E433 NIM au chocolat [*** à la main]
Solutions
Solution de Daniel Collignon
Dans les deux cas, celui qui commence gagne : Hippolyte a commencé la première partie et Diophante a gagné la deuxième partie.
Etant donnée la symétrie et quitte à réorienter le triangle ABC, on peut supposer que la première découpe est parmi 1, 2 ou 3.
Or, celui qui récupère l’état issu des découpes 2 et 3 est certain de perdre dans les deux cas.
Dans la première partie, l’adversaire répondra selon les couples de découpe (5, 8) et (6, 9).
Dans la deuxième partie, l’adversaire répondra selon les couples de découpe (5, 6) et (8, 9).
Celui qui commence a intérêt à découper selon 1, car sinon l’adversaire répondra selon le couple de découpe (2, 3) ce qui est un mauvais choix comme nous venons de le voir.
Ensuite il répondra à son adversaire selon les couples de découpe (2, 3), (4, 7), (5, 6), ce dernier récupérant nécessairement l’état perdant ainsi décrit.
Autre solution
Réponse : Hippolyte a commencé la 1ère partie et a gagné cette partie en laissant à Diophante le plaisir de « déguster » l’élément décoratif. S’agissant de la 2ème partie, contrairement à ce que l’on pourrait croire au vu des résultats de la 1ère partie, une nouvelle fois celui qui commence gagne la partie. Diophante a commencé la 2ème partie et s’est régalé avec la ganache.
Explications :
A partir du triangle PQR considéré soit comme pièce perdante (1ère manche) soit comme pièce gagnante (2ème manche), les deux amis ont fait une analyse rétrograde et déterminé pas à pas les configurations gagnantes/perdantes en fonction des découpes possibles. Ils ont ainsi identifié un morceau M de la plaque initiale qui a la particularité d’être une position perdante pour celui qui la reçoit quelle que soit la règle finale sur le triangle PQR.
On rappelle les lignes de découpe possibles : Le morceau M a la forme suivante :
(1)
(2)
(3)
(9)
(8)
(7)
(4) (5) (6)
Il s’obtient avec deux découpes de la plaque initiale selon les lignes (2) et (3) mais aussi selon les lignes (5) et (6) d’une part , (8) et (9) d’autre part, ce qui donne M par rotation de 120° et –120°.
Appelons J le joueur qui joue en premier et 1 J celui qui joue en second : 2 - on est dans la 1ère partie :
+ si J découpe selon la ligne (9) et laisse : 1
alors J découpe selon la ligne (6) et laisse le triangle PQR 2 + si J découpe selon la ligne (5) et laisse : 1
alors J laisse après découpe selon la ligne (8): 2
J est obligé de laisser : 1
ou le morceau de même forme KPRQ et au tour suivant J lui laisse le triangle PQR. 2
- on est dans la 2ème partie :
+ si J découpe selon la ligne (9) et laisse : 1
alors J laisse après découpe selon la ligne (8) : 2
J obligé de prendre le triangle JPR laisse le triangle PQR à 1 J . 2 + si J découpe selon la ligne (5) et laisse : 1
alors J laisse après découpe selon la ligne (6) : 2
et au tour suivant J obligé de prendre KPQ laisse à nouveau le triangle de ganache à 1 J . 2
Nous allons voir maintenant que dans les deux parties, celui qui joue le premier est en mesure d’imposer le morceau M à l’autre joueur tout en évitant de tomber lui-même dans la piège de se voir imposer ce même morceau.
Le chemin parcouru sera évidemment le même dans les deux parties.
1ère partie
1er tour joué par Hippolyte : il lui est interdit de découper selon les lignes (2) ou (3) ou (5) ou (6) ou (8) ou (9) car au tour suivant Diophante en adoptant une découpe selon une parallèle à celle de Hippolyte lui donnerait un morceau de type M. Il découpe donc selon la ligne (1).
Bien entendu au rotations près de +/- 120°, les découpes selon les lignes (4) et (7) donnent le même résultat ;
D’où le trapèze BCDE :
2ème tour joué par Diophante : il lui est aussi interdit de découper selon les lignes (2) ou (3) ou (5) ou (6) ou (8) ou (9) selon les mêmes raisons que celles évoquées précédemment avec Hippolyte. D’où la découpe selon la ligne (4) [ [ou (7) qui donne la même forme], ce qui donne le pentagone CDEFG :
3ème tour joué par Hippolyte : même raisonnement que précédemment, il n’a pas d’autre choix que de découper selon la ligne (7) [ ou (4) selon le découpage précédent d’Diophante].
D’où l’hexagone DEFGHI :
4ème tour joué par Diophante : il est obligé de découper selon l’une quelconque des six lignes (2), (3), (5), (6) , (8), (9). S’il choisit (2), Hippolyte au 5ème tour découpe selon (3) et vice-versa. S’il choisit (5), Hippolyte découpe selon (6) et vice-versa. S’il choisit (8), Hippolyte découpe selon (9) et vice-versa.
5ème tour joué par Hippolyte : dans tous les cas Hippolyte laisse le morceau M à Diophante.
Ce dernier joue le rôle du joueur J et c’est lui qui récupère l’élément décoratif PQR. 1
2ème partie
Les cinq premiers tours sont rigoureusement les mêmes que ceux de la 1ère partie. Diophante à l’issue du 5ème tour laisse le morceau M à Hippolyte. Ce dernier joue le rôle du joueur J et 1 c’est lui qui est obligé de laisser la ganache à Diophante.
