Première L
Suites numériques Exercices
1. Exercice 9 2
2. Exercice 10 2
3. Exercice 11 2
4. Exercice 12 3
5. Exercice 13 3
6. France, septembre 2001 4
7. Asie juin 2002 5
8. Centres étrangers juin 2002 6
9. Pondichery, juin 2001 7
10. Pondichery, juin 2002 9
11. Exercice 19 9
12. Exercice 20 10
13. Exercice 21 11
14. Exercice 22 12
15. Pondichéry avril 2003 13
16. Amérique du Nord, juin 2003 14
17. Amérique du Sud nov. 2003 15
18. Nouvelle Calédonie, nov. 2003 16
19. Polynésie sept. 2003 17
20. Antilles, juin 2004, 12 points (c) 19 21. Centres étrangers juin 2004, 10 points 21
22. France, juin 2004, 11 points (c) 22
23. Liban, juin 2004, 12 points 26
24. Amérique du Sud, novembre 2004, 12 points 28 25. Nouvelle Calédonie, novembre 2004, 10 points 30
26. France, septembre 2004, 12 points 31
27. Pondicherry, avril 2005, 12 points 33 28. Amérique du Nord, juin 2005, 8 points 35 29. Centres étrangers, juin 2005, 12 points 36
30. Liban, juin 2005, 12 points 38
1. Exercice 9
On suppose qu'un pin d'un âge compris entre 15 et 30 ans a une croissance régulière annuelle de 40 cm de hauteur. On note h(n) la hauteur en mètres du pin à l'âge n (pour n tel que 15 n≤ ≤30).
1. En supposant dans cette question que h(15) = 22, calculer h(16) et h(17).
2. Montrer que la suite h(n) (pour n tel que 15 n 30≤ ≤ ) est une suite arithmétique.
3. On suppose qu'un pin de 15 ans a une hauteur de 17 m. Quelle sera sa hauteur lorsqu'il aura 30 ans ? 4. On suppose qu'un pin de 28 ans a une hauteur de 28 m. Quelle était sa hauteur lorsqu'il avait 18 ans ? 5. Représenter graphiquement pour n compris entre 15 et 30 la hauteur d'un pin qui mesure 20 m à 15 ans.
2. Exercice 10
Les résultats seront donnés au centime d'euro près.
Le jour anniversaire de ses 18 ans, un jeune possédant 1 700 euros d'économies décide de placer son argent.
Une banque lui propose deux sortes de placements :
• placement A : la totalité du capital est placée sur un livret d'épargne au taux de 3,5 % par an à intérêts composés ;
• placement B : 1300 euros sont placés sur un livret «Jeune» au taux de 4,5 % par an à intérêts composés, et les 400 euros restants sur un compte courant non rémunéré.
Par la suite, on suppose qu'il ne fait plus aucun retrait ou versement.
1. On note Cn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement A.
a. Calculer C1 et C2.
b. Démontrer que Cn est une suite géométrique et exprimer Cn en fonction de n.
2. On note Tn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement B.
a. Calculer T1 et T2.
b. Exprimer Tn en fonction de n.
3. Le livret «Jeune» n'est possible que jusqu'à l'âge de 25 ans.
a. Compléter le tableau suivant :
n 1 2 3 4 5 6 7
Cn
Tn
b. En déduire, en fonction du nombre d'années, le placement le plus avantageux.
3. Exercice 11
Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération :
Type 1 : Salaire initial de 1200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €. Type 2 : Salaire initial de 1100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8 %.
1. Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u(0) le salaire mensuel initial et u(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de u(0), u(1), u(2).
2. Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v(0) le salaire mensuel initial et v(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de v(0), v(1), v(2).
3. Donner une expression générale de u(n) et v(n) en fonction de n. Calculer u(5) et v(5) ; u(8) et v(8).
4. Le nouvel employé compte rester 10 ans dans l'entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse ?
4. Exercice 12 Remarques préalables
– Dans cet exercice on assimile le nombre de bactéries A et B au bout de n semaines à des suites respectivement géométrique et arithmétique. Les nombres de bactéries sont des nombres entiers, mais les termes de la suite géométrique ne le sont en général pas. On fera observer ce problème aux élèves et on pourra agir sur le format des cellules correspondantes. On peut aussi introduire la suite (E(1,025un)) des parties entières de un et observer les valeurs ainsi obtenues pour déterminer le nombre de bactéries A.
– En situation d’activité de classe, les questions peuvent être beaucoup plus ouvertes. On peut, par exemple, demander aux élèves d’organiser les calculs pour répondre directement à la question 2. a.
Une culture de 4500 bactéries A augmente chaque semaine de 2,5% par rapport à la semaine précédente.
Une culture de 5000 bactéries B augmente de 140 bactéries par semaine.
On note un le nombre de bactéries A et vn le nombre de bactéries B au bout de n semaines.
1. Calculer le nombre de bactéries A et le nombre de bactéries B au bout de quatre semaines et au bout de dix semaines.
2. veut déterminer au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A dépasse celui de bactéries B.
On peut pour cela compléter un tableau donnant un et vn en fonction de n, en utilisant un tableur ou une calculatrice.
On a commencé à déterminer les valeurs de un et vn avec un tableur :
1 A B C
2 n un vn
3 0 4500 5000
4 1 4612,5 5140
5 2 4727,8125 5280
6 3 4846,007813 5420
7 4 4967,158008 5560
8 5 5091,336958 5700
9 6 5218,620382 5840
10 7 5349,085892 5980
11 8 5482,813039 6120
12 9 5619,883365 6260
13 10 5760,380449 6400
a. Expliquer par quelle formule on passe de la valeur de la cellule B3 à celle de la cellule B4, puis de la valeur de la cellule B4 à celle de la cellule B5.
b. Même question pour les cellules C3 et C4, puis C4 et C5.
c. A l’aide d’une calculatrice, déterminer à partir de combien de semaines il y a plus de bactéries A que de bactéries B (justifier en donnant en particulier les résultats numériques nécessaires à la compréhension de cette justification).
3. Au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A augmente-t-il de 25% par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A ? Expliquer et justifier la réponse.
5. Exercice 13
Le tableau suivant indique l’évolution de la population d’un pays au cours d’un siècle.
Année 1900 1920 1940 1960 1980 2000 Population pn
en millions d’habitants 5,7 9,6 17 31 50 76
1. Calculer le coefficient multiplicateur qui permet d’obtenir la population en 1920 à partir de celle de 1900. En déduire l’augmentation en pourcentage de cette population.
Cette variation en pourcentage est appelée augmentation relative de la population au cours de cette période de 20 années.
2. Calculer de même les augmentations relatives au cours de chacune des périodes de 20 ans qui suivent.
3. Calculer la moyenne arithmétique m de ces augmentations relatives trouvées à la question précédente.
En déduire le coefficient multiplicateur moyen qui ferait passer cette population de 5,7 millions à environ 76 millions en l’appliquant à chaque période de 20 ans jusqu’en 2000. On arrondira ce coefficient en donnant 2 chiffres après la virgule.
4. Vérifier que 1,02620 est voisin du résultat trouvé à la question précédente.
5. On décide de modéliser cette évolution de la population de ce pays à l’aide d’une suite géométrique. Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 5,7 et de raison q = 1,026.
Calculer u20 , u40, u60 , u80, u100.
Représenter sur le même graphique la suite (un) et l’évolution de la population au cours du siècle présentée dans le tableau. On placera les populations sur l’axe des ordonnées.
6. Si on pense qu’au cours des prochaines années, l’évolution de la population va se poursuivre au même rythme et que la suite (un) est un modèle satisfaisant pour la représenter, quelle population peut on prévoir en 2005 dans ce pays ?
