exos p 108

p 107 et 108 limites avec e^x n°55.

f(x) = e^−x quand x → −∞, −x → +∞ donc lim

x→-∞ f(x) → +∞

quand x → +∞, −x →−∞ donc lim

x→+∞ f(x) → 0

f(x) = e^x + e^−x quand x → −∞, −x → +∞ donc e^x → 0 et e^−x → +∞ d’où lim

x→-∞ f(x) = +∞

quand x → +∞, −x → −∞ donc e^x → +∞ et e^−x → 0 d’où lim_x→+∞ f(x) = +∞

f(x) = x + e^x quand x → −∞^{, ex} → 0 donc par addition, lim_x→-∞ f(x) = −∞ quand x → +∞^{, ex}→ +∞ donc, par addition, lim

x→+∞ f(x) = +∞ n°56.

f(x) = e^2x + e^x + 1 quand x →−∞, e^x→ 0 et 2x →−∞ donc e^2x → 0 d’où lim

x→-∞ f(x) = 1 quand x → +∞, e^x → +∞ et 2x → +∞ donc e^2x → +∞ d’où lim_x→+∞ f(x) = +∞

n°57.

f(x) = e−(x² + 3x) quand x →±∞^, −(x²+3x) →−∞ car x²+3x se comporte comme x² or lim

X→-∞ e^X = 0 donc par composition, lim

x→-∞ f(x) = 0 et lim

x→+∞ f(x) = 0 n° 58.

f(x) = e^1/x f est définie dans D_f = IR* pour que 1/x existe.

quand x → ±∞, 1/x → 0 et quand X → 0, e^X → 1 donc par composition, lim

x→-∞ f(x) = 1 et lim

x→+∞ f(x) = 1 quand x → 0⁻, 1/x →−∞, et quand X →−∞, e^X → 0 donc par composition, lim

x→0- f(x) = 0 quand x → 0⁺, 1/x → +∞, et quand X → +∞, e^X → +∞ donc par composition, lim

x→0+ f(x) = +∞

n°59.

f(x) = e^1−2x f est définie dans IR

x→-∞lim 1−2x = +∞ ^{et lim}_X→+∞ ^{eX =+}∞ donc par composition, lim

x→-∞ f(x) = +∞

x→+∞lim 1−2x = −∞ ^{et lim}_X→-∞ ^eX = 0 donc par composition, lim

x→+∞ f(x) = 0 n°60.

f(x) = e^−x² f est définie dans IR

x→-∞lim −x² = −∞ ^{et lim}_x→+∞ −x² = −∞ ^{or lim}_X→-∞ ^eX = 0 donc par composition, lim

x→-∞ f(x) = 0 et lim

x→+∞ f(x) = 0 n°61.

f(x) = exp( x

x+1 ) il faut que x+1 ≠ 0 donc Df = IR\{−1}

x→-∞lim x

x+1 = 1 donc lim

x→-∞ f(x) = e lim

x→+∞

x

x+1 = 1 donc lim

x→+∞ f(x) = e quand x → −1⁻, x + 1 → 0⁻ donc x

x+1 → +∞ ^d’où lim

x→-1-f(x) = +∞ quand x → −1⁺, x + 1 → 0⁺ donc x

x+1 → −∞ ^d’où lim

x→-1+f(x) = 0 n°62.

f(x) = e^2x − e^x f est définie sur IR

quand x → −∞^{, ex} → 0 et 2x → −∞ ^{donc e2x} → 0 d’où lim

x→-∞ f(x) = 0

quand x → +∞, f(x) prend la forme indéterminée « ∞ − ∞ » mais f(x) = e^x (e^x − 1) e^x → +∞ ^{et ex − 1 → +}∞ ^{donc lim}_x→+∞ ^{f(x) = +}∞

n° 63.

f(x) = e^x

2 + e^x f est définie sur IR .

quand x → −∞, e^x → 0 donc 2 + e^x → 2 d’où lim

x→-∞ f(x) = 0

quand x → +∞, e^x → +∞ donc f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ » mais f(x) = e^x

e^x(2e^-x + 1) = 1 1 + 2e^-x

−x → −∞ donc e^−x → 0 d’où lim_x→+∞ f(x) = 1

n° 64.

f(x) = e^2x + 1

e^x + 3 f est définie sur IR. quand x → −∞, e^x → 0 donc lim

x→-∞ f(x) = 1/3

quand x → +∞, e^x → +∞ donc f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ » mais f(x) = e^2x(1 + e^-2x)

e^x(1 + 3e^-x) = e^x(1 + e^-2x) 1 + 3e^-x

−x → −∞ donc e^−2x → 0 et e^−x → 0 d’où lim

x→+∞ f(x) = +∞

n° 65.

f(x) = e^2x - e^x

x f est définie sur IR* f(x) = e^x(e^x - 1)

x = e^xe^x - 1

x = e^x g(x) avec g(x) = e^x - 1

x on sait que lim x→0

e^x - 1

x = 1 et lim

x→0e^x = 1 donc lim

x→0f(x) = 1