Série n°5 d’exercices corrigés sur les suites numériques Exercice n°1

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Série n°5 d’exercices corrigés sur les suites numériques

Exercice n°1

Soit IR^et la suite

 

un définie sur IN^par : ²



¹



n

u  n



 

 .

1) Montrer que

 

un est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) Pour tout nIN^, on pose : S_n  u₁ u₂ ...u_n. Calculer S en fonction de α et n. _n

3) Soit la suite v définie sur IN^par : v_n ^S₂ⁿ

 n

Montrer que la suit

 

vn est convergente et déterminer sa limite.

Correction Exercice n°1

1) ²

 

²

 

1

1 1 1

n n

n n

u u  

 



    

  

2

  n ²  n 1 1

 

 

donc

 

un est une suite arithmétique de raison ¹

 et de premier termeu₁  .

2) Pour tout nIN^ ; on a :S_n   u₁ u₂ ...u_n (somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique)

   

2

1 2

2 1

2 2

n

n n n

S  n

 

 

   

     

  .

3) Pour tout nIN^ ; on a : 2



²



²

1 2 1 1

2 1

2 2 2

n n

v S n

n n n

 

  

       .

La suite

2 2 1 n 2

n





 est convergente et elle converge vers 0

Donc la suite

 

vn est convergente et lim ¹

n 2

n v



 

Exercice n°2

Soient les suites

 

un et

 

vn définies sur IN^ par :

 

1

 

1 1 1 1

1 2 2 3 .... 1 1

n n

k

u    n n  _ k k

   



 

et _{2 2 2 2}

1

1 1 1 1

1 ....

2 3

n n

k

v     n 



_ k

Montrer que les suites

 

un et

 

vn sont convergentes et déterminer la limite de la suite

 

un (On pourra remarquer que



^{1 1}



^{1 11}

k k  k k

   )

Correction Exercice n°2 Etude de la suite

 

un

Soit nIN^

 

1

1 1

n n

k

u  _ k k



  ^{; or} _{k }

_

¹_{k 1}

_

^{ 1}_{k k}¹_1 ^;donc

1

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

1 1

n n n n n

n

k k k k k

u k k k k k k



    

     

 

    

^{Car 1}

1 2

1 1

1

n n

k k k k



 

 

 

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ( en effectuant un changement d’indice)

D’où 1 ¹

n 1 u  n

 .

Si vous détester le symbole



alors vous pouvez le faire autrement:

 

1 1

1 1 1

1 1

n n

n

k k

u  _ k k  _ k k

  

 

1 1

 1 2 1 2

 

 

 

1

 3 1

.... n 1

 

   

 

1

 n 1 n

 

 

 

1 1

1 1 1

n n

 

  

   

 

Etude de la suite

 

vn Pour tout entierk 2 , on a :

 

2

1 1

1 k k k

 . Donc

 

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1

1 .... 1

2 3 1

n n

n

k k

v     n  _ k   _ k k

 

 OR ¹



^{1 1}



¹

n

n k

k k u ^



 



^{; donc vn 1 un1 ; d’où vn   1 1 1}_n et comme pour tout nIN^ 1

1 1 2

  n Alors

 

vn est majorée par 2 .

(ce qui est vrai pour n=1 aussi)

pour tout n1 ; on montre comme précédemment par changement d’indice que :

 

1 2

1

n n 1

v v

   n

 et

 

²

1 0

1 n >

donc la suite

 

vn est croissante.

Conclusion: La suite

 

vn est croissante et majorée ( par 2) donc elle est convergente.

On a : pour tout n1 ; 1 ¹

n 1 u  n

 et comme lim ¹ 0 1

n^n 

 Alors la suite

 

un est convergente de limite 1 .

Exercice n°3

Soit

 

un la suite définie sur IN^par :

1 2 n 1

n k

u

n k







 ^. Montrer que pour tout entier nIN^ ;

2 2

n 1

n n

u

n n n

 

  .

En déduire que la suite

 

un est convergente et déterminer sa limite.

