gagnera ^une

partie quelconque

^sera

m m+n,

tandis que la pro- babilité

qu’il

^la

perdra

^{sera n m+n ; en}

raisonnant

donc comme ci-

dessus ,

^on

^obtiendra

^{cette suite}

d’équations

lesquelles

^seront

toujours

^{en même nombre} que les inconnues

celles

renfermant.

Si maintenant on suppose successivement _s=2,

,3,4,...,

^ce

qui

réduira aussi

à 2, 3, 4, ....,

lc nombre des

équations;

^{on trouvera}

RÉSOLUES. 345

et ainsi de suite.

La loi de ces résultats est

manifeste,

^{et on en conclut facilement}

que,

xp

^et

y désignant respectivement

^les

cspérances

^{de A et B}

qui répondent

^{à l’état}

A. p Bq,

^on doit avoir

généralement,

^{à cause}

de

xp+Yq= 1 ,

Il

faudra seulement avoir

l’attention ,

^{dans le cas}

particulier

^{où l’on}

aura n=m, de délivrer ces formules du facteur m-n

qui

^affecte

leur numérateur et leur

dénominateur ,

^avant d’en faire

l’application.

Pour donner un

exemple

^de

l’usage

^{de ces}

^formules,

supposons que le

joueur

^{A ait 6}

jetons ,

^et que le

joueur B

^en

^{ait 4}

^seule-

ment ; il faudra faire p = 6 ^et q=

4 ;

les formules deviendront donc

Si ^nous supposons , ^en outre, que l’adresse de A soit double de celle de

B ,

^ce

qui

^{donnera m=2, n = 1 ,} il viendra

les

espérances respectives

^{de A et B seront}

donc et 5 141; ^elles

seront donc dans

le rapport

^{de 336 à 5.}

346

V.

On

peut

faire diverses

observations

curieuses sur la

question qui

^nous

occupe. ^{Nous nous bornerons aux} deux suivantes

qui peuvent

^{être utiles.}

I.° En delivrant les valeurs de xp et

yq

^{du facteur m2013n}

qui

affecte teur numérateur et leur

dénominateur ,

^et

_posant

^ensuite

n=tn , elles deviennent ^toutes réductions faites

ainsi, lorsque

^{les deux}

joueurs

^{sont d’adresse}

égale,

^leurs

espérances respectives

^{sont dans le} rapport du nombre de leurs

jetons ;

^comme

on

pouvait

^{bien le}

prévoir.

2.° Mais ^ce serait une erreur de croire

qu’à l’inverse, lorsque

les jetons

^sont

également repartis

^{entre les deux}

joueurs,

^leurs

espérances

sont

proportionnelles

^{à leurs adresses}

respectives.

^{Si en effet on fait}

q=p, ^{on a}

d’où l’on voit que leurs

espérances

^{sont dans le}

rapport

^{de me à}

np ; lequel

^{ne devient celui de m à n} que dans le ^cas

particulier

^où p=I.

Deuxième solution ;

Par MM. LHUILIER , professeur ^de mathématiques ,

^et

^PES-

CHIER,

professeur de philosophie

^et

inspecteur à l’académie

impériale

^de

^Genève. (*)

Que

^{les deux}

joueurs

^soient

désignés

par A ^et B

(**) ; Que

^{leurs adresses}

respectives

^{soient m et n ;}

(*)

Après

^{nous être}

communiqué

^nos solutions, ^{nous les avons trouvées si} semblables l’une à l’autre , que nous avons cru. devoir les réuniv ^{sous une} rédaction

commune.

(**) Pour faciliter la

comparaison

^des résultats, on a cru convenable

d’employer

ici des notations

pareilles à

^{ceUes du mémoire}

précédeut.

( Note 141es éditeurs. )