Exercices série n°12 sur les Suites numériques

(1)

Exercices série n°12 sur les Suites numériques

2éme Bac PC- SVT

Exercice 1 :

Considérons la suite

 

un définie par :

0

1

10

17 18

19 19

n n

u

u _ u

 



 

 pour tout n deIN.

1. Montrer que :u_n 9 , pour tout n de IN.

2. Montrer que

 

un est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.

3. On pose : v_n u_n9pour tout n deIN.

a- Montrer que

 

vn est une suite géométrique b- Calculerv_n en fonction de n

c- Déduire u_n en fonction de n, puis calculerlim _n

n u

 . Exercice 2 :

 

un définie par :

0

1

3 12 8

4 3

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 



pour tout n deIN. 1. Montrer par récurrence que : u_n 2, pour tout n deIN

2. On pose :

2

n n

n

v u

u

 pour tout n deIN

a- Montrer que

 

vn est une suite arithmétique b- Calculer v_n en fonction de n.

c- Déduire u_n en fonction de n , puis calculer lim _n

n u

 . Exercice 3 :

 

un définie par :

0

1

2

7 2

2 7

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 



pour tout n deIN. 1. Montrer par récurrence que :u_n 1, pour tout n deIN.

2. Montrer que

 

un est décroissante et qu’elle est convergente

3. On pose : ¹

1

n n

n

v u u

 

 pour tout n deIN.

a- Montrer que

 

vn est une suite géométrique b- Calculer v_n en fonction de n

c- Déduire u_n en fonction de n, puis calculerlim _n

n u

 . 4. On pose :

0 1 2 1

1 1 1 1

...

1 1 1 1

n

S u u u  u _

   

Calculer S_n en fonction de n.

(2)

Exercice 4 :

Considérons la fonction f définie sur ^I ^

 

^0;1 ^{par :}

 

⁴ ³

3 4

f x x x

 

 1. Etudier les variations de f sur ^I ^

 

^0;1

2. Montrer que ^{f I}

 

^^I^.

3. Etudier la position de

 

^C^f avec l’axe

 

^ ^:^y^^x^sur^I ^

 

^0;1

4. Considérons la suite numérique

 

un définie par :

 

0

1

1 2

n n

u

u_ f u

 

 



pour tout n deIN. a- Montrer que : 0u_n 1 , pour tout n deIN.

b- Etudier la monotonie de

 

un . c- Calculerlim _n

n u

 . Exercice 5 :

Soit

 

un n__INla suite définie par :

 

0

2 1

3

2 2 ; IN

n 3 n

u

u _ u n

 



   



1 - a – Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^;un  ⁶.

b – Montrer que la suite

 

un n__INest strictement décroissante, et qu'elle est convergente.

2- On pose : vn un²^{6 ;}



 n ^IN



.

a – Montrer que

 

vn n__IN est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

b – Calculer v_n Puisu_n en fonction de n.

c – Calculer : lim _n

n u



Exercice 6 :

Soit

 

un n__INla suite définie par :

0

1

6

6 4

6

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 



pour tout n deIN. 1 - Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^;un ².

2- Montrer que la suite

 

un n__IN est décroissante, et qu'elle est convergente.

3- On pose : ²

2

n n

n

v u u

 

 pour tout n deIN.

a – Montrer que

 

vn n__IN est une suite géométrique et déterminer sa raison.

b – Calculer v_n Puisu_n en fonction de n.

4- Calculer : lim _n

n u

 . Exercice 7 :

Soit f la fonction définie sur ^I ^

 

^{1; 2} ^{par :}

 

⁵ ¹

3 f x x

x

 

 . 1 - Etudier les variations de la fonction f.

2 - Montrer que : ^{f I}

 

^^I^.

3 – On considère la suite numérique

 

un définie par : ⁰1

 

2

n n

u

u _ f u

 

 

 pour tout n deIN. a – Montrer que :1u_n 2, pour tout n deIN.

b – Montrer que la suite

 

un est décroissante.

c – Montrer que la suite

 

un est convergente et déterminer sa limite.