E422- Nim : n(1 ou 2 ou 3) différent de n-1 Solution
La stratégie gagnante est facile à déterminer. Aussi longtemps que le tas ne comporte pas un nombre de jetons égal à un multiple de 4, la position est gagnante. La stratégie du joueur A qui joue le premier est simple : si le nombre initial de jetons n’est pas un multiple de 4, par exemple 4*a+b avec b=1 ou 2 ou 3, il prend b jetons de façon à ramener le tas à 4*a jetons.
Au tour suivant,
- si B prend un jeton (en supposant b1), A prend 3 jetons pour ramener le nombre de jetons à un multiple de 4,
- si B prend trois jetons (en supposant b3), A prend 1 jeton pour ramener à nouveau le nombre de jetons à un multiple de 4,
- si B prend deux jetons (en supposant b2), A prend un jeton. Il reste 4*a-3 jetons. Mais comme B ne peut pas prendre un jeton mais est obligé d’en prendre deux ou trois, il reste 4*a-5 ou 4*a-6 jetons. Au tour suivant, A prend trois ou deux jetons et est certain de ramener le nombre de jetons à un multiple de 4.
On vérifie que s’il ne reste plus que quatre jetons, B en prend deux, A en prend un et B empêché de jouer a perdu.
