• Aucun résultat trouvé

Série n°5 d’exercices corrigés sur les suites numériques Exercice n°1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Série n°5 d’exercices corrigés sur les suites numériques Exercice n°1"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896

Série n°5 d’exercices corrigés sur les suites numériques

Exercice n°1

Soit IRet la suite

 

un définie sur INpar : 2

1

n

un

 

.

1) Montrer que

 

un est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) Pour tout nIN, on pose : Sn  u1 u2 ...un. Calculer S en fonction de α et n. n

3) Soit la suite v définie sur INpar : vn S2n

n

Montrer que la suit

 

vn est convergente et déterminer sa limite.

Correction Exercice n°1

1) 2

 

2

 

1

1 1 1

n n

n n

u u  

 

    

  

2

  n 2n 1 1

 

 

donc

 

un est une suite arithmétique de raison 1

et de premier termeu1  .

2) Pour tout nIN ; on a :Sn   u1 u2 ...un (somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique)

   

2

1 2

2 1

2 2

n

n n n

Sn

 

 

   

     

  .

3) Pour tout nIN ; on a : 2

2

2

1 2 1 1

2 1

2 2 2

n n

v S n

n n n

 

  

       .

La suite

2 2 1 n 2

n

est convergente et elle converge vers 0

Donc la suite

 

vn est convergente et lim 1

n 2

n v



Exercice n°2

Soient les suites

 

un et

 

vn définies sur IN par :

 

1

 

1 1 1 1

1 2 2 3 .... 1 1

n n

k

u    n n k k

   

 

et 2 2 2 2

1

1 1 1 1

1 ....

2 3

n n

k

v     n

k

Montrer que les suites

 

un et

 

vn sont convergentes et déterminer la limite de la suite

 

un (On pourra remarquer que

1 1

1 11

k k  k k

   )

Correction Exercice n°2 Etude de la suite

 

un

Soit nIN

 

1

1 1

n n

k

u k k

  ; or k 

1k 1

 1k k11 ;donc

1

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

1 1

n n n n n

n

k k k k k

u k k k k k k

     

 

    

Car 1

1 2

1 1

1

n n

k k k k

 

 

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ( en effectuant un changement d’indice)

D’où 1 1

n 1 u  n

.

Si vous détester le symbole

alors vous pouvez le faire autrement:

 

1 1

1 1 1

1 1

n n

n

k k

u k k kk

  

 

1 1

 1 2 1 2

 

 

 

1

 3 1

.... n 1

 

   

 

1

n 1 n

 

 

 

1 1

1 1 1

n n

 

  

   

 

Etude de la suite

 

vn Pour tout entierk 2 , on a :

 

2

1 1

1 kk k

. Donc

 

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

1 .... 1

2 3 1

n n

n

k k

v     n k   k k

 

OR 1

1 1

1

n

n k

k k u

 

; donc vn 1 un1 ; d’où vn   1 1 1n et comme pour tout nIN 1

1 1 2

  n Alors

 

vn est majorée par 2 .

(ce qui est vrai pour n=1 aussi)

pour tout n1 ; on montre comme précédemment par changement d’indice que :

 

1 2

1

n n 1

v v

  n

et

 

2

1 0

1 n >

donc la suite

 

vn est croissante.

Conclusion: La suite

 

vn est croissante et majorée ( par 2) donc elle est convergente.

On a : pour tout n1 ; 1 1

n 1 u  n

et comme lim 1 0 1

nn

Alors la suite

 

un est convergente de limite 1 .

Exercice n°3

Soit

 

un la suite définie sur INpar :

1 2 n 1

n k

u

n k

. Montrer que pour tout entier nIN ;

2 2

n 1

n n

u

n n n

 

  .

En déduire que la suite

 

un est convergente et déterminer sa limite.

