p 107. Equations et inéquations avec ex .
33. ex = 1 ⇔ x = 0 e2x = e ⇔ 2x = 1 ⇔ x = ½ ex = e−x ⇔ x = −x ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 35 à 38.
e(x²) = e−x−1 ⇔ x² = −x−1 ⇔ x² + x + 1 = 0 équation sans solution car ∆ < 0
݁௫య= e−1 ⇔ x3 = −1⇔ x = −1
݁
ೣశల మೣశఱ = ݁
భ
ೣ soit (E) cette équation,. il faut que 2x + 5 ≠ 0 et x ≠ 0 donc (E) existe dans IR\{−5/2 ; 0}
(E) ⇔ x + 6 2x + 5 = 1
x ⇔ (x+6)x = 2x + 5 ⇔ x² + 4x – 5 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −5 (1 est racine évidente, l’autre est −5/1) ecosx = e ⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2kπ avec k entire relatif.
39. a. e2x ≤ 1 ⇔ e2x ≤ e0 ⇔ 2x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 b. ex > e ⇔ x > 1
c. ex≤ e−x ⇔ e2x ≤ 1 voir a.
41 à 44.
e−x² ≤ ex ⇔ −x² ≤ x ⇔ x² + x ≥ 0 ⇔ x(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; 0]∪[1 ; +∞[ (règle du signe du trinôme) e1/x ≥ ex . Il faut que x ≠ 0
e1/x ≥ ex ⇔ 1
x ≥ x ⇔ 1
x − x ≥ 0 ⇔ 1 - x²
x ≥ 0 ⇔ (1 - x)(1 + x)
x ≥ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −1]∪]0 ; 1] (tableau de signes …) e3/x > e1−x . Il faut que x ≠ 0
e3/x > e1−x ⇔ 1
x > 1 – x ⇔ x² - x + 1
x > 0 ⇔ x > 0 car x² − x + 1 ayant un discriminant négatif, il est toujours positif.
esinx > e ⇔ sinx > 1 ce qui est impossible.
46 à 49
e(x²) ex = (e3)² ⇔ ex²+x = e6 ⇔ x² + x = 6 ⇔ x² + x – 6 = 0 ⇔ x = 2 ou x = −3 e(x²)
e2x = 1
e ⇔ ex²−2x = e−1 ⇔ x² − 2x = −1 ⇔ x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)² = 0 ⇔ x = 1 ex = 1
e1/x ⇔ ex = e−1/x ⇔ x = −1/x ⇔ x² = −1 ce qui est impossible. L’équation est définie dans IR*.
e × esinx = e3/2 ⇔ e1+sinx = e3/2 ⇔ 1 + sinx = 3/2 ⇔ sinx = ½ ⇔ x = π/6 + 2k π ou x = 5π/6 + 2k π.
n° 50 à 53
3 4
( ) e
x≤ e e
x −⇔ 3 x ≤ − ⇔ ≤ − x 4 x 2
] [
6
²
² 6 ² 6 0 3; 2
x x
e e x x x x x
< e ⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ∈ −
2 0
1 1
20 0 1 0 2 0 0
x car ex
x x
x x
e e e x x
e e
−
>− > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >
cos