6. France, septembre 2001
Voici un extrait d’une étude statistique de l’INSEE concernant l’évolution démographique au cours des années 1975–1990 dans deux arrondissements du département de la Drôme :
Population Taux de variation
annuel (en %)
Arrondissement en 1975 en 1982 en 1990 1975–82 1982–90
Die
dont communes rurales
32 168 19 022
33 572 20 309
35 207 21 574
+ 0,61 + 0,93
+ 0,60 + 0,76 Valence
dont communes rurales
283 624 71 556
301865 82 110
320 370 94 059
+ 0,89 + 1,97
+ 0,75 + 1,71 (Les questions 1 et 2 de l‘exercice ne concernent que la ligne du tableau relative à l’arrondissement de Die.).
1. Le tableau signale une augmentation annuelle de 0,61 % pour la période 1975–1982.
a. Déterminer le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la population de 1975 à 1976. Quel est celui qui permet de passer de la population de 1976 à celle de 1977 ?
b. En déduire quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer directement de 1975 à 1982.
Vérifier que la population recensée en 1982 est conforme à cette augmentation.
2. On suppose dans cette question que le taux de variation annuel dans l’arrondissement de Die est de 0,60 pour la période 1975–1999.
On note u0 la population en 1975 et un celle de l’année 1975 + n ; on aura alors :
0 1
32 168
1,006 pour tout entier
n n
u
u+ u n
=
=
Ainsi, u8 représente la population dans l’arrondissement de Die en 1983 (1975 + 8 = 1983).
a. Compléter le tableau figurant en annexe 2 à l’aide de la calculatrice.
b. En déduire une estimation de la population en 1976, puis en 1983.
c. Ecrire un en fonction de n et reconnaître le type de croissance décrit par cette suite.
d. Estimer la population que l’on aurait dû trouver au recensement de 1999 (en fait, au recensement de 1999, la population était de 37 733).
3. La question 3 concerne la ligne relative à l’arrondissement de Valence.
a. Compléter le tableau préparé sur tableur et fourni en annexe 3, relatif à la population de l’arrondissement de Valence en 1982 et 1990.
b. Donner des formules, utilisables dans un tableur, permettant de calculer les cellules D3 et E3.
c. Expliquer pourquoi la plus forte progression en nombre d’habitants ne correspond pas à la plus forte progression en pourcentage.
7. Asie juin 2002
L’objectif de cet exercice est de comparer l’évolution des économies de deux personnes au cours d’une année.
* Pierre possède 500 euros d’économies le 1er janvier. Il décide d’ajouter 27 euros le 27 de chaque mois.
* Sophie ne possède que 400 euros d’économies le 1er janvier, mais elle décide d’augmenter ses économies de 10% le 27 de chaque mois.
1. De combien dispose chaque personne fin janvier ? fin février ? 2. Cas de Pierre.
On note U0 la somme initiale reçue le 1er janvier, et Un la somme disponible à la fin du nième mois. La suite (Un) ainsi définie est représentée par le graphique ci–dessous.
a. Par lecture graphique, donner la nature de la suite (Un), son premier terme et sa raison.
b. Exprimer Un+1 en fonction de Un, et retrouver la nature de la suite (Un).
c. Montrer que Un = 500 + 50n. Calculer la somme dont dispose Pierre à la fin de l’année.
d. Calculer le pourcentage d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre.
3. Cas de Sophie
On note V0 la somme initiale reçue le 1er janvier et Vn la somme disponible à la fin du nième mois. Soit (Vn) la suite ainsi définie.
a. Démontrer que la suite (Vn) est la suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme 400.
b. Montrer que Vn = 400(1,1)n. Calculer la somme dont dispose Sophie à la fin de l’année, arrondie à un euro près.
c. Calculer le pourcentage d’augmentation de ses économies entre le 1er janvier et le 31 décembre.
d. La copie d’écran ci–dessous est celle d’un tableur :
A B C D E F G H I J K L M N
N 2
3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 Vn 400
Les colonnes sont repérées par des lettres A, B, C… ; les lignes sont repérées par des numéros 1, 2, 3… ; ainsi, la référence E3 repère la cellule se trouvant à l’intersection de la colonne E et de la ligne 3.
Quelle formule doit–on taper dans la cellule C4 pour y obtenir le terme correspondant de la suite (Vn) ? On recopie cette formule vers la droite.
Quelle formule se trouve dans la cellule N4 ?
Reproduire le tableau ci–dessus et le compléter à l’aide de votre calculatrice (les résultats seront arrondis à un euro près).
4. Comparaison des deux cas
a. Tracer sur le graphique ci–dessous la représentation graphique de la suite (Vn).
b. Déterminer graphiquement le mois à la fin duquel les économies de Sophie deviennent supérieures à celles de Pierre.
0 2 4 6 8 10 12
400 600 800 1000 1200
8. Centres étrangers juin 2002
L’INSEE (Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques) répartit la population française de plus de 15 ans en plusieurs catégories. Parmi elle, on désignera par « actifs » la catégorie des personnes ayant effectivement un emploi et par « inactifs » la catégorie regroupant les scolaires, les étudiants, les retraités et les personnes sans emploi ou ayant un emploi à temps très réduit. Les données relatives à ces deux catégories sont répertoriées dans le tableau 1 fourni en annexe.
Partie 1 – Analyse de la journée des hommes
1. En 1987, le temps libre des hommes actifs représentait 15% d’une journée de 24 heures ou 1440 minutes.
Déterminer, en minutes, cette durée.
2. Exprimer, en pourcentage de la durée d’une journée de 24 heures, le temps consacré aux tâches domestiques par les hommes inactifs en 1987.
On donnera ce pourcentage arrondi au centième.
3. A l’aide des tableaux 1 et 2 figurant en annexe, calculer le temps professionnel moyen dont disposent les hommes de plus de 15 ans en 1999 (actifs et inactifs). On donnera le résultat arrondi à la minute.
Partie 2 – Evolution de la durée quotidienne de temps libre des femmes françaises actives
1. Déterminer, en pourcentage, la variation de temps libre dont disposent les femmes actives entre 1987 et 1999. On arrondira le résultat au dixième.
2. D’après une autre étude, on peut faire l’hypothèse que le temps libre des femmes actives a augmenté de 2% tous les 3 ans sur la période 1987–1999.
Pour tout entier n≥0, on appelle tn le temps libre dont disposent les femmes actives en 1987 + 3 x n (exprimé en minutes) (on arrondira tous les résultats à la minute).
a. Vérifier que l’on trouve un temps libre t1 des femmes actives en 1990 de 172 minutes. Déterminer le temps libre t2 des femmes actives en 1993.
b. Quel terme de la suite correspond au temps libre dont dispose les femmes actives en 1999 ? Quelle est la durée en minutes de ce temps libre ?
c. Exprimer tn+1 en fonction de tn. En déduire la nature de la suite (tn).
d. Exprimer tn en fonction de t0.
e. On suppose que cette tendance (augmentation de 2% tous les 3 ans) se poursuit au moins jusqu’en 2014.
Calculer le temps libre quotidien dont disposeraient les femmes actives en 2014.
ANNEXE Tableau 1
Découpage de la journée moyenne des Français en 1987 et en 1999.
Champ : Personnes de 15 ans et plus en France métropolitaine. D’après l’enquête « emploi du temps 1998–
1999 », INSEE.
Définitions : les temps sont exprimés en minutes.
Temps physiologique : sommeil, toilette, repas, ….
Temps professionnel : profession, trajets liés au travail, études, …
Temps domestique : ménage, cuisine, courses, linge, soins aux enfants, … Temps libre : pratiques sportives, culturelles ou ludiques, bricolage, jardinage, …
Hommes Femmes
Actif occupé Inactif Actif occupé Inactif
1987 1999 1987 1999 1987 1999 1987 1999
Temps physiologique 683 682 772 760 693 695 762 757
Temps professionnel* 394 382 115 92 313 301 59 59
Temps domestique 112 119 165 175 229 227 317 288
Temps libre 224 339 375 169 183 264 301
Autre 33 49 38 36 34 38 35
Total 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h
*La prise en compte des samedis et dimanches pour le calcul de ces moyennes explique ces temps professionnels journaliers relativement faibles.