Correction Exercice n°3

On a :  k

1; 2;3;...;n

n2 1 n2 k n2n Donc

2 2 2

1 1 1

1

n n n k n

 

   En faisant la somme membre à membre de ces n encadrements on obtient :

2 2 2

1 1 1

1 1 1

1

n n n

k n n k n k k n

 

  

  

2 2

n 1

n n

u

n n n

  

 

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 On a pour tout nIN ;

2

n n

n n

  n

1

1 1

1 1

n n

 

et 2

1

n n

n

 

n 2 2

1

1 1

1 1

n n

 

Donc :

2 2

lim lim 1

n n

n n

n n n n



 

Alors la suite

 

un est convergente de limite 1 . Exercice n°4

Soit la suite

 

un définie sur INpar :

 

1

1

1 2

1

n 2 n

u

u n u n IN

n

 

 

   



1) a) Montrer que pour tout nIN ; on a : 1 1 4un b) Montrer que la suite

 

un est décroissante .

c) Déduire que la suite

 

un est convergente.

2) Pour tout entier nINn , on pose : vn=1un n a) Montrer que

 

vn est une suite géométrique

b) Exprimer v en fonction de n et déduire que pour tout n nIN ; on a : =

n 2n

u n

3) a) En remarquant que pour nIN ;

n 1

2 n2 1 2n 12

n

 

      ; montrer à l’aide d’un raisonnement

par récurrence que pour tout entier n4 on a : n2 2n. b) Déduire alors la limite de la suite

 

un .

Correction Exercice n°4

1) a) Montrons par récurrence que :

 n IN

; 0un1. Pour n1

1 1

u 2 donc 0 u1 1 Soit nIN

Supposons que 0un1 et montrons que : 0un11

On a : 0 1 0 1 1

2 2

n n

n n

u u

n n

 

    

0 1 1

n 2 u n

n

   

Or : 1 1 1 2 1 0

2 2 2

n n n n

n n n

        Donc : 1 1

2 n

n

  ; d’où : 0un1 1 Conclusion :

 n IN

; 0un1. b) Pour tout nIN ; on a :

(4)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896

1 1

n n 2 n n

u u n u u

n

   

1 2 2 1

2

n

n

n n

n u n u n

   

  

 

  

donc un1 un 0 (Car n1 et un0) Par suite la suite

 

un est décroissante.

c) La suite

 

un est décroissante minorée par 0 donc elle est convergente.

2) a) Pour tout nIN ; on a : 1= 1 1

n 1 n

v u

n

= 1 1 n

1 n

 2 1 1

=2

=1 2

n

n

n

n u nu v

Donc :

 n IN

; 1=1

n 2 n

vv

D’où

 

vn est une suite géométrique de raison 1

2 et vde premier terme 1=1 v 2. b) Par suite :

 n IN

; 1 1

1 1

= 2 2

n

n n

v v

   

   . 2) a) On note P n la propriété :

 

n2 2n ; pour n4. Pour n=4

On 42 16 et 24 16 donc P(4) est vraie . Hérédité :

Soit n> 4

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est aussi vraie.

On a : n2 2n et

n 1

2 n2 1 2n 12

n

 

      Et comme 4 2 1

n 2

  n et 4 12 1 n 2

 n ; alors

 

2 2 2

2 2

2 1 2 1

1 2 n 1 n 1 2n

n n n n

 

          D’où :

n1

2 2n2  2 2n 2n1 (CQFD)

Conclusion

On a montré par récurrence que : pour tout entier n4 on a : n2 2n. b) Pour tout entier naturel n supérieur à 4 on a :

n n 2n

u   n v n et d’après ce qui précède on a : 2 2 0 1

2

n

n

n n

    n ; lim 1 0

nn donc la suite

 

un est convergente et lim n 0

n u

 .

Références

Documents relatifs

Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite).. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire

En déduire la nature de la suite (V n ). En déduire le salaire mensuel de Claudine en 2019. Marcel et Claudine prendront leur retraite en 2019. Lequel des deux partira avec le

Le 1ier mètre coûte 100 (unité monétaire non précisée), le 2ième coûte 120, le 3ième coûte 140 et ainsi de suite.. Quelle profondeur atteindra−t−on si on dispose d’un

On réalise dans les conditions précédentes (volume réactionnel constant de 1 litre) un mélange contenant 0,470 mol.L -1 de cyclohexène et 0,470 mol.L -1 de

a/ Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur une

[r]

g est une fonction dérivable sur IR comme somme et produit de fonctions dérivables sur IR.. ∎g est continue sur IR car elle est dérivable

[r]