On doit donc avoirx= 0d’où ker(A) =f0g c’est-à-dire A est injective donc inversible

I. Oscillations d’un système linéaire

1. SiA:x= 0alors hAx; xi= 0or hAx; xi>0 pourxnon nul. On doit donc avoirx= 0d’où ker(A) =f0g c’est-à-dire A est injective donc inversible.

2. A ¹x; y = A ¹x; AA ¹y = AA ¹x; A ¹y = x; A ¹y .

L’endomorphisme associé àA ¹est ainsi symétrique pour le produit scalaire canonique donc sa matrice,A, dans la base canonique, qui est orthonormée, est symétrique.

3. (x; y)_A=hAx; yi=hx; Ayi=hAy; xi= (y; x)_A : (:; :)_A est symétrique.

Comme le produit est trivialement linéaire à droite c’est donc une forme bilinéaire symétrique.

(E(x); y)_A= A ¹Kx; y _A= AA ¹Kx; y =hKx; yi=hx; Kyi

=hKy; xi= AA ¹Ky; x = A ¹Ky; x _A

= (E(y); x)_A= (x; E(y))_A

4. AinsiE est un endomorphisme symétrique deRⁿ muni du produit scalaire(:; :)_A. Il existe donc une base(e1; e2; : : : ; en) (orthonormée pour ce produit scalaire) telle queE(ei) = iei c’est-à-direA ¹:K:ei= iei.

De plus(E(ei); ei)_A= ( iei; ei)_A= i(ei; ei)_A= iNA(ei)² oùNAest la norme associée au produit scalaire (:; :)_A et on a vu que

(E(e_i); e_i)_A=hKe_i; e_iiavechKe_i; e_ii>0 par hypothèse.

Ainsi on doit avoir i =hK:e_i; e_ii

NA(ei)² >0pour touti.

5. Le système (1)est équivalent àx^{00 1}:K:x(t) = E(x(t)).

Si on décomposex(t)dans la base(e1; e2; : : : ; en)dé…nie ci-dessus, x(t) =

Xn

i=1

ui(t)ei, le système s’écrit Xn

i=1

u⁰⁰_i(t)ei= Xn

i=1

ui(t)E(ei) = Xn

i=1

ui(t) iei.

En identi…ant les composantes on en déduit que (1) est équivalent auxn équations scalairesu⁰⁰_i(t) = iui(t), ivariant entre 1 etn.

Comme on a i>0 les solutions deu⁰⁰_i(t) = iui(t)sont les fonctions aicos tp

i +bisin tp

i donc les solutions de (1) sont les fonctions telles qu’il existe2nscalairesa₁, . . . ,a_n,b₁, . . . , b_n avec

x(t) = Xn

i=1

a_icos tp

i +b_isin tp

i . 6. C’est une question de cours.

Comme(:; :)_Aest bilinéaire sur un espace de dimension …nie la dérivée det7!(x(t); y(t))_Aest(x⁰(t); y(t))_A+(x(t); y⁰(t))_A d’où le résultat

d

dthA:x(t); y(t)i=hA:x⁰(t); y(t)i+hA:x(t); y⁰(t)i.

7. T(x⁰)est de classeC¹ avec, en utilisant la question ci-dessus,

dT(x⁰) dt (t) = 1

2hA:x⁰⁰(t); x⁰(t)i+1

2hA:x⁰(t); x⁰⁰(t)i

= 1

2hA:x⁰⁰(t); x⁰(t)i+1

2hx⁰(t); A:x⁰⁰(t)i

=hA:x⁰⁰(t); x⁰(t)i= hK:x(t); x⁰(t)i

La question ci-dessus reste valide pour la dérivée dehK:x(t); y(t)idonc, avec les mêmes calculs, d

dthK:x(t); x(t)i=hK:x(t); x⁰(t)i. On a doncdT(x⁰) +U(x)

dt (t) = 0on en déduit que la fonction t7!(T(x⁰) +U(x)) (t)est constante sur l’intervalle[0;+1[.