Tableau 2
Répartition de la population française de plus de 15 ans selon le sexe et l’activité :
Actifs occupés Inactifs Hommes 14 369 489 8 701 877 Femmes 12 172 992 12 826 991 Source : Recensement de la population 1999.
9. Pondichery, juin 2001
Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.
Option A : Une augmentation fixe du salaire mensuel de 500 F au 1er janvier de chaque année.
Option B : Une augmentation de 5% du salaire mensuel de l’année précédente au 1er janvier de chaque année.
Dans les options A et B, l’augmentation n’a lieu qu’au 1er janvier et les salaires restent fixes les autres mois de l’année.
En 2000, Marcel et Claudine gagnent mensuellement 7000 F chacun. Marcel choisit l’option A et Claudine l’option B.
1. Calculer les salaires mensuels de Marcel et de Claudine en 2001, puis en 2002.
2. On note U0 le salaire mensuel de Marcel en 2000 et Un le salaire mensuel de Marcel n années après 2000.
a. Quelle est la nature de la suite (Un) ? b. Exprimer Un en fonction de n.
c. Calculer U19. Interprétez ce résultat.
d. A partir de quelle année le salaire mensuel de Marcel sera–t–il d’au moins 12 000 F ?
3. On note V0 le salaire mensuel de Claudine en 2000 et Vn le salaire mensuel de Claudine n années après 2000.
a. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ? b. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn. En déduire la nature de la suite (Vn).
c. Exprimer Vn en fonction de n.
d. En déduire le salaire mensuel de Claudine en 2019.
4. Marcel et Claudine prendront leur retraite en 2019. Lequel des deux partira avec le meilleur salaire ? 5. Le graphique ci–dessous reflète l’évolution des salaires mensuels de Marcel et Claudine. Vous utiliserez ce graphique pour répondre aux questions suivantes.
a. Quelle est la courbe représentant l’évolution des salaires mensuels de Marcel ? Justifier.
b. A partir de quelle année Claudine gagnera–t–elle au moins 12 000 F ?
c. A partir de quelle année le salaire mensuel de Claudine dépassera–t–il celui de Marcel ?
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
6000 20 000
8 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000
courbe A courbe B
Salaire en francs
Rang de l’année
10. Pondichery, juin 2002
Un journal, vendu exclusivement sur abonnement, possède 25 000 abonnés au début de l’année 2000.
Le service des abonnements estime que, d’une année sur l’autre, d’une part, 80% des lecteurs renouvellent leur abonnement et, d’autre part, qu’il y aura 20 000 nouveaux abonnés.
On note 0 l’année de référence 2000. Les années suivantes sont notées 1, 2, … 1. Dans le tableau ci–dessous :
a. Vérifier que le nombre estimé d’abonnés en 2001 sera de 40 000.
b. Compléter la ligne 2 du tableau, donnant le nombre d’abonnés.
A B C D E F G
1 Année n 0 1 2 3 4 5
2 Abonnés Un 25 000 40 000
3 Vn 75 000
4 Vn/Vn–1
Les colonnes sont repérées par les lettres : A, B, C, … ; les lignes sont repérées par des nombres : 1, 2, 3…
Ainsi, la référence B3 repère la cellule se trouvant à l’intersection de la colonne B et de la ligne 3.
c) Si l’on utilisait ce tableur pour compléter le tableau précédent, quelle formule devrait–on écrire dans la cellule C2 et recopier vers la droite jusque en G2 ?
2. On note Un le nombre estimé d’abonnés durant l’année n.
a. Exprimer Un+1 en fonction de Un.
b. Cette suite (Un) est–elle arithmétique ? Justifier la réponse.
c. Cette suite (Un) est–elle géométrique ? Justifier la réponse.
3. Le directeur souhaite 100 000 abonnés pour rentabiliser son entreprise. Il calcule alors, pour chaque année à venir la différence Vn entre son objectif, 100 000, et le nombre estimé Un d’abonnés.
On a donc Vn = 100 000 – Un. a. Calculer V0.
b. Dans la cellule B3, quelle formule doit–on écrire, puis recopier vers la droite dans le tableau de la question 1, pour compléter la ligne 3 ?
c. Compléter la ligne 3 du tableau de la question 1.
4. Dans cette question, on étudie la nature de la suite (Vn).
a. Compléter la ligne 4 du tableau de la question 1.
b. Que peut–on conjecturer pour la suite (Vn) ?
c. En admettant que cette conjecture soit vérifiée, montrer que Vn = 75 000 × 0,8n. 5. a. En déduire Un en fonction de n.
b. Combien d’abonnés peut–on estimer en 2010 ? 11. Exercice 19
Le tableau suivant indique l'évolution de la population d'un pays au cours d'un siècle.
Année 1900 1920 1940 1960 1980 2000
Population Pn en
millions d’habitants 5,7 9,6 17 31 50 76
1. Calculer le coefficient multiplicateur qui permet d'obtenir la population en 1920 à partir de celle de 1900.
En déduire l'augmentation en pourcentage de cette population.
Cette variation en pourcentage est appelée augmentation relative de la population au cours de cette période de 20 années.
2. Calculer de même les augmentations relatives au cours de chacune des périodes de 20 ans qui suivent.
3. Calculer la moyenne arithmétique m de ces augmentations relatives trouvées à la question précédente.
En déduire le coefficient multiplicateur moyen qui ferait passer cette population de 5,7 millions à environ 76 millions en l'appliquant à chaque période de 20 ans jusqu'en 2000. On arrondira ce coefficient en donnant 2 chiffres après la virgule.
4. Vérifier que 1,02620est voisin du résultat trouvé à la question précédente.
5. On décide de modéliser cette évolution de la population de ce pays à l'aide d'une suite géométrique. Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 5,7 et de raison q = 1,026.
a. Calculer u20 , u40, u60 , u100
b. Représenter sur le même graphique la suite un et l'évolution de la population au cours du siècle présentée dans le tableau. On placera les populations sur l'axe des ordonnées.
6. Si on pense qu'au cours des prochaines années, l'évolution de la population va se poursuivre au même rythme et que la suite (un) est un modèle satisfaisant pour la représenter, quelle population peut on prévoir en 2005 dans ce pays ?
12. Exercice 20
En vue d’une exploitation médicale, des chercheurs étudient la croissance de 2 plantes, le Linéa et l’Exposa.
Voici résumés ci-dessous les premiers relevés effectués, en centimètres.
A B C D
1 Linéa Exposa
2 Hauteur initiale 20 20
3 Semaine 1 25 23
4 Semaine 2 30 26,5
5 Semaine 3 35 30,4
6 Semaine 4 40 35
7 Semaine 5 8
Les chercheurs se proposent de prévoir les hauteurs des 2 plantes pour les semaines suivantes, à partir des relevé des premières semaines. Ils décident d’appeler un la hauteur de Linéa au bout de n semaines et vn
celle d’Exposa au bout de n semaines (u0 = v0 = 20 est la hauteur initiale des 2 plantes).
Partie A : étude de Linéa a. Donner u0, u1, u2 et u3.
b. Donner alors la nature de la suite (un). Justifier votre réponse.
c. Calculer la hauteur de Linéa au bout de 5 semaines puis 20 semaines.
d. Quelle formule les chercheurs doivent-ils entrer dans la cellule B7 afin de prévoir la taille de Linéa dans les semaines à venir ?
