DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.

(1)

CORRIGÉ EXERCICE 1:DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. ... 1

CORRIGÉ EXERCICE 2:TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ... 2

Exemple 2.1 : Poulies Redex. ... 2

Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ... 3

CORRIGÉ EXERCICE 3:TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. ... 4

Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ... 4

CORRIGÉ EXERCICE 4:TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. ... 5

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. ... 5

Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ... 9

Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes différentes :

 par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan),

 à l’aide de la relation de Willis.

Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.

Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les différentes configurations possibles de ce train.

Caractéristique du train épicycloïdal Satellite Porte

satellite

Planétaire A

Planétaire

B Relation de Willis Raison de base du train

2 4 1 3 1/0  . 3/0   



1 .



4/0 0

4/0

1/0 1 2' 3

3/0 0 1 2''

( 1) .z . z z z

 

    



Utilisation possible Pièce

d’entrée

Pièce de sortie

Pièce fixe/bâti 0

Relation de Willis simplifiée avec e et s,

et en tenant compte de la pièce qui est fixe Rapport de transmission : ^/0 /0 e s

i 

 

1 3 4 _e/0   . _s/0 0 ^/0

/0 e s

i 

  



1 4 3 _e/0   



1 .



_s/0 0 ^/0

/0 e 1

s

i 

   



3 1 4 _s_/0  . _e_/0 0 ^/0

/0 e 1

s

i 

 

 

3 4 1  . _e/0   



1 .



_s/0 0 ^/0

/0 e 1

s

i   

 

 

4 1 3 _s/0  



1 .



_e/0 0 ^/0

/0

1 1

e s

i 

 

  

4 3 1  . _s/0  



1 .



_e/0 0 ^/0

/0 1

e s

i    

  

4, 3 1 _s/0   . _e1/0   



1 .



_e2/0 0

(2)

Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV.

Exemple 2.1 : Poulies Redex.

(Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004)

Satellite 6, 10

Porte satellite 5

1^er cas : on choisit

Planétaire A 31 Planétaire B 24

Train épicycloïdal (de raison de base ₁) :

 

31/0 1. 24/0 1 1 . 5/0 0

         avec

5/0

31/0 2 6 24

1

24/0 0 31 10

( 1) . z .z 1,17 z z

 

     



2^ème cas : on choisit

Planétaire A 24 Planétaire B 31

Train épicycloïdal (de raison de base ₂) :

 

24/0 2. 31/0 2 1 . 5/0 0

         avec

5/0

24/0 2 10 31

2

31/0 0 24 6

( 1) .z .z 0,856

z z

 

     



Utilisation : 24 fixe par rapport à 0, 5 est l'entrée e et 31 la sortie s (5=e et 31=s) D'où : _s/0  



1 1 .



_e/0 0

/0

/0 1

1 5,9

1

e s

 

  

  

D'où :  2. _s/0   



2 1 .



_e/0 0

/0 2

1 5,9

e s

 

  

  

On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas.

Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis.

31

6 10

5

24

(3)

Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse.

Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre

1/0, 2/0 /0

e e et s

   .

Train épicycloïdal :

Train simple : ^8/0 ¹ ¹³

13/0 8

( 1) .z z

  



Utilisation : 10e₁ 8e₂ 11s

D'où : _1/0 ⁹ ¹¹ _/0 ⁹ ¹¹ ⁸ _2/0

10 9 10 9 13

. . . 1 . . 0

B B

e s e

C C

z z z z z

     

        

     

Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les z liée aux _i conditions géométriques de montage des roues dentées.

Pour le train épicycloïdal : R₁₀ R₉_B R₁₁R₉_C  z₁₀z₉_B z₁₁z₉_C

Moteur 2

10 11

9B 9C

13 8

Moteur 1

Sortie

 

10/0 . 11/0 1 . 13/0 0

         avec

13/0

10/0 2 9 11

11/0 0 10 9

( 1) . ^B. C

z z

 

    



Satellite 9

Porte satellite 13 Planétaire A 10 Planétaire B 11

Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont égaux,

car d=m ;z

(4)

Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III.

Exemple 3.1 : Réducteurs ATV.

Voir exemple donné dans le cours (page 24) pour le schéma cinématique et le calcul...

(5)

7 5

4 2

1 10g 10d

Emplacement du câble Tambour (qui était non représenté sur le plan ci-dessus)

22

25

23

Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I.

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant.

Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein).

Question 1 : Compléter le repère des pièces dans le tableau décrivant les 2 trains épicycloïdaux (droite et gauche).

Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les z_i.

Pour le 1^er train épicycloïdal : D₁₀_d D₁2.D₂  z₁₀_d z₁2.z₂ (pour pouvoir engrener ensemble, il faut m₁₀_d m₁m₂)

Pour le 2^ème train épicycloïdal : D₁₀_g D₄ 2.D₅  z₁₀_g z₄ 2.z₅ (pour pouvoir engrener ensemble, il faut m₁₀_g m₄ m₅)

Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système.

Pièce d’entrée : arbre 1 Pièce de sortie : arbre 7

Train épicycloïdal 1

Train épicycloïdal 2

Satellite 2 5

Porte satellite 4 7

Planétaire A 1 4

Planétaire B 10d (droite) 10g (gauche)

(6)

Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission.

Train épicycloïdal 1 (de raison de base ₁) :

 

1/0 1. 10 /0_d 1 1 . 4/0 0

         avec

4/0

1/0 1 10 2 10

1

10 /0 0 2 1 1

( 1) . ^d. ^d

d

z z z

 

 

    



Train épicycloïdal 2 (de raison de base ₂) :

 

4/0 2. 10 /0_g 2 1 . 7/0 0

         avec

28/0

10 10

4/0 1 5

2

10 /0 0 5 4 4

( 1) . ^g. ^g

g

z z z

 

 

    



Utilisation :

10 /0 10 /0

1/0 /0

7/0 /0

d g 0

e s

   



  

  



Par conséquent :

Train épicycloïdal 1 donne : _e/0   



1 1 .



4/0 0 Train épicycloïdal 2 donne : 4/0   



2 1 .



_s/0 0 D’où : _e/0   



1 1 .

 

 2 1 .



_s/0 0

   

¹⁰

/0 10

1 2

/0 1 4

1 . 1 1 . ^g 1

e d

s

z z

 

  

          

      ^/0 ¹ ¹⁰ ⁴ ¹⁰

/0 1 4

( )( )

.

d g

e s

z z z z

z z

 

 



Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres primitifs des différents pignons ou couronnes.

On a D_i m_i z_i et ¹⁰ ¹ ²

10 4 5

d g

m m m

 

  



Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système.

A.N. : ^/0

/0 e 34

s

 



Nombre

de dents Module Diamètre primitif

Pignon arbré 1 21 2 42

Pignon rapporté 2 51 2 102

Couronne 10d 123 2 246

Pignon arbré 4 23 3 69

Pignon rapporté 5 34 3 102

Couronne 10g 91 3 273

(10d et 10g solidaires du bâti).

(7)

Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein).

Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique.

Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5.

On aura certainement besoin d’utiliser : I_2/0 D et I_5/0 G (tout point de RSG est un CIR).

Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au bâti 0 : V_F__5/0. (Justifier les différentes étapes de la construction).

7/0 5/0

F F

V _ V _ ^5/0

5/0 4/0

E E

I

V _ V _



 

NB : 10d = 10g = 0 le bâti.

1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc :

2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient V_B__2/0 V_B__2/1V_B__1/0 V_B__1/0 (car, comme BI_2/1, on a V_B__2/1 0).

3) Connaissant I_2/0 et V_B__2/0, on détermine V_C__2/0 par la répartition linéaire des vitesses.

4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtientV_C__4/0 V_C__4/2 V_C__2/0 V_C__2/0 (car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a V_C__4/2 0).

5) Connaissant A et V_C__4/0, on détermine V_E__4/0 V_E__5/0 par la répartition linéaire des vitesses.

6) Connaissant I_5/0 et V_E__5/0 , on détermine V_F__5/0 V_F__7/0 par la répartition linéaire des vitesses.

4/0 2/0

C C

A

V _ V _



 

BI2/1

DI2/0

E I5/4

GI5/0 2/0

2/0 1/0

B B

I

V _ V _



 

(8)

Question 9 : Justifier que V_F__5/0 V_F__7/0 . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès (proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la relation entre V_F__7/0 , V_B__1/0 , R , ₁ R et ₂ R . ₄

En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient V_F__7/0 V_F__7/5 V_F__5/0 V_F__5/0 (car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a V_F__7/5 0).

D’après le théorème de Thalès, on a successivement : ^5/0 ⁵

5/0 5

1

2. 2

F E

V R



  ^4/0 ⁴

1 2

4/0 E C

V R

R R

V



  ^2/0 ²

2/0 2

1

2. 2

C B

V R



 

d’où ^5/0 ^4/0 ^2/0 ⁴

1 2

5/0 4/0 2/0

1 1

. . . .