II. Résultats intermédiaires

8. Le changement de variable u= cos(t)donne Z

0

1 + cos(t) 2

k

sin(t)dt= Z 1

1

1 +u 2

k

( du) = (1 +u)^k+1 2^k(k+ 1)

1

1

= 2

k+ 1 En raison de la periodicité et de la parité on a

Z 2 0

1 + cos(t) 2

k

dt=

Z 1 + cos(t) 2

k

dt= 2 Z

0

1 + cos(t) 2

k

dt

De plus0 sin(t) 1pour t2[0;1]donc 1 =ck

Z 2 0

1 + cos(t) 2

k

dt= 2ck

Z

0

1 + cos(t) 2

k

dt 2c_k

Z

0

1 + cos(t) 2

k

sin(t)dt= 4c_k k+ 1

Ainsic_k k+ 1 4 .

9. Pour t2[";2 "]on a 1 cos(t) cos(")donc Rk(t) =ck

1 + cos(t) 2

k k+ 1

4

1 + cos(") 2

k

d’oùd_k(") k+ 1 4

1 + cos(") 2

k

. Comme on a0 1 + cos(")

2

k

<1 on en déduit lim

k!+1d_k(") = 0.

10. Le changement de variablet₁=u tet la périodicité donnent Z 2

0

Rk(u t)h(t)dt= Z u 2

u

Rk(t1)h(u t1)( dt1)

= Z u

u 2

Rk(t1)h(u t1)dt1= Z 2

0

Rk(t1)h(u t1)dt1

Ainsi

k(u) = Z 2

0

Rk(u t)h(t)dt h(u)

= Z 2

0

Rk(t1)h(u t1)dt h(u) Z 2

0

Rk(t1)dt1

= Z 2

0

Rk(t1) (h(u t1) h(u))dt1

avecjh(u t1) h(u)j kh⁰kjt1] kh⁰k"pour t12[0; "]en utilisant l’inégalité des accroissement …nis jh(u t₁) h(u)j 2khk pourt₁2[";2 "]

jh(u t1) h(u)j=jh(u t1+ 2 ) h(u)j kh⁰kj2 t1] kh⁰k"pourt12[2 ";2 ] Donc, en posant _k;u(t1) =Rk(t1)jh(u t1) h(u)j,

k ^k(u)k Z "

0 k;u(t1)dt1+ Z 2 "

" k;u(t1)dt1+ Z 2

2 " k;u(t1)dt1

Z "

0

R_k(t₁)kh⁰k"dt₁+ Z 2 "

"

d_k(")2khkdt₁+ Z 2

2 "

R_k(t₁)kh⁰k"dt₁ Z 2

0

R_k(t₁)kh⁰k"dt₁+ Z 2

0

d_k(")2khkdt₁=kh⁰k"+ 2 d_k(")2khk

III. Un théorème ergodique

11. Par la question I, on sait déjà quex(t) = X2

i=1

aicos tp

i +bisin tp

i .

Sia_i=b_i= 0, il su¢ t de poserc_i = 0et choisir arbitrairement'_i. Si(a_i; b_i)6= (0;0), soitc_i= q

a²_i +b²_i et'_i dé…ni par cos('_i) = a_i

ci

sin('_i) = b_i ci

On a alors:

aicos tp

i +bisin tp

i =ci cos tp

i cos('_i) sin tp

i sin('_i)

=c_icos tp

i+'_i ce qui correspond au résultat.

12. Soit( 1; 2)un élément deR². Soitkila partie entière de ⁱ

2 . Comme i= i 2ki 2[0;2 ]et quef( 1; 2) =f( 1; 2), on obtient quef(R²) =f(K)oùKest le compact[0;2 ] [0;2 ]. f étant continue, l’image du compactKest bornée et les bornes sont atteintes; ainsif est bornée surR^k et son maximum est atteint surK.

13. Le terme de droite de l’inégalité est:

d= ( 1 2

Z 2 0

e^{i 1j}d 1)(1 2

Z 2 0

e^{i 2`}d 2)

Sij (resp`) est non nul, la première (resp deuxième) intégrale est nulle; ainsi le terme de droite est nul si(j; `)6= (0;0) et vaut1sij=`= 0.

1.