Partie B : étude d’Exposa a. Donner v0, v1, v2 et v3.
b. Pour déterminer la nature de la suite (vn), les chercheurs écrivent dans la cellule D3 du tableur la formule
= C3/C2 et la recopient vers le bas.
A l’aide de la calculatrice, remplir la colonne D alors obtenue (on arrondira les valeurs à 2 chiffres après la virgule).
c. Que suggèrent ces résultats quant à la nature de la suite (vn) ? Justifier la réponse.
d. On admet que (vn)n est une suite géométrique de raison 1,15. Calculer la hauteur de Linéa au bout de 5 semaines puis 20 semaines (arrondir à l’unité la plus proche).
e. Quelle formule les chercheurs doivent-ils entrer dans la cellule C7 afin de prévoir la taille d’Exposa dans les semaines à venir ?
Partie C : comparaison des 2 plantes
Pour les 12 premières semaines, on obtient les résultats suivants : Semaine (n) Linéa
(un)
Exposa (vn) Semaine 0
Hauteur initiale
20 20
Semaine 1 25 23
Semaine 2 30 26,5 Semaine 3 35 30,4
Semaine 4 40 35
Semaine 5 45 40
Semaine 6 50 46,3 Semaine 7 55 53,2 Semaine 8 60 61,2 Semaine 9 65 70,4 Semaine 10 70 80,9 Semaine 11 75 93 Semaine 12 80 107
a. Comparer les croissances des 2 plantes.
b. La plante doit atteindre une taille minimum de 1 mètre avant d’être exploitée par l’industrie pharmaceu- tique. Quelle plante paraît la plus intéressante pour être utilisée dans le laboratoire pharmaceutique ? Pourquoi ?
c. Quel délai faut-il prévoir avant de commencer la fabrication du médicament ? 13. Exercice 21
(Les parties A et B sont indépendantes)
En 1990, la famille Pélimpo paye 1 500 € d’impôts sur le revenu.
A. Période de crise
L’impôt sur le revenu augmente de 2,5% par an. Soit u0 = 1 500 l’impôt sur le revenu de l’année 1990 et un
celui de l’année 1990 + n.
1. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à l’augmentation de l’impôt ? 2. Calculer u1. Que représente ce nombre ?
3. Quelle est la nature de la suite (un) ? 4. Exprimer un en fonction de n et de u0. 5. Calculer u9.
6. On a commencé ci-contre à déterminer les valeurs de un avec un tableur.
Vous trouverez en colonne A l’année, en colonne B l’entier n correspondant à l’année et en colonne C la valeur de un
correspondante.
a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B3 du tableau avant de la recopier vers le bas ?
b. Après avoir mis u0 dans C2, quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 du tableau, avant de la recopier
vers le bas, pour obtenir les termes un ?
c. Compléter la colonne C du tableau. (La ligne 7 n’est pas à remplir).
A B C
1 année valeur de n un
correspondant
2 1990 0
3 1991 1
4 1992 2
5 1993 3
6 1994 4 1656
7 … … …
En réalité, pour l’année 1999, les revenus de la famille Pélimpo ont progressé et l’impôt sur le revenu vaut finalement 2 030 €.
B. Période de prospérité
Les fruits de la croissance sont redistribués sous forme de réduction d’impôt de 100 € par ménage et par an à partir de 2000. Soit v0 = 2 030 l’impôt sur le revenu de l’année 1999 et vn celui de l’année 1999 + n.
1. Déterminer l’impôt sur le revenu de l’année 2000.
2. Quelle est la nature de la suite (vn)n ? 3. Exprimer vn en fonction de n et de v0.
4. Déterminer en quelle année l’impôt sur le revenu de la famille Pélimpo passera en dessous de sa valeur de 1990.
5. On a fait un second tableau pour cette période de prospérité. Comme pour le précédent, on trouvera en colonne A l’année, en colonne B l’entier n correspondant à l’année et en colonne C la valeur de vn
correspondante.
a. Après avoir mis v0 dans C2, quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 du tableau, avant de la recopier vers le bas, pour obtenir les termes vn ?
b. Compléter la colonne C du tableau (la ligne 7 n’est pas à remplir).
A B C
1 année valeur de n vn
correspondant
2 1999 0
3 2000 1
4 2001 2
5 2002 3
6 2003 4 1630
7 … … …
14. Exercice 22
Dans un gratte-ciel de 100 étages, il y a dans l’escalier de secours 18 marches par étage.
Julien est au sommet et Denis au bas de l’escalier. Ils décident par téléphone de se rejoindre en partant au même instant. Denis monte 2 marches par seconde et Julien en descend 4 dans le même temps.
On note u0, u1, u2 ..., un le nombre de marches qui séparent Julien du bas de l’escalier, au départ puis au bout d’une seconde, de 2 secondes…, de n secondes.
On note v0, v1, v2 ..., vn le nombre de marches qui séparent Denis du bas de l’escalier, au départ puis au bout d’une seconde, de 2 secondes…, de n secondes.
Ainsi, u0 = 1800 et v0 = 0.
1. Calculer u1, u2, v1 et v2.
2. Quelle est la nature des suites (un) et (vn) ?
3. Exprimer un et vn en fonction de n.
4. Calculer à quel instant Julien et Denis vont se rencontrer.
5. En déduire le nombre de marches parcourues par chacun et l’étage où ils se retrouvent.
15. Pondichéry avril 2003 Les parties A et B sont indépendantes.
En décembre 2002, Jean possède sur son compte bancaire la somme de 5 000 euros.
Partie A
À partir de janvier 2003, chaque début de mois, Jean reçoit sur ce compte 1 800 euros. On note u0 la somme, en euros, en décembre 2002 ; ainsi u0 = 5000. On appelle un la somme disponible en euros sur ce compte n mois après décembre 2002.
A B
1 rang dumois n un
2 0 5000
3 1
4 2
5 3
1. Calculer u1, la somme disponible en janvier 2003 et u2, la somme disponible en février 2003.
2. Préciser la nature de la suite (un), ainsi que sa raison.
3. On veut calculer les montants successifs de ce compte à l’aide d’un tableur.
Quelle formule écrire en B3 pour obtenir, en la « recopiant vers le bas », les termes de la suite (un) dans la colonne B ?
4. Exprimer (un) en fonction de n.
5. Calculer la somme disponible en décembre 2004. 6 4 Partie B
On suppose maintenant que chaque mois, Jean dépense 60% de la somme disponible sur son compte. A chaque début de mois, il lui reste donc 40% de la somme disponible en début du mois, précédent, auxquels on ajoute la somme habituelle de 1 800 euros.
On note v0 la somme, en euros, en décembre 2002 ; ainsi v0 = 5000. On appelle vn la somme disponible, en euros, sur ce compte n mois après décembre 2002. D’après ce qui précède, dans la suite de l’exercice, on admettra que, pour tout n : vn+1 = 0,4vn +1800.
1. Calculer v1, v2 et v3.
2. La suite (vn) est-elle géométrique ? Justifier votre réponse.
3. Pour calculer la somme disponible en décembre 2004, on cherche à déterminer vn en fonction de n. Pour cela, on introduit une nouvelle suite (wn), définie pour tout n, par wn = vn − 3000.
A B C D
1 rang du mois n un vn wn
2 0 5000 5000 2000
3 800
4 320
5 128
6 51,20
a. Quelles formules écrire en C3 et en D2 pour obtenir, en les « recopiant vers le bas », les termes des suites (vn) et (wn) ?
b. On admet que (wn) est une suite géométrique de raison 0,4. Exprimer wn en fonction de n.
c. En déduire que vn = 800 n + 3000.
d. Calculer la somme, arrondie à 10−2 près, disponible en décembre 2004.
