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1. f est la fonction définie sur C C par f(z) = z3−−−− 2( 3 + i)z² + 4(1 + i 3)z −−−− 8i.
a. Vérifier que f(z) = (z −−−− 2i)(z² −−−− 2 3 z + 4)
(z − 2i)(z² − 2 3 z + 4) = … on développe et, sauf erreur de calcul on obtient f(z).
b. Résoudre dans C C , l’équation f(z) = 0.
f(z) = 0 ⇔ (z − 2i)(z² − 2 3 z + 4) = 0 ⇔ z = 2i ou z² − 2 3 z + 4 = 0
z² − 2 3 z + 4 a pour discriminant ∆ = −4 et donc deux racines complexes conjuguées : 2 3 - 2i
2 = 3 − i et 3 + i f(z) = 0 a donc 3 solutions : 3 − i, 3 + i et 2i.
2. Dans (O ;u→→→→ ; v→→→→), z1 = 3 −−−− i, z2 = 3 + i, z3 = 2i.
a. M1, M2 et M3 ont pour affixes respectives z1, z2 et z3.
|z1| = | 3 − i| = 2, |z2| = 2 et |z3| = 2
donc OM1 = OM2 = OM3 ce qui prouve que les 3 points sont sur le cercle de centre O et rayon 2.
b. Calculer z2−−−− z1 et z2−−−− z3. Démontrer que OM1M2M3 est un losange.
z2 − z1 = 3 + i − 3 + i = 2i = z3 donc M→1M2 = OM→3
ce qui prouve que OM1M2M3 est un parallélogramme et comme ce parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux (OM1 = OM3) c’est un losange.
z2 − z3 = 3 + i − 2i = 3 − i … ce calcul n’apporte rien de plus … p 290. n° 138.
On considère les nombres complexes Z1 = (1 −−−− i)(1 + 2i) ; Z2 = 2 + 6i
3 - i ; Z3 = 4i i - 1 . M1, M2, M3 désignent leurs images …
a. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z1, Z2, Z3. Z1 = 1 + 2i − i + 2 = 3 + i donc Re(Z1) = 3 et Im(Z1) = 1 Z2 = 2 + 6i
3 - i = (2 + 6i)(3 + i)
9 + 1 = … = 2i donc Re(Z2) = 0 et Im(Z2) = 2 Z3 = 4i
i - 1 = (4i)(-i - 1)
1 + 1 = … = 2 − 2i donc Re(Z3) = 2 et Im(Z3) = −2
b. Placer M1, M2, M3 dans le plan complexe …on observe que le triangle M2M1M3 est rectangle isocèle en M1. c. Calculer Z3 - Z1
Z2 - Z1 . Z3 - Z1
Z2 - Z1 = 2 - 2i - 3 - i
2i - 3 - i = -1 - 3i
-3 + i = i(-3 + i) -3 + i = i Z3 - Z1
Z2 - Z1 = |Z3 - Z1|
|Z2 - Z1| = M1M3
M1M2 et Z3 - Z1
Z2 - Z1 = |i| = 1 donc M1M3 = M1M2 arg Z3 - Z1
Z2 - Z1 = (M→1M2
; M→1M3) [2π] et arg Z3 - Z1
Z2 - Z1 = arg i = π/2 [2π] donc (M→1M2
; M→1M3) = π/2 on en déduit que le triangle M2M1M3 est rectangle isocèle en M1.
d. Construire M4 tel que M1M2M4M3 soit un carré et déterminer son affixe.
si M→1M2
= M→3M4
alors M1M2M4M3 sera un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux et un angle droit donc un carré.
M→1M2
= M→3M4⇔
Z2 − Z1 = Z4 − Z3⇔ Z4 = Z2 − Z1 + Z3⇔ Z4 = … = −1 − i