2. j =`= 0: la fonctionf est constante et vaut1. Ainsi pour toutT: Z T

0

f (t)dt= 1

ce qui permet de véri…er le théorème ergodique dans ce cas précis.

3. (j; `)6= (0;0): On véri…e par contraposition que jp

1+`p

2 est non nul. Si cette quantité est nulle, j et ` sont simultanément non nuls, d’où:

jp

1+`p

2= 0 =) p p 2

1

= j

` 2Q comme par hypothèse,

p p 2

1

n’est pas un rationnel,jp

1+`p

26= 0.

1 T

Z T 0

f (t)dt= 1 T

Z T 0

e^{i(j(tp 1+'1)+`(tp 2+'2))}dt

=e^i(j'1+`'2) T

Z T 0

e^{i(jp 1+`p 2)t}dt

= e^i(j'1+`'2) T i(jp

1+`p

2) e^{i(jp 1+`p 2)T} 1

| {z }

de m o dule b orné par 2

= g(T) T

oùg est bornée surR. Ainsi:

Tlim!1

1 T

Z T 0

f (t)dt= 0 = (2 ) ² Z 2

0

e^{i 1j}d 1

Z 2 0

e^{i 2`}d 2

ce qui prouve le théorème ergodique dans ce second cas.

14. Par dé…nition deRk,en utilisant les exponentielles complexes, on obtient:

R_k(u ₁) = ck

2^k 2 +e^iue ^{i 1}+e ^iue^{i 1 k}

En développant cette expression, on obtient un polynôme trigonométrique en e^iu de degré au plus ksoit:

R_k(u ₁) = Xk

j= k

e^iju _j( ₁)

où chaque j( 1)est un polynôme trigonométrique en e^{i 1}. De même Rk(v k) = X`

j= `

e<sup>i`v</sup> `( 2). Par linéarité des intégrales , on obtient alors après produit que:

fk(u; v) = X

k j;` k

e^ijue^i`v( Z 2

0

Z 2 0

j( 1) `( 2)f( 1; 2)d 1d 2)

| {z }

aj;`

Soit (f) = lim

T!1

1 T

Z T 0

f (t)dt (2 ) ² Z 2

0

Z 2 0

f( 1; 2)d 1d 2. L’application est linéaire (l’intégration sur un segment et le passage à la limite sont des opérations linéaires). Comme f_kest une combinaison linéaire de fonctions étudiées dans la question précédente pour lesquelles s’annule, il en est de même de f_k: f_k véri…e donc le théorème ergodique.

15. Par parité de de la fonctionRk, on a Z 2

0

Rk(u 1)d 1= Z 2

0

Rk( 1 u)d 1= Z 2 +u

u

Rk(t)dt

puis par périodicité de la fonctionR_k Z 2

0

Rk(u 1)d 1= Z 2

0

Rk(t)dt= 1

Ainsi:

f(u; v) = Z 2

0

Z 2 0

Rk(u 1)Rk(v 2)f(u; v)d id 2

En écrivantf( ₁; ₂) f(u; v) =f( ₁; ₂) f(u; ₂) +f(u; ₂) f(u; v), on obtient:

f_k(u; v) f(u; v) =J₁+J₂ avec

J1= Z 2

0

Z 2 0

Rk(u 1)Rk(v 2) (f( 1; 2) f(u; 2))d 1d 2

J2= Z 2

0

Z 2 0

Rk(u 1)Rk(v 2) (f(u; 2) f(u; v))d 1d 2

Par utilisation de la dé…nition de l’intégrale double donnée dans l’énoncé , on peut écrire : J1=

Z 2 0

Rk(v 2) Z 2

0

Rk(u 1) (f( 1; 2) f(u; 2))d 1

| {z }

A( 2)

d 2

On remarque alors que A( ₂) = Z 2

0

R_k(u ₁)f( ₁; ₂)d ₂ f(u; ₂). En appliquant la question 10 à la fonction h(u) =f(u; ₂),2 périodique et de classeC¹ surRcomme application partielle de f qui est elle-même de classeC¹, on a la majoration suivante:

jA( 2)j 2k @f

@ ₁ k"+ 4 kf kdk(") Par inégalité de la moyenne , on a alors:

jJ₁j Z 2

0

R_k(v ₂) 2k @f

@ ₁ k"+ 4 kf kd_k(") d ₁= 2k @f

@ ₁ k"+ 4 kf kd_k(")