16. Amérique du Nord, juin 2003
n po pe n po pe
0 8 170 65 536 30
10 16 10 200 131 072 30 20 32 10 240 262 144 40 30 64 10 290 524 288 50 40 128 10 350 1 048 576 60 50 256 10 420 2 097 152 70 60 512 10 520 4 194 304 100 70 1 024 10 710 8 388 608 190 80 2 048 10 1 000 16 777 216 290 90 4 096 10 1 400 33 554 432 400 100 8 192 10 1 950 67 108 864 550 120 16 384 20 2 700 134 217 728 750 140 32 768 20 3 700 268 435 456 1 000 La croissance de la population terrestre
« Avant d’inventer le concept de taux de croissance, il a fallu se familiariser avec la série géométrique. . . » La premier calcul de croissance démographique connu est dû à W. Petty et date de 1680. Petty calcule ici la croissance de la population depuis la sortie de l’arche de Noé. Il raisonne non pas à l’aide de taux de croissance, mais à partir de périodes de doublement de la population. Voici un tableau et une représentation graphique établis d’après ses résultats. (n désigne le nombre d’années écoulées depuis la sortie de l’arche de Noé, po la population en nombre de personnes et pe la période de doublement de la population en années).
Le début de l’ère chrétienne correspond à 2 700 années écoulées.
4 900 536 870 912 1 200
1. Pour chacune des périodes suivantes, préciser si la croissance est exponentielle ou non et justifier. Dans le cas d’une croissance exponentielle, décrire cette croissance en utilisant un taux de croissance.
a. De 0 à 100 années après la sortie de l’arche.
b. De 420 à 3 700 années après la sortie de l’arche.
c. De 0 à 140 années après la sortie de l’arche.
n po
3 700 268 436 456 4 000 335 544 320 4 300 402 653 184 4 600
2. L’auteur propose des valeurs intermédiaires sur la période 3 700 – 4 900. Pour obtenir ces valeurs intermédiaires, il fait une interpolation linéaire.
a. Vérifier que les valeurs proposées pour la population en 3 700, 4 000 et 4 300 correspondent bien à une croissance linéaire. Préciser les calculs nécessaires.
b. Avec la même hypothèse de croissance linéaire sur cette période, calculer la valeur manquante (population en 4 600). Détailler le calcul.
4 900 536 870 912 3. Quel est le taux d’évolution de la population sur la période 3 700 − 4 900. Justifier.
n po
3 700 268 436 456 4 000 319 225 354 4 300
4 600 451 452 825 4. Si Petty avait raisonné en termes de croissance exponentielle sur la période
3 700 − 4 900, il aurait pu calculer le taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 300 à partir du taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 900, en calculant un « taux moyen d’évolution ».
a. Calculer le taux d’évolution sur la demi-période (entre 3 700 et 4 300 ou entre 4 600 et 4 900). Justifier. Donner le résultat sous deux formes: la valeur exacte puis un arrondi, sous forme de pourcentage, avec deux chiffres après la virgule.
b. En déduire la population en 4 300. Détailler le calcul. Arrondir ce résultat
comme les autres valeurs du tableau. 4 900 536 870 912
5. Associer, à chaque type de croissance, la courbe correspondante du graphique ci-dessous.
17. Amérique du Sud nov. 2003 Les deux parties sont indépendantes.
Pierre achète sa première voiture et se préoccupe de l’assurer. Il a entendu dire que s’il n’est responsable d’aucun sinistre, sa prime d’assurance diminuera chaque année.
Il sait aussi que le pourcentage maximal de réduction est limité à 50% (on dit que le bonus maximal est de 50%). En conséquence, la prime réduite ne peut être inférieure à la moitié de la prime « plein tarif ».
Partie A
Dans un premier temps, Pierre « imagine » qu’à partir d’une prime initiale de 450 €, sa prime pourrait diminuer de 20 € chaque année. Il se sait conducteur prudent et suppose donc qu’il ne sera responsable d’aucun sinistre.
1. On note un le montant, en euros, de sa prime d’assurance après n années sans sinistre.
Ainsi u0 = 450, u1 = 430. Calculer u2 et u3.
2. Combien d’années, Pierre doit-il attendre, pour atteindre le bonus maximal, c’est-à-dire pour que sa prime d’assurance soit égale à la moitié de sa prime initiale ?
Partie B
Pierre trouve qu’il doit attendre bien longtemps, et pense qu’il se trompe dans sonmode de calcul. Il s’adresse alors à un assureur qui lui explique, qu’en réalité, s’il n’est responsable d’aucun sinistre, sa prime d’assurance diminuera de 5% chaque année (on dira que le bonus annuel est de 5%).
Dans les questions 1. et 2. qui suivent, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au centime d’euro. On note vn le montant, en euros, de sa prime d’assurance après nannées sans sinistre. Ainsi v0 = 450.
1. Calculer v1, v2, v3.
2. La copie d’écran ci-après est celle d’un tableur :
0 A B C D E F
1
2 n 0 1 2 3
3 vn 450
4 vn−vn−1
a. Dans les cellules D3 et D4, quelles formules doit-on saisir pour les recopier vers la droite, afin de remplir ce tableau ?
b. Remplir le tableau à l’aide de votre calculatrice.
c. Interpréter le contenu de la cellule F4.
3. Combien d’années Pierre doit-il attendre pour atteindre le bonus maximal ? Préciser la méthode de calcul choisie.
18. Nouvelle Calédonie, nov. 2003
Dans un grand magasin, Damien est chargé d’une étude sur les ventes et les prix d’une eau minérale nommée BONO.
Partie 1
Damien a comptabilisé le nombre de bouteilles de BONO vendues lors des 5 premiers mois de l’année 2003.
En utilisant un tableur il a ensuite cherché la part que représentent les ventes de BONO sur l’ensemble des eau minérales vendues.
Sur le tableau 1 de l’annexe, à rendre avec la copie, certains résultats ont été effacés.
1. Retrouver les valeurs numériques des cellules C4 et D3 et les faite figurer dans le tableau 1.
2. On donne les informations suivantes :
- En avril, un cinquième des bouteilles d’eau vendues était des bouteilles de BONO,
- En mai les ventes d’eaux minérales ont augmenté de 8,6 % par rapport au mois précédent.
Compléter alors par les valeurs numériques manquantes les colonnes E et F du tableau 1.
3. Quelle formule peut-on écrire dans la cellule G2 pour obtenir le résultat affiché ? Comment peut-on obtenir le résultat de la cellule G3 ?
4. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 avant recopie automatique vers la droite pour obtenir les valeurs numériques des cellules de la ligne 4 ?
Partie 2
Damien doit s’intéresser maintenant aux prix de vente des bouteilles de BONO. Les bouteilles sont conditionnées par lots de 6 et peuvent aussi se vendre à l’unité.
Au mois de mars, il a noté que la bouteille coûtait 0,35 euro et que le lot de 6 bouteilles était en promotion et coûtait 1,75 euro.
En mars, plusieurs clients ont acheté des lots de 6 bouteilles et une bouteille séparée.
On désigne par n le nombre de lots achetés et par Pn le prix correspondant aux 6n+1 bouteilles achetées.
1. a. Justifier que Pn = 1,75n +0,35.
b. Quelle est la nature de la suite (Pn) ? c. Compléter le tableau 2 de l’annexe.
d. Que peut-on constater pour l’évolution du prix unitaire moyen ?
2. L’un de ces clients a acheté de l’eau minérale BONO pour un montant de 16,10 euros. Combien a-t-il acheté de bouteilles ?