2 2

F E C

E C B

V V V R

R R

V V V

  

 

donc _5/0 ⁴ _2/0

1 2

1. .

F 4 B

V R V

R R

  



Question 10 : En déduire, en fonction deR , ₁ R , ₂ R et ₄ R , le rapport de transmission. ₅

Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc :

7/0 7/0 . ' 7/0 .( 4 5)

VF_   A F   R R

1/0 1/0 . 1/0 . 1

VB_   AB  R

En remarquant que les deux vecteurs vitesses V_F__7/0 et V_B__1/0 ont même sens, on obtient le rapport de transmission :

4

7/0 4 5 1/0 1

1 2

.( ) 1. . .

4

R R R R

R R

   

  ^1/0 ⁴ ⁵ ¹ ²

7/0 4 1

4.( )( )

.

R R R R

R R

  

 

Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents.

Comme R₁₀_d R₁2.R₂ et R₁₀_g R₄2.R₅ (voir question 2)

On a :

10 4 10 1 4 10 4 1 10 1

4 1

1/0

7/0 4 1 4 1

2. 2.

4.( )( ) 4.( )( )

2 2 2 2

. .

g d g d

R R R R R R R R R R

R R

R R R R

     

 

  



^1/0 ⁴ ¹⁰ ¹ ¹⁰ ¹ ¹⁰ ⁴ ¹⁰ ¹ ¹⁰ ⁴ ¹⁰

7/0 4 1 1 4 1 4

( )( ) ( )( ) ( )( )

. . .

g d d g d g

R R R R R R R R D D D D

R R R R D D

     

   



C'est-à-dire en fonction du nombre de dents : ^1/0 ^{1 1} ^{1 10} ² ⁴ ² ¹⁰

7/0 1 1 2 4

( . . )( . . )

. . .

d g

m z m z m z m z

m z m z

 

 



1 10 4 10

1/0

7/0 1 4

( )( )

.

d g

z z z z

z z

 

 



On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4).

(9)

Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses.

Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse », puis en fonctionnement « Grande Vitesse ».

Entrée Grande vitesse Entrée

Petite vitesse

Sortie

28

36 8

25

13 34

37

17 19

(10)

Train épicycloïdal 1 Train épicycloïdal 2

Satellite 37 36

Porte satellite 17 28

Planétaire A 19 17

Planétaire B 25 8

Train épicycloïdal 1 (de raison de base ₁) :

 

19/0 1. 25/0 1 1 . 17/0 0

         avec

17/0

19/0 1 25 37

1

25/0 0 37 19

( 1) . . 83 4,37

19 z z

z z

 

 

      



Train épicycloïdal 2 (de raison de base ₂) :

 

17/0 2. 8/0 2 1 . 28/0 0

         avec

28/0

17/0 1 8 36

2

8/0 0 36 17

( 1) . . 79 4, 65

17 z z

z z

 

 

      



Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 :

34/0 13

13/0 34

41 41

1 z

z

      

 (plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche)

Utilisation :

On a _19/0  _18/0 , _28/0  _1/0 et _25/0  _13/0 (pièces solidaires entre elles) De plus _8/0 0 (8 solidaire du bâti).

Par conséquent :

Train épicycloïdal 1 donne : 18/0 1. ^34/0



1 1 .



17/0 0 41

        

Train épicycloïdal 2 donne : 17/0   



2 1 .



1/0 0 D’où 18/0 1. ^34/0



1 1 .

 

2 1 .



1/0 0

41

          

   

^34/0

1/0 18/0 1

1 2

1 .

1 . 1 41

  

         

1/0 0,033.( 18/0 0,107. 34/0)

    

Fonctionnement en petite vitesse (_18/0 0 et _34/0 1500tr/ min)  _1/0  5,3tr / min

Fonctionnement en grande vitesse (_18/0  _34/0 1500tr/ min)  _1/0 44,2tr/ min ou 54,8tr/ min

NB : si on choisit de prendre :

-0,107, on trouve _1/0  5,3tr / min(petite vitesse) et _1/0  44,2tr/ min (grande vitesse) +0,107, on trouve _1/0  5,3tr/ min(petite vitesse) et _1/0  54,8tr/ min (grande vitesse) Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont :

1/0 5,3tr/ min

   (petite vitesse) et _1/0  54,8tr/ min (grande vitesse)