De même:

J₂= Z 2

0

R_k(v ₂) (f(u; ₂) f(u; v)) Z 2

0

R_k(u ₁)d ₁d ₂

= Z 2

0

R_k(v ₂) (f(u; ₂) f(u; v))d ₂= Z 2

0

R_k(v ₂)f(u; ₂)d ₂ f(u; v)

En appliquant une nouvelle fois la question 10 à la fonction h(v) = f(u; v) (de classe C¹ sur R comme application partielle def ), on obtient:

jJ2j 2k @f

@ ₂ k"+ 4 kf kdk(")

En sommant les deux inégalités et par utilisation de l’inégalité triangulaire, on obtient bien que:

jfk(u; v) f(u; v)j 2" k @f

@ 1 k+k @f

@ 2 k + 4 kf kdk(")

16. Par la question 9, on peut a¢ rmer qu’à"…xé, il existe un nombrektel que d_k(") ". On choisit un tel nombre k. Par la question 14 et la dé…nition de la limite, on peut a¢ rmer qu’il existeT₀ tel que

T T0=) 1 T

Z T 0

fk (t)dt (2 ) ² Z 2

0

Z 2 0

fk( 1; 2)d 1d 2 < "

Pour majorer l’expression = 1 T

Z T 0

f (t)dt (2 ) ² Z 2

0

Z 2 0

f( 1; 2)d 1d 2, on écrit ce nombre comme somme de trois nombres en comparant à la même expression pourfk soit =

X3

i=1

i avec :

1=1 T

Z T 0

(f fk) (t)dt

2=1 T

Z T 0

f_k (t)dt (2 ) ² Z 2

0

Z 2 0

f_k( ₁; ₂)d ₁d ₂

3=(2 ) ² Z 2

0

Z 2 0

(f_k( ₁; ₂) f( ₁; ₂))d ₁d ₂ Par inégalité de la moyenne:

j ¹j kf fkk etj ³j kf fkk

Par la question précédente, compte-tenu du choix dekkf fkk M ". Ainsi on trouve:

T > T0=) j j (2M + 1)"

ce qui prouve quef véri…e le théorème ergodique.

17. On commence par véri…er que a;b est bien de classeC¹: le seul problème est enaoub. Cette fonction est nulle sur[0; a]

et sur[b;2 ]: elle est continueà gauche deaetà droite deb et de dérivée nulle. Sur[a; b], a;b est de classe C¹ et cette fonction et sa dérivée s’annulent ena etb. Ainsi a;b est continue ena et b et y a même dérivée à droite et à gauche.

Comme elle est de classeC¹ sur[0; a],[a; b]et sur[b;2 ], elle estC¹ sur[0;2 ]. Etant nulle à gauche (par périodicité) et à droite de0, elle est bien de classeC¹.

Soit un ouvert non vide de ] 1;1[². Par le rappel, cet ouvert non vide contient un pavé ouvert P de la forme ] cosb;cosa[ ] cosc;cosd[ où0< a < b < et0< c < d < .

Posons : ( ₁; ₂)7! a;b( ₁) _c;d( ₂);. Compte-tenu de l’étude faite précédemment, 2 C2¹ ;2 (R²;C).

Comme (t)est élément deK, on remarque que

( (t))6= 0()( 1; 2)2P

Six(t)n’est jamais élément de , alors8t; ( (t)) = 0et le terme de gauche de l’égalité(4)est nul. Soitdle terme de droite de cette égalité. On a alors:

d= (2 ) ² Z

K

( ₁; ₂)d ₁d ₂

= (2 ) ² Z b

a

sin²

b a( 1 a) d 1

Z d c

sin²

d c( 2 c) d 2>0

La fonction ne véri…e pas le théorème ergodique ce qui est en contradiction avec la question précédente, ainsi il a été démontré

par l’absurde qu’il existe un nombrettel que x(t)2 .