Annexe à l’exercice 1 : à compléter et à rendre avec la copie Tableau 1
A B C D E F G
1 janvier février mars avril mai de janvier à mai
2 Nombre de bouteilles BONO
vendues 6772 6840 7045 7256 7619 35532
3 Nombre total de bouteilles
d’eau minérale vendues 33864 31091
4 Pourcentage de bouteilles de
BONO vendues (à 0,1 % près) 20,0 21,3 Tableau 2
Nombre de lots n 1 2 3 4 5
Nombre de bouteilles 6n +1 Prix correspondant : Pn
Prix unitaire moyen (à 0,001 près) 19. Polynésie sept. 2003
La technique de « datation par le Carbone 14 » permet, en mesurant la radioactivité naturelle de certains échantillons, d’en donner l’âge. Par exemple, les peintures des grottes de Lascaux en France ont pu être datées à 13 500 ans avant Jésus Christ.
Cette technique repose sur deux principes :
• Tout organisme présente, de son vivant, la même radioactivité que le gaz carbonique atmosphérique.Nous l’appellerons radioactivité normale.On suppose cette radioactivité constante.
• À sa mort, sa radioactivité est divisée par 2 tous les 6 000 ans environ. Cette durée de 6000 ans est appelée une demi-vie.
Partie A
La radioactivité d’un échantillon sera exprimée en pourcentage de la radioactivité normale. On définit ainsi le taux de radioactivité de cet échantillon. Par exemple un morceau de bois fraîchement coupé a un taux de radioactivité de 100%. Ce même morceau de bois, 6 000 ans après, aura un taux de radioactivité de 50%.
Nous utilisons une feuille de calcul d’un tableur pour obtenir d’autres taux :
A B C D E F G H I J 1 Âge de l’échantillon
(en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 Âge de l’échantillon
(en années) 0 6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000 48000
3 Taux de radioactivité
(en %) 100
1. Compléter le tableau sur la feuille annexe. Les résultats seront arrondis au dixième.
2. En déduire une formule de calcul qui pourrait être saisie dans la cellule C3. Cette formule devra pouvoir être recopiée vers la droite jusqu’à la cellule J3.
3. Sur une feuille de papier millimétré, représenter la suite des taux de radioactivité en fonction de l’âge de l’échantillon en années. On prendra comme unités : 1 cm pour 2 000 ans en abscisse et 1 cm pour 10% en ordonnée.
4. À l’aide de la courbe constituée des segments de droite joignant les points successifs, déterminer graphiquement, à 1 000 ans près, l’âge d’un site archéologique, sachant que le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de ce site est de 20%.
Partie B
Dans cette partie, nous nous intéressons plus particulièrement à la datation d’échantillons qui ont au plus 200 ans et qui peuvent être datés par la technique de datation du carbone 14. Pendant 200 ans, la radioactivité va décroître de 2,3%.
Pour simplifier les calculs, nous considérons que nous sommes en l’an 2000.
1. Calculer le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de l’an 1800.
2. Quel taux de radioactivité devrait contenir un échantillon représentatif d’un tableau impressionniste réalisé en 1870 ?
Pour ce calcul, on utilisera une interpolation linéaire entre les années 1800 et 2000 ; on pourra s’aider du tableau suivant.
Années 1800 1870 2000
Taux de radioactivité
3. On situe la « période impressionniste » du peintre Jean Renoir entre 1870 et 1880 ; il meurt en 1919. Lors d’une expertise, un tableau impressionniste attribué à Jean Renoir a été analysé avec un taux de radioactivité de 99,3% en l’an 2000, grâce au prélèvement d’un échantillon de peinture qui a pu être daté par la technique de datation du carbone 14.
Retrouver l’année de création du tableau et commenter le résultat.
Annexe à rendre avec la copie Exercice 2
A B C D E F G H I J
1 Âge de l’échantillon
(en demi-vies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2
Âge de l’échantillon
(en années) 0 6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000 48000
3 Taux de radioactivité
(en %) 100
20. Antilles, juin 2004, 12 points (c)
Trois amis Bertrand, Claire et Dominique débutent dans trois entreprises différentes. Au premier janvier de l’année 2000, Bertrand et Claire débutaient avec un salaire mensuel de 1 500 €, tandis que Dominique commençait avec un salaire mensuel de 1 400 €.
Ils se proposent de comparer l’évolution de leurs salaires mensuels. On a donné en annexe 2, à rendre avec la copie, un tableau obtenu à l’aide d’un tableur. Une fois que tous les calculs auront été effectués, les résultats seront arrondis à 10−2.
Partie A - Évolution du salaire mensuel de Bertrand
À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de Bertrand augmente de 2,5%. On note bn le salaire mensuel de Bertrand au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc b0 = 1 500.
1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les différentes années ?
2. Calculer le salaire mensuel de Bertrand en 2001 puis en 2002.
3. Quel est le coefficient multiplicatif correspondant à cette augmentation de 2,5 % par an ?
4. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Bertrand jusqu’en 2008 ?
5. Montrer que, pour tout entier naturel n, bn = 1500×(1,025)n. 6. a. Compléter la colonne C du tableau de l’annexe 2, jusqu’en 2008.
b. En supposant que le salaire mensuel de Bertrand évolue de la même façon après 2008, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel dépassera 2 000 €. Justifier.
Partie B - Évolution du salaire mensuel de Claire
À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année le salaire mensuel de Claire augmente de 40 €. On note cn le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc c0 = 1500.
1. Calculer le salaire mensuel de Claire en 2001 puis en 2002.
2. Exprimer cn+1 en fonction de cn. Que peut-on en déduire pour la suite (cn) ? Justifier.
3. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Claire jusqu’en 2008 ?
4. En complétant la colonne D du tableau de l’annexe 2 déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.
Partie C - Évolution du salaire mensuel de Dominique
On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc d0 = 1400.
On note un = dn +1000. On admet que la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,02.
1. a. Montrer que un = 2400×(1,02)n. b. Exprimer dn en fonction de n.
c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule E3 du tableau de l’annexe 2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, le salaire de Dominique jusqu’en 2008 ?
d. Complèter la colonne E du tableau de l’annexe 2 jusqu’en 2008.
2. On suppose que jusqu’en 2015, chacun des salaires des trois amis continuera d’évoluer comme avant 2008. À partir de quelle année le salaire de Dominique sera-t-il le plus élevé des trois ?
Annexe 2 à rendre avec la copie
A B C D E
1 Année n Salaire de Bertrand bn
Salaire de Claire cn
Salaire de Dominique dn
2 2000 0 1500 1500 1400
3 2001 1
4 2002 2
5 2003 3
6 2004 4
7 2005 5
8 2006 6
9 2007 7
10 2008 8 1827,60 1811,98
11 12 13 14
Correction
Partie A - Évolution du salaire mensuel de Bertrand b0 = 1 500.
1. Il faut ajouter 1 à A2, soit « =A2+1 ». A la copie A2 sera modifié en A3, A4, etc.
2. 1500 1,025 1537, 5× = en 2001, 1537,5 1,025 1575,94× = . 3. 2, 5
1 1, 025
+100= .
4. Il faut multiplier le contenu de C2 par 2, 5
1 1, 025
+100= , on met donc « =C2*1,025 ». A la copie C2 sera modifié en C3, C4, etc.
5. La suite bn est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme 1500, on a donc (cours) bn = 1500×(1,025) n.
6. a. Voir ci-dessous.
b. Lorsqu’on continue le calcul on dépasse 2000 quand n = 12, soit en 2012.
Partie B - Évolution du salaire mensuel de Claire
À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année le salaire mensuel de Claire augmente de 40 €. On note cn le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc c0 = 1500.
1. En 2001 elle touche 1500+40 = 1540, en 2002 ce sera 2040 + 40 = 2080.
2. cn+1 = cn + 40. La suite (cn) est une suite arithmétique puisqu’on rajoute une constante (40) à chaque étape.
3. « =D2+40 ».
4. En 2007 le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.
Partie C - Évolution du salaire mensuel de Dominique
On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc d0 = 1400.
On note un = dn +1000. On admet que la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,02.
