E425- NIM à la carte.

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E425- NIM à la carte.

Solution

A a apparemment le « privilège » de choisir trois règles de jeu parmi quatre. Sa stratégie est simple. Peut-il trouver une configuration de tas et de jetons telle que après le choix de B sur le joueur qui commence, il puisse orienter en sa faveur le gain final en décidant si le dernier jeton ramassé va au vainqueur ou au perdant ?

La réponse est non et c’est B qui gagne à tous les coups bien qu’il ait seulement un seul choix à faire.

Examinons toutes les configurations de k= 1 à 9 tas avec pour chaque valeur de k toutes les répartitions possibles de jetons. On obtient le tableau ci-après dans lequel on détermine pour chaque configuration de départ la NIM-addition obtenue en additionnant sans prendre les retenues les formes binaires des nombres de jetons dans chacun des tas. Les configurations dont la NIM-addition est paire (i.e.tous les termes constitutifs de cette somme sont pairs) sont repérées en couleur jaune. Par convention on dira que toutes les autres configurations ont leur NIM- addition impaire.

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On constate qu’avec 1 et 9 tas, les deux configurations correspondantes sont toutes de la catégorie NIM-addition impaire. Cela signifie que celui qui commence la partie est toujours certain de gagner que le dernier jeton ramassé aille au vainqueur ou au perdant (Voir

Problème E420-NIM et ses deux versions). Par conséquent si A choisit l’une de ces 2 configurations, B décidera que c’est lui B qui commence la partie.

Répartition NIM-addition Formes binaires des nombres de jetons dans les tas

1 tas 10 1010 1010

2 tas 1,9 1002 1 1001

2,8 1010 10 1000

3,7 122 11 111

4,6 210 100 110

5,5 202 101 101

3 tas 1,1,8 1002 1 1 1000

1,2,7 122 1 10 111

1,3,6 122 1 11 110

1,4,5 202 1 100 101

2,2,6 130 10 10 110

2,3,5 122 10 11 101

2,4,4 210 10 100 100

3,3,4 122 11 11 100

4 tas 1,1,1,7 114 1 1 1 111

1,1,2,6 122 1 1 10 110

1,1,3,5 114 1 1 11 101

1,1,4,4 202 1 1 100 100

1,2,2,5 122 1 10 10 101

1,2,3,4 122 1 10 11 100

1,3,3,3 34 1 11 11 11

2,2,2,4 130 10 10 10 100

2,2,3,3 42 10 10 11 11

5 tas 1,1,1,1,6 114 1 1 1 1 110

1,1,1,2,5 105 1 1 1 1 101

1,1,1,3,4 104 1 1 1 1 100

1,1,2,2,4 122 1 1 10 10 100

1,1,2,3,3 33 1 1 10 10 11

1,2,2,2,3 42 1 10 10 10 11

2,2,2,2,2 50 10 10 10 10 10

6 tas 1,1,1,1,1,5 106 1 1 1 1 1 101

1,1,1,1,2,4 114 1 1 1 1 10 100

1,1,1,1,3,3 26 1 1 1 1 11 11

1,1,1,2,2,3 34 1 1 1 10 10 11

1,1,2,2,2,2 42 1 1 10 10 10 10

7 tas 1,1,1,1,1,1,4 106 1 1 1 1 1 1 100

1,1,1,1,1,2,3 26 1 1 1 1 1 10 11

1,1,1,1,2,2,2 34 1 1 1 1 10 10 10

8 tas 1,1,1,1,1,1,1,3 18 1 1 1 1 1 1 1 11

1,1,1,1,1,1,2,2 26 1 1 1 1 1 1 10 10

9 tas 1,1,1,1,1,1,1,1,2 18 1 1 1 1 1 1 1 1 10

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Avec k=2 à 8 tas, on observe pour chaque valeur de k, qu’il y a chaque fois au moins une configuration qui est de la catégorie NIM-addition paire. Or il est bien connu que toute configuration qui est NIM-addition paire est perdante pour celui qui doit jouer que le dernier jeton ramassé aille au vainqueur ou au perdant, à l’exception de la configuration constituée exclusivement d’un nombre pair de tas d’un seul jeton chacun (Voir Problème E420-NIM et ses deux versions).Or il n’y aucune configuration composée exclusivement de 1.

Par conséquent, si A choisit l’une quelconque des configurations dont la NIM-addition est paire, B s’empresse de désigner A pour commencer la partie et si à l’inverse A choisit une configuration d’un type impair, B commence la partie et là encore le résultat final ne dépend pas de savoir si le vainqueur est celui qui ramasse le dernier jeton ou le laisse à son

adversaire.

En conclusion dans tous les cas de figure, c’est B qui gagne la partie.

Si le nombre de tas peut être égal à

10

, cette fois-ci

A a une stratégie gagnante

. En effet, en choisissant de répartir les 10 jetons en 10 tas de 1 jeton chacun, il fabrique la configuration de 10 tas constitués de 1 jeton chacun. Si B décide que A commence la partie, alors A décide que celui qui ramasse le dernier jeton a perdu et B sera le perdant. A l’inverse si B décide que c’est lui qui commence, A désignera comme vainqueur celui qui ramasse le dernier jeton.