E428- Le jeu de Whim
Solution
Il y a tout d’abord le cas simple où le joueur A qui commence la partie a une position perdante au jeu normal avec une NIM-addition paire (voir E420-Nim et ses deux versions). A doit immédiatement faire le coup de Whim car il laisse la position inchangée et gagne
automatiquement la partie. Si au contraire la position est gagnante avec une NIM-addition impaire, A ne doit surtout pas jouer le bon coup au sens normal qui donne à la nouvelle position une NIM-addition paire car cela permettrait à son adversaire au tour suivant d’invoquer le coup de Whim pour lui laisser une position perdante. En conséquence A doit jouer un coup perdant dans le jeu de Nim normal. B son adversaire va opérer de la même manière. Y a-t-il un moment précis de la partie où il est nécessaire de faire le coup de Whim ? L’astuce de J.H. Conway l’auteur du jeu de Whim n’est pas évidente à trouver même de la part des experts du jeu de Nim. Elle consiste à ajouter un tas virtuel aux tas réels qui sont sur le tapis de jeu. Ce tas virtuel comporte un jeton si parmi les tas réels il y a au moins un tas qui a quatre jetons ou plus et deux jetons s’il n’y a aucun tas de quatre jetons ou plus. Invoquer le coup de Whim fait disparaître le tas virtuel. Si un coup change une position comportant un tas de quatre jetons ou plus en une position ne comportant pas de tas de plus de trois jetons, le tas virtuel acquiert son deuxième jeton après ce coup.
La stratégie gagnante au jeu de Whim consiste à appliquer la stratégie gagnante du jeu de Nim normal à une configuration qui englobe le tas virtuel. Bien entendu il ne faut pas oublier de le faire disparaître dès qu’un joueur a fait le coup du Whim. On rappelle que la partie ne se termine que si l’un des deux joueurs a annoncé le coup de Whim, ce qui signifie que dans la plupart des cas le joueur perdant sera obligé d’annoncer le coup de Whim malgré lui.
Deux exemples concrets vont permettre de vérifier la pertinence du tas virtuel.
1) Soient trois tas de 2, 3 et 7 jetons. A joue en premier. Voici un déroulement possible de la partie.
Position initiale formes binaires
tas 1 2 1 0
tas 2 3 1 1
tas 3 7 1 1 1
Nim-addition 1 3 2
tas virtuel 1
W him-addition 1 3 3
1) A enlève 4 jetons du tas 3 2) B enlève 3 jetons du tas 2 3) A enlève 1 jeton du tas 1
tas 1 2 1 0 tas 1 2 1 0 tas 1 1 1
tas 2 3 1 1 tas 2 tas 2
tas 3 3 1 1 tas 3 3 1 1 tas 3 3 1 1
Nim-addition 3 1 Nim-addition 2 1 Nim-addition 1 2
tas virtuel 1 0 tas virtuel 1 0 tas virtuel 1 0
W him-addition 4 2 W him-addition 3 1 W him-addition 2 2
4) B enlève 1 jeton du tas 1 5) A enlève 1 jeton du tas 3
tas 1 tas 1
tas 2 tas 2
tas 3 3 1 1 tas 3 2 1 0
Nim-addition 1 1 Nim-addition 1 0
tas virtuel 1 0 tas virtuel 1 0
W him-addition 2 1 W him-addition 2 0
Au premier tour, pour donner à B une position dont la WHIM-addition est paire, A doit retirer au moins 4 jetons du tas n°3. De ce fait, le tas virtuel passe à 2 jetons et le seul tirage valable pour A consiste à ramasser 4 jetons. La WHIM-addition laissée à B est paire (42). B au tour suivant joue au mieux en laissant à son adversaire une Nim-addition impaire. Au troisième tour A n’a pas d’autre choix que d’enlever un seul jeton du tas n°1 ce qui donne une WHIM- addition paire (22). Au quatrième tour B enlève le jeton du tas n°1. Au tour suivant A enlève un seul jeton du dernier tas qui n’en comporte plus que deux. Deux cas sont possibles :
- si B annonce le coup de Whim, quelle que soit la règle du jeu normal ou « à qui perd qui gagne » choisie par B, A prend deux ou un jeton(s) et gagne toujours la partie.
