exos p 107

p 107. dérivées.

n° 68. f(x) = x e^x D_f = IR

x → x et x → e^x sont dérivables sur IR donc leur produit f est dérivable sur IR

(u × v)’= u’× v + u × v’ donc f’(x) = x e^x + e^x = e^x (x + 1) dans D_f , f’(x) a le signe de x + 1 n° 69. f(x) = (3x − 2)e^x D_f = IR

x → 3x − 2 et x → e^x sont dérivables sur IR donc leur produit f est dérivable sur IR f’(x) = 3e^x + (3x − 2)e^x = (3x + 1)e^x Dans D_f, f’(x) a le signe de 3x + 1

n° 70. f(x) = e^x

x D_f = IR*

x → e^x et x → x sont dérivables sur IR* et x ≠ 0 donc leur quotient f est dérivable sur IR*.

f’(x) = e^x(x) - e^x

x² = e^x(x - 1)

x² Dans D_f , f’(x) a le signe de x − 1 n° 71. f(x) = 2e^x

e^x - 1 Il faut que e^x ≠ 1 c’est à dire que x ≠ 0 donc D_f = IR*

x → 2e^x et x → e^x − 1 sont dérivables sur IR* et e^x − 1 ≠ 0 donc leur quotient f est dérivable sur IR*.

f’(x) = 2e^x(e^x - 1) - 2e^x(e^x)

(e^x - 1)² = -2e^x

(e^x - 1)² dans D_f , f’(x) < 0

n° 72. f(x) = e^x + 1

e^x + 2 D_f = IR . (car ∀ x ∈ IR, e^x + 2 ≠ 0)

f est le quotient de deux fonctions dérivables et non nulles sur IR donc f est dérivable sur IR f’(x) = e^x (e^x + 2) - (e^x + 1)e^x

(e^x + 2)² = e^x

(e^x + 2)² ∀ x ∈ IR, f’(x) > 0 n° 74. f(x) = e^1/x il faut que x ≠ 0 donc D_f = IR*.

f est la composée de la fonction inverse dérivable sur IR* et de la fonction exp dérivable sur IR donc f est dérivable sur IR* f’(x) = (1/x)’e^1/x = (−1/x²) e^1/x ∀ x ∈^IR*, f’(x) < 0

n° 75. f(x) =

e

^x il faut que x ≥ 0 donc D_f = [0 ; +∞[

x → x n’est pas dérivable en 0 donc f est dérivable sur ]0 ; +∞[

'( ) ( ) ' 1

2 2

x

x x

e

f x x e e

x x

= = =

∀ x ∈ ]0 ; +∞[, f’(x) > 0

n° 76.

3 1

( )

1 x

f x e

x +

=

− il faut que x − 1 ≠ 0 c’est à dire x ≠ 1 donc D_f = IR\{1}

x → 3x + 1

x - 1 est dérivable sur IR\{1}et exp est dérivable sur IR, donc par composition f est dérivable sur D_f .

' 3 1 3 1 3 1

1 1 1

3 1 3( 1) (3 1) 4

'( ) 1 ( 1)² ( 1)²

x x x

x x x

x x x

f x e e e

x x x

+ + +

− − −

+ − − + −

 

=   = =

− − −

 

^{∀ x ∈}

D

_f, f’(x) < 0

n° 77. f(x) = e^sinx D_f = IR .

composée des fonctions sin et exp dérivables sur IR, f est dérivable sur IR . f’(x) = cosx e^sinx . f’(x) a le signe de cos x

pour étudier les variations de f, on montrerait que f est périodique de période 2π et on étudierait le signe de cos x sur [0 ; 2π]

n° 78.

On sait que : si f est dérivable en a, pour h proche de 0, f(a + h) ≈ f(a) + hf’(a)

avec f = exp on obtient : pour h proche de 0, e^a+h ≈ e^a + h e^a c’est à dire e^a+h ≈ e^a (1 + h) avec a = 0 : pour h proche de 0, e^h ≈ e⁰ (1 + h) c’est à dire e^h ≈ 1 + h

a. e^0,01 ≈ 1 + 0,01 c’est à dire e^0,01 ≈ 1,01 b. e^−0,01 ≈ 1 − 0,01 c’est à dire e^−0,01 ≈ 0,99

c. e^1,98−2 = e^−0,02 et e^−0,02 ≈ 1 − 0,02 c’est à dire e^−0,02 ≈ 0,98