H145. Une carte géopolitique
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Dans la carte politique de cette planète, tout pays est connexe (pas d’îles ni de colonies) et a des frontières communes (1) avec au moins p autres pays. Parmi toutes les coalitions qu’on peut former entre ces pays, il en existe de q pays sans frontières communes, mais dans toute coalition de plus de q pays, certains d’entre eux ont des frontières communes. Dessiner cette carte, sachant que p > 6 – 4/q.
(1) Une frontière commune à deux pays est une ligne séparant les deux territoires. Un contact entre deux pays en un point isolé n'est pas une frontière commune.
Solution proposée par Jean Nicot
Pour pouvoir former une coalition, q doit au moins être égal à 2, et la relation p > 6 – 4/q impose p > 4.
Si p =6, il n’y a aucune contrainte sur q, mais on ne peut pas tracer sur une sphère une carte avec des pays hexagonaux. Donc p=5.
Pour p=5, q<4 donc q = 2 ou 3.
Si q= 3, la carte la plus simple est celle qui ressemble à un dodécaèdre régulier.
Les faces pentagonales assurent que p=5. Le nombre de faces, 12, permet de trouver 3 pays sans frontière commune sans qu’il soit possible d’en trouver 4.
On peut facilement tracer une carte avec 12 pays pentagonaux et 2 hexagonaux, mais on peut alors trouver une coalition de 4 pays.
Si q=2, la condition d’aucune frontière commune pour 3 pays coalisés impose un nombre total de pays inférieur à 12, mais alors on ne sait pas tracer de carte respectant la condition p=5.
La carte demandée est donc homéomorphe à un dodécaèdre régulier.