- Si B prend un jeton, au tour suivant A fait le coup de Whim et décide que le perdant est celui retire le dernier jeton. Il est encore gagnant.
Si au quatrième tour B avait pris 1 ou 2 ou 3 jetons du tas n°3, A serait toujours dans une position gagnante. Ci-après les 3 scénarios possibles :
2) Soient quatre tas de 3, 5, 8 et 12 jetons. A joue en premier. Voici un déroulement possible de la partie qui se termine à nouveau par la victoire de A, car la WHIM-addition initiale est impaire.
4) B enlève 1 jeton du tas 3 5) A enlève 1 jeton du tas 1
tas 1 1 1 tas 1
tas 2 tas 2
tas 3 2 1 0 tas 3 2 1 0
Nim-addition 1 1 Nim-addition 1 0
tas virtuel 1 0 tas virtuel 1 0
W him-addition 2 1 W him-addition 2 0
4) B enlève 2 jetons du tas 3 5) A annonce le coup de W him= = > le gagnant ramasse le dernier jeton
tas 1 1 1 tas 1 1 1
tas 2 tas 2
tas 3 1 1 tas 3 1 1
Nim-addition 2 Nim-addition 2
tas virtuel 1 0
W him-addition 1 2
4) B enlève 3 jetons du tas 3 5) A annonce le coup de W him= = > le perdant ramasse le dernier jeton
tas 1 1 1 tas 1 1 1
tas 2 tas 2
tas 3 tas 3
Nim-addition 1 Nim-addition 1
tas virtuel 1 0
W him-addition 1 1
Il va de soi que si au départ la WHIM-addition est paire, le joueur qui commence la partie a perdu. Par exemple si l’on rajoute un cinquième tas de trois jetons, la WHIM-addition de la nouvelle configuration est de 2224 qui est perdante pour A.
Position initiale formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 5 1 0 1
tas 3 8 1 0 0 0
tas 4 12 1 1 0 0
Nim-addition 2 2 1 2
tas virtuel 1
W him-addition 2 2 1 3
1) A enlève 3 jetons du tas 1 2) B enlève 7 jetons du tas 4 3) A enlève 7 jetons du tas 3
tas 1 tas 1 tas 1
tas 2 5 1 0 1 tas 2 5 1 0 1 tas 2 5 1 0 1
tas 3 8 1 0 0 0 tas 3 8 1 0 0 0 tas 3 1 1
tas 4 12 1 1 0 0 tas 4 5 1 0 1 tas 4 5 1 0 1
Nim-addition 2 2 0 1 Nim-addition 1 2 0 2 Nim-addition 2 0 3
tas virtuel 1 tas virtuel 1 tas virtuel 1
W him-addition 2 2 0 2 W him-addition 1 2 0 3 W him-addition 2 0 4
4) B enlève 1 jeton du tas 2 5) A enlève 1 jeton du tas 3 5) B enlève 2 jetons du tas 4
tas 1 tas 1 tas 1
tas 2 4 1 0 0 tas 2 4 1 0 0 tas 2 4 1 0 0
tas 3 1 1 tas 3 tas 3
tas 4 5 1 0 1 tas 4 5 1 0 1 tas 4 3 1 1
Nim-addition 2 0 2 Nim-addition 2 0 1 Nim-addition 1 1 1
tas virtuel 1 tas virtuel 1 tas virtuel 1
W him-addition 2 0 3 W him-addition 2 0 2 W him-addition 1 1 2
6) A enlève 3 jetons du tas 1 7) B enlève 2 jetons du tas 4 8) A annonce le coup de W him
tas 1 tas 1 et gagne la partie
tas 2 1 1 tas 2 1 1
tas 3 tas 3
tas 4 3 1 1 tas 4 1 1
Nim-addition 1 2 Nim-addition 2
tas virtuel 1 0 tas virtuel 1 0
W him-addition 2 2 W him-addition 1 2