Correction Exercice n°3

On a :  k



1; 2;3;...;n



n² 1 n² k n²n Donc

2 2 2

1 1 1

1

n n n k n

 

   En faisant la somme membre à membre de ces n encadrements on obtient :

2 2 2

1 1 1

1 1 1

1

n n n

k^ n n k^ n k k^ n

 

  

  

2 2

n 1

n n

u

n n n

  

 

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 On a pour tout nIN^ ;

2

n n

n n

  n

1

1 1

1 1

n n



 

et 2

1

n n

n

 

n _{2 2}

1

1 1

1 1

n n



 

Donc :

2 2

lim lim 1

n n

n n

n n n n

   

 

Alors la suite

 

un est convergente de limite 1 . Exercice n°4

Soit la suite

 

un définie sur IN^par :

 

1

1

1 2

1

n 2 n

u

u n u n IN

n





 

 

   



1) a) Montrer que pour tout nIN^ ; on a : ¹ 1 4uⁿ  b) Montrer que la suite

 

un est décroissante .

c) Déduire que la suite

 

un est convergente.

2) Pour tout entier nIN^n , on pose : v_n=¹u_n n a) Montrer que

 

vn est une suite géométrique

b) Exprimer v en fonction de n et déduire que pour tout _n nIN^ ; on a : =

n 2n

u n

3) a) En remarquant que pour nIN^ ;



^{n 1}



^{2 n2 1 2n 1}₂

n

 

      ; montrer à l’aide d’un raisonnement

par récurrence que pour tout entier n4 on a : n² 2ⁿ. b) Déduire alors la limite de la suite

 

un .

Correction Exercice n°4

1) a) Montrons par récurrence que :



^{ n IN}



^{; 0}un¹. Pour n1

₁ ¹

u 2 donc 0 u₁ 1 Soit nIN^

Supposons que 0u_n1 et montrons que : 0u_n11

On a : 0 1 0 ^{1 1}

2 2

n n

n n

u u

n n

 

    

0 ₁ ¹

n 2 u n

 n

   

Or : ¹ 1 ^{1 2 1} 0

2 2 2

n n n n

n n n

        Donc : ¹ 1

2 n

n

  ; d’où : 0u_n1 1 Conclusion :



^{ n IN}



^{; 0}un¹. b) Pour tout nIN^ ; on a :

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₁ ¹

n n 2 n n

u u n u u

 n

   

1 2 2 1

2

n

n

n n

n u n u n

   

  

 

  

donc u_n1 u_n 0 (Car n1 et u_n0) Par suite la suite

 

un est décroissante.

c) La suite

 

un est décroissante minorée par 0 donc elle est convergente.

2) a) Pour tout nIN^ ; on a : ₁= ¹ ₁

n 1 n

v u

 n 

= 1 1 n

1 n

 2 1 1

=2

=1 2

n

n

n

n u nu v



 Donc :



^{ n IN}



^{; 1=1}

n 2 n

v_ v

D’où

 

vn est une suite géométrique de raison ¹

2 et vde premier terme ₁=¹ v 2. b) Par suite :



^{ n IN}



^{; 1} 1

1 1

= 2 2

n

n n

v v

   

   . 2) a) On note P n la propriété :

 

n² 2ⁿ ; pour n4. Pour n=4

On 4² 16 et 2⁴ 16 donc P(4) est vraie . Hérédité :

Soit n> 4

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est aussi vraie.

On a : n² 2ⁿ et



^{n 1}



^{2 n2 1 2n 1}₂

n

 

      Et comme 4 ^{2 1}

n 2

  n et 4 ¹₂ ¹ n 2

 n  ; alors

 

^{2 2 2}

2 2

2 1 2 1

1 2 n 1 n 1 2n

n n n n

 

          D’où :



^n1



^{2 2n2  2 2n 2n1 (CQFD)}

Conclusion

On a montré par récurrence que : pour tout entier n4 on a : n² 2ⁿ. b) Pour tout entier naturel n supérieur à 4 on a :

n n 2n

u   n v n et d’après ce qui précède on a : ² 2 0 ¹

2

n

n

n n

    n ; lim ¹ 0

n^n donc la suite

 

un est convergente et lim _n 0

n u

  .