1. a. C’est du cours : un =u0×qn ; comme un = dn +1000, u0 = d0 +1000=2400, soit un = 2400×(1,02)n. b. Si un = dn +1000, on a dn = un − 1000 donc dn =2400×
(
1,02)
n−1000.c. « = 2400*(1,02^B3)−1000 ».
d. Voir ci-dessous.
2. Le salaire de Dominique sera le plus élevé des trois à partir de 2010.
A B C D E
1 Année n Salaire de Bertrand bn
Salaire de Claire cn
Salaire de Dominique dn
2 2000 0 1500 1500 1400
3 2001 1 1537,50 1540 1448,00
4 2002 2 1575,94 1580 1496,96
5 2003 3 1615,34 1620 1546,90
6 2004 4 1655,72 1660 1597,84
7 2005 5 1697,11 1700 1649,79
8 2006 6 1739,54 1740 1702,79
9 2007 7 1783,03 1780 1756,85
10 2008 8 1827,60 1820 1811,98
11 2009 9 1873,29 1860 1868,22
12 2010 10 1920,13 1900 1925,59
13 2011 11 1968,13 1940 1984,10
14 2012 12 2017,33 1980 2043,78
21. Centres étrangers juin 2004, 10 points
Un industriel a acheté chez un fabricant, en 1999, une machine M neuve pour un prix de 45000 €.
1. On appelle valeur de reprise le prix de rachat par le fabricant de la machine M usagée pour l’achat d’une nouvelle machine M neuve. Cette valeur de reprise diminue chaque année de 20% de la valeur qu’elle avait l’année précédente.
On note Rn cette valeur de reprise, exprimée en euro, n années après l’achat de la machine neuve. On admet que, lorsque la machine vient d’être achetée, sa valeur de reprise est égale au prix d’achat.
Ainsi, R0 = 45 000.
a. Vérifier que R1 = 36 000.
b. Donner l’expression de Rn+1 en fonction de Rn.
c. En déduire la nature de la suite (Rn), puis exprimer Rn en fonction de n.
2. Chez le fabricant, le prix de vente de la machine M neuve, exprimé en euro, augmente de 1 000 € chaque année. On note Pn ce prix l’année 1999+n. P0 étant égal à 45 000, exprimer Pn+1 en fonction de Pn, puis Pn
en fonction de n.
3. Cinq ans se sont écoulés.On suppose que l’industriel projette d’acheter à nouveau une machine M neuve, identique à celle achetée en 1999, tout en revendant cette dernière au fabricant. Ces transactions s’effectuant dans les conditions des questions 1. et 2., quelle somme, en euro, l’industriel doit-il débourser ? 4. On constate qu’après 10 années écoulées, l’industriel serait obligé de débourser environ 50 168 € pour acheter une machine M neuve, dans les conditions des questions 1. et 2.
a. Donner le détail des calculs aboutissant à ce résultat.
b. Quel serait alors le pourcentage d’augmentation entre la dépense en 1999 et la dépense en 2009 ?
5. On décide d’utiliser un tableur pour savoir au bout de combien d’années la somme à débourser par l’industriel pour une nouvelle machine M dépassera sa dépense de 1999, à savoir 45 000 €. Pour cela, on crée une feuille de calcul en adoptant la présentation suivante :
A B C D E
1 Années
Nombre d’années
écoulées Prix de vente Valeur de reprise Somme à débourser
2 1999 0 45000 45000
3 2000 1 36000
4 2001 2
5 2002 3
6 2003 4
7 2004 5
8 2005 6
9 2006 7
10 2007 8
11 2008 9
12 2009 10 50168
a. Quelle est la formule à saisir en C3 avant de la recopier vers le bas ? b. Quelle est la formule â saisir en D3 avant de la recopier vers le bas ? c. Quelle est la formule à saisir en E3 avant de la recopier vers le bas ?
d. Vérifier que c’est seulement au bout de 8 années écoulées que l’industriel devra débourser plus de 45000 €.
22. France, juin 2004, 11 points (c) PROGRAMME D’ENTRAINEMENT
Aline, Blandine et Caroline décident de reprendre l’entraînement à vélo chaque samedi pendant 15 semaines. À l’aide d’un tableur, chacune a établi son programme d’entraînement. Elles parcourent 20 km la première semaine et souhaitent effectuer ensemble une sortie la quinzième semaine.
L’annexe reproduit l’état final de la feuille de calcul utilisée. La valeur de certaines cellules a été masquée.
Partie A: Programme d’entraînement d’Aline
La distance parcourue parAline chaque semaine est représentée sur le graphique de l’annexe et certaines distances figurent dans la colonne B du tableau.
On note U(n) la distance parcourue la n-ième semaine. Ainsi U(1) = 20 et U(15) = 118.
1. En utilisant des valeurs de la colonne B et le graphique :
a. Conjecturer la nature de la suite des nombres U(n) (justifier la réponse donnée).
b. Exprimer alors U(n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.
2. Calculer la distance parcourue par Aline à la dixième semaine.
3. Quelle formule, recopiable vers la droite, a-t-elle saisie dans la cellule B23 pour calculer la distance moyenne parcourue par chacune au cours des entraînements ?
Partie B: Programme d’entraînement de Blandine
Blandine parcourt 20 km la première semaine. Elle veut augmenter chaque semaine d’un même pourcentage la distance parcourue de telle sorte que la distance parcourue à la quinzième semaine soit, à l’unité près, 118 km. Pour cela elle a testé différents pourcentages écrits dans la cellule C3.
1. Quelle formule a-t-elle saisie dans la cellule C7 puis recopiée vers le bas de C8 à C20, sachant que les résultats se sont actualisés automatiquement lorsqu’elle a modifié le pourcentage d’augmentation hebdomadaire ?
2. Les essais lui ont permis de trouver qu’une augmentation hebdomadaire de 13,5 % convient.
On note V (n) la distance parcourue par Blandine la n-ième semaine.
a. Quelle est la nature de la suite des nombres V (n) ? (Justifier la réponse donnée.) b. Exprimer V (n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.
c. Quelle distance Blandine parcourt-elle à la dixième semaine ?
3. Calculer le pourcentage d’augmentation de la distance parcourue entre la première et la quinzième semaine.
Partie C: Programme d’entraînement de Caroline
Caroline parcourt 20 km la première semaine, Pour calculer les distances parcourues les semaines suivantes, elle a saisi dans la cellule D7 la formule :
= D6*(1+$D$3)+$D$2 et l’a recopiée vers le bas de D8 à D20.
1. La valeur figurant dans la cellule D7 a été masquée. Quelle est cette valeur ? 2. Quelle est la formule contenue par la cellule D8 ?
3. On noteW(n) la distance parcourue par Caroline la n-ième semaine. La suite des nombres W(n) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique? Justifier les réponses.
