Série n°7 sur « les suites numériques » 1ére Bac Sc.Exp 1-

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n°7 sur « les suites numériques » 1ére Bac Sc.Exp

1- Déterminer les termes d'une suite explicité Exercice 1

1 -Soit

 

2- On considère la suite

 





2 vn

n n

  Calculer v ; ₁ v et ₂ v .. ₃

Correction

1- On a : ( n IN);u_n 3ⁿ 2ⁿ; donc :

∎ u₀  3⁰ 2⁰   1 1 0 d’où : u₀ 0

∎ u₁    3¹ 2¹ 3 2 1 d’où : u₁ 1

∎ u₂ 3²2²   9 4 5 d’où : u₂ 5

∎ u₃  3³ 2³ 27 8 19  d’où : u₃ 19 2- On a :





2 vn

n n

  ; donc :

∎ _{1 2}2 2 1 1 2 1

v   

 d’où : v₁1

∎ _{2 2}2 2 1

2 2 6 3

v   

 d’où : ₂ 1 v 3

∎ _{3 2}2 2 1

3 3 12 6

v   

 d’où : ₃ 1 v 6

∎ _{4 2}2 2 1

4 4 20 10

v   

 d’où : ₄ 1 v 10

2- Déterminer les termes d'une suite définie par récurrence.

Raisonnement par récurrence Exercice 2

On considère la suite

 

 

0

1

2

; IN

1

n n

n

U

U U n

 U



  







1. Calculer U ; ₁ U et ₂ U . ₃

2. Montrer par récurrence que:





2 1

Un

 n



www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Correction

1. On a : ₁ 1

n n

n

U U

  U

 ; donc :

∎ ₁ ⁰

0

2 2

1 1 2 3

U U

 U  

  alors : ₁ 2

U  3 .

∎ ₂ ¹

1

2 3 2

1 1 2 5

3 U U

 U  

 

alors : ₂ 2 U 5 .

∎ ₃ ²

2

2 5 7

1 2 5

1 5 U U

 U  

 

alors : ₃ 2 U  7 .

2. Montrons par récurrence que :





2 1

Un

 n

 . Pour n= 0.

On a:

0

2 2

2 0 1 U

 

Donc la propriété est vraie pour n0 . Soit n∈ IN ;

supposons que : 2

2 1

Un

 n

 et montrons que

 

1

2

2 1 1

Un

  n

 

On a :

 

1

2

2 2

2 1

1 2 2 1 2 2 1 1

1 2 1

n n

n

U n

U U n n

n

     

     

 Alors :

 

1

2

2 1 1

Un

  n

 

Donc : la propriété est vraie pour n+1.

Conclusion :

On a montré par récurrence que ;





2 1

Un

 n

 .

3 - Utiliser un raisonnement par récurrence Exercice 3

Soit

 

 

1

2 1; IN

n n

u

u _ u n



   





Montrer que :





Montrons par récurrence que:





• On a : 2^{0 1}   1 1 u₀.

Donc la propriété est vraie pour n = 0.

• Soit n∈ IN ;

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Supposons que :u_n 2^n11et montrons que : u_n12^{n 1 1} 1

On a : ^{un12un  1 2}





Ainsi, la propriété est vraie pour n+ 1.

Conclusion :

On a montré par récurrence que ;





1. Soit

 





n 1 u n

n

 Montrer que :





2. Soit

 





^{ }

 n Montrer que

 

Correction

1. Montrons que:





On a : n0 et n² 1 0 ; donc : ₂ 0

n 1 u n

n 



On a : nn²1 (carxIR ; x²  1 x 0 ;  3 eta1 )

donc: ₂ 1

1 n

n 

 d'où : u_n 1

Ainsi :





2. Soit nIN^

On a :n1 , donc : 1

0 1

 n par suite : 1

0 1

 n or : ^{  1 sin}

 

donc, par somme : ^{1 2 sin}

 

  n  c'est-à-dire :  1 v_n 3. Donc

 

2- Récurrence et monotonie d'une suite Exercice 5

Soit

 

 

0

2 1

1 2

1 ; IN

n 4 n

u

u _ u n



  







1- Montrer que :





 

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Correction

1- Montrons par récurrence que :





On a : ₀ 1

u 2 ; donc : 0u₀ 1. Ainsi, la propriété est vraie pour n = 0.

• SoitnIN , supposons que 0u_n1et montrons que 0u_n11. On a: ₁ 1 ²

n 4 n

u _  u et 0u_n1

Donc: 1 ² 1

0 1

4uⁿ 4

  

Ainsi : 0u_n11.

Donc, la propriété est vraie pour n+ 1.

D'où, on a montré par récurrence que :





 

Soit nIN, on a : 1 ²

 

1 1

4 4 4

n n n n n n

u _ u  u u  u u  Comme 0u_n 1 4 alors : ( u_n 4 0 etu_n 0)

D'où : u_n1 u_n 0

Conclusion :





 