E433 : Nim au chocolat
Recensons les configurations possibles , qui sont toutes convexes ; nous les désignerons par le nombre de triangles élémentaires qu’elles comportent, avec
éventuellement une lettre pour les différencier : on peut avoir des configurations ayant un même nombre de triangles de formes différentes, ou qui se distinguent par la position du triangle final :
• Il y a 2 configurations à 3 triangles : 3c si le triangle final est en position centrale, et 3b s’il est au bord
• Il y a 3 configurations à 4 triangles : 4l s’ils sont en ligne, et s’ils sont en triangle, 4c si le triangle final est en position centrale, et 4b s’il est au bord.
• Il y a 3 configurations à 7 triangles, 7c avec le triangle final en position centrale, 7s s’il est sur le bord et sur l’axe de symétrie, 7b sinon
• Il y a 3 configurations à 8 triangles, 8l en forme de losange, et pour la forme trapèze, 8s si le triangle final est sur l’axe de symétrie, 8t sinon.
Pour les autres nombres, il n’y a qu’une seule configuration possible.
On peut alors construire le tableau ci-après, qui recense, à partir d’une configuration, toutes celles vers lesquelles on peut aller. Une configuration est gagnante (G) si l’on peut atteindre une configuration perdante (P). Une configuration est perdante, si l’on ne peut atteindre que des configurations gagnantes.
La configuration 1 est perdante pour la première plaque et gagnante pour la deuxième.
A partir de là, le tableau montre que la configuration initiale (16) est gagnante dans les deux cas.
Configuration Possibilités 1ère plaque 2ème plaque
1 P G
2 1 G P
3c 2 P G
3b 2,1 G G
4l 3c, 3b, 2 G G
4c 3c G P
4b 3b, 1 G P
5 4l, 3b P P
6 3c G P
7c 6, 4l, 4c P G
7s 6, 3c, 3b G G
7b 6, 4l, 4b, 3b P G
8l 7c, 7b, 4l, 3b G P
8s 7b, 5, 4b G G
8t 7s, 7b, 4l, 3b G P
9 8s, 8t, 5, 4b G G
10 7c, 7b, 5 G G
11 10, 8l, 8t, 7c, 7b, 5 G G
12 11, 8l, 8t, 5 G G
13 10, 8s P P
14 13, 11, 10, 9, 8s G G
15 14, 12, 11, 9, 8s P P
16 15, 12, 9 G G