4. Calculer la distance moyenne parcourue par Caroline au cours de ses entraînements.
Annexe
A B C D
1
Programme d'entraînement d'Aline
Programme d'entraînement de Blandine
Programme d'entraînement de Caroline
2 Pourcentage d'augmentation 4
3 13,50% 5,00%
4 Distance U(n) parcourue par
Aline la semaine n (en km)
Distance V(n) parcourue par Blandine la semaine n (en km)
Distance W(n) parcourue par Caroline la semaine n (en km) 5
6 semaine 1 20 20,000 20,000
7 semaine 2 27 22,700 25
8 semaine 3 34 25,7645 30,250
9 semaine 4 41 29,2427075 35,7625
10 semaine 5 48 33,190 41,551
11 semaine 6 55 37,671 47,628
12 semaine 7 62 42,757 54,010
13 semaine 8 69 48,529 60,710
14 semaine 9 76 55,080 67,746
15 semaine 10 83 62,51622556 75,1328216
16 semaine 11 90 70,95591601 82,889
17 semaine 12 97 80,535 91,03393581
18 semaine 13 104 91,4071849 99,586
19 semaine 14 111 103,747 108,565
20 semaine 15 118 117,753 117,993
21
22 Distance totale
parcourue 1035 841,849 957,856
23 Distance moyenne 69 56,123 63,85709059
0 20 40 60 80 100 120 140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
semaine distance en km
Correction
Partie A: Programme d’entraînement d’Aline
1. a. Il semble que l’on ajoute 7 chaque semaine, ce qui est la signature d’une suite arithmétique de premier terme U(1) = 20 et de raison r = 7. Par ailleurs le graphique montre des points alignés ce qui correspond à une croissance linéaire.
b. On a donc U n
( )
=U( ) (
1 + n−1)
r=20 7+ r. 2. Pour n=10 on a U( )
10 =20 7 10 90+ × = .3. On fait le total des cellules B6 à B20 : « =SOMME(B6 :B20) » puis on divise par le nombre de valeurs, ici 15. On peut donc écrire dans B23 : « =SOMME(B6 :B20)/15 ».
Si on recopie cette formule en C23, on aura : « =SOMME(C6 :C20)/15 » ce qui donnera la distance moyenne parcourue par Blandine.
Partie B: Programme d’entraînement de Blandine
1. On prend le contenu de C3 (directement car exprimé en %, il s’agit en fait du nombre 0,1350) et on met « =C6*(1+$C$3) ». Lorsqu’on recopie vers le bas, par exemple en C8 on a : « =C7*(1+$C$3) » ce qui est le calcul cherché.
2. a. Comme on multiplie chaque semaine par le même nombre : q = 1+0,1350 = 1,1350, nous sommes en présence d’une suite géométrique de premier terme V
( )
1 =20 et de raison q=1,135b. V n
( )
=V( )
1 ×qn−1 =20 1,135( )
n−1. c. V( )
10 =V( )
1 ×q9 =20 1,135( )
9 =62, 516. 3. 62, 516 202,126 212, 6 % 20
− ≈ = .
Partie C: Programme d’entraînement de Caroline
1. On a D6 = 20, D3 = 5 % = 0,05 et D2 = 4, soit D7=20×
(
1 0, 05+)
+ =4 25. 2. Comme on a recopié vers le bas, la seule référence à D6 a changé et est devenue D7 :« = D7*(1+$D$3)+$D$2 »
3. La suite n’est ni l’une ni l’autre : si elle était arithmétique on aurait D7−D6 = D8−D7, or D6 − D7 = 5 et D8 − D7 = 5,250 ; pour géométrique ce sont les quotients D7 25
1, 25
D6 =20 = et D8 30, 25 1, 21 D7 = 25 = qui sont différents.
4. La distance moyenne est de 63,857 km.
Annexe
A B C D
1
Programme d'entraînement d'Aline
Programme d'entraînement de Blandine
Programme d'entraînement de Caroline
2 Pourcentage d'augmentation 4
3 13,50% 5,00%
4 Distance U(n) parcourue par
Aline la semaine n (en km)
Distance V(n) parcourue par Blandine la semaine n (en km)
Distance W(n) parcourue par Caroline la semaine n (en km) 5
6 semaine 1 20 20,000 20,000
7 semaine 2 27 22,700 25,000
8 semaine 3 34 25,765 30,250
9 semaine 4 41 29,243 35,763
10 semaine 5 48 33,190 41,551
11 semaine 6 55 37,671 47,628
12 semaine 7 62 42,757 54,010
13 semaine 8 69 48,529 60,710
14 semaine 9 76 55,080 67,746
15 semaine 10 83 62,516 75,133
16 semaine 11 90 70,956 82,889
17 semaine 12 97 80,535 91,034
18 semaine 13 104 91,407 99,586
19 semaine 14 111 103,747 108,565
20 semaine 15 118 117,753 117,993
21
22 Distance totale
parcourue 1035 841,849 957,856
23 Distance moyenne 69 56,123 63,857
23. Liban, juin 2004, 12 points
Partie A : Évolution d’une population de bactéries
Dans un laboratoire de microbiologie, on étudie la croissance d’une population de bactéries de la façon suivante : au départ, on injecte dans un milieu nutritif une quantité p0 de bactéries et on la laisse se développer ; on mesure ensuite toutes les heures son développement en relevant la quantité pn de bactéries présentes dans le milieu au bout de la n-ième heure (n étant un entier naturel).
En reliant les points de coordonnées (n, pn) relevées dans les colonnes A et B du tableau de l’annexe de l’exercice 2, on obtient ainsi la courbe de croissance de cette population, notée C.
On note p la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; 10] et représentée par la courbe C.
1. Les microbiologistes définissent le temps de latence de la population comme le temps nécessaire pour que la population atteigne la valeur 200.
Déterminer graphiquement ce temps de latence à un quart d’heure près. (La lecture sera justifiée par des tracés en pointillés ; on fera apparaître tous les tracés et toutes les constructions utiles).
2. La population de bactéries prend alors son essor et se multiplie à grande vitesse. Dans la colonne C du tableau, on veut calculer le pourcentage d’augmentation de la population d’une heure à l’autre.
Parmi les trois formules suivantes :
=(B3/B2−1)*100, = B3/$B$2−1, = B3/B2−1,
donner celle que l’on doit insérer dans la cellule C3 (cellule à l’intersection de la colonne C et de la ligne 3) pour obtenir le premier pourcentage d’augmentation, sachant que cette formule sera recopiée vers le bas et que les cellules de la colonne C sont en format pourcentage.
Compléter alors la colonne C de la ligne 9 à la ligne 12 par les valeurs que donnerait un tableur en arrondissant les résultats affichés à deux chiffres après la virgule.
3. Lorsque la nourriture ne suffit plus à satisfaire l’ensemble de la population, la croissance ralentit. On considère qu’il y a surpopulation dès que le pourcentage d’augmentation de la population est inférieur à 1%.
Au bout de combien de temps peut-on parler de surpopulation ? Justifier la réponse.
Partie B : Comparaison avec unmodèle mathématique
On veut comparer l’évolution de la population des bactéries vue en partie A avec celle d’une population théorique dont l’effectif au bout de la n-ième heure est noté un (n étant un entier naturel). On suppose que, pour cette population, u0 = 73 et que l’effectif augmente de 67 % toutes les heures.
1. Calculer u1, u2, u3 (on arrondira le résultats à l’unité).
2. Donner la nature de la suite (un) puis compléter les cellules vides de la colonne D du tableau de l’annexe de l’exercice 2 (on arrondira les résultats à l’unité).
3. Sur la figure 2 de l’annexe de l’exercice 2, on a relié les points de coordonnées (n ; un) et on a tracé sur le même graphique la courbe C de la partie A. Utiliser le graphique et le tableau pour donner :
a. l’intervalle de temps où le modèle théorique considéré sous-évalue la réalité ; b. l’heure à partir de laquelle le modèle théorique (un) s’éloigne avec l’observation (pn).
4. a. Exprimer le terme un en fonction de n et de u0.
b. Quelle expression de pn en fonction de n (valable pour tout entier n inférieur ou égal à 6) peut-on proposer en utilisant le modèle considéré ?
Tableau de l’exercice 2
A B C D
1 n Population (pn) Pourcentage d’augmentation Suite (un)
2 0 73 73
3 1 82 12,33
4 2 149 81,71
5 3 341 128,86
6 4 612 79,47 568
7 5 982 60,46 948
8 6 1 587 60,61 1584
9 7 1 644
10 8 1 659 4416
11 9 1 668 7375
12 10 1 670 12317
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps en heures population
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps en heures population
24. Amérique du Sud, novembre 2004, 12 points
Eté 2003, une canicule exceptionnelle s’installe sur la France.
