Montrer que ∀n≥0, Z 1 0 tnαf(t)dt = 1 nα+ 2

UFR de Math´ematiques Master 2 Mention Math´ematiques Universit´e Lille 1 Analyse 2016 - 2017

Analyse : Devoir Surveill´e.

Novembre 2016, dur´ee 3 heures M.Mbekhta

Exercice 1 Soit α∈]0,1] et f ∈C([0,1]). Montrer que

∀n≥0, Z 1

0

t^nαf(t)dt = 1

nα+ 2 ⇐⇒ f(t) =t, ∀t ∈[0,1].

Exercice 2 Soit E un espace norm´e et (x_n)_n une suite dans E.

Pour n∈N, d´efinissons l’application lin´eaire

T_n :E^∗ →C par T_n(f) =f(x_n), f ∈E^∗. (a) Montrer que pour chaque n∈N, T_n est continue.

(b) Montrer que pour toutn ∈N, kT_nk=kx_nk.

(On pourra utiliser le Th´eor`eme de Hahn-Banach).

(c) En d´eduire que la suite (x_n)_n est born´ee dans E si et seulement si pour tout f ∈E^∗, la suite (f(x_n))_n est born´ee dans C.

(On pourra utiliser le Th´eor`eme de Banach-Steinhaus).

Exercice 3 SoitF un sous-espace vectoriel tel queF ⊆C([0,1])⊆L²([0,1]).

Le but de l’exercice est de montrer que siF est ferm´e dansL²([0,1]) alors F est de dimension finie.

Supposons que F est ferm´e dansL²([0,1]) pour la norme k · k₂. (1) Montrer que F est ferm´e dans C([0,1]) muni de la norme k · k∞. En d´eduire qu’il existeα >0 tel que ∀f ∈F, kfk2 ≤ kfk∞≤α· kfk2. (2) Soit n un entier et soit{f₁, . . . , f_n}une suite orthonormale de F.

a) Montrer que∀λ₁, . . . , λ_n ∈C,kλ₁f₁+· · ·+λ_nf_nk²₂ =|λ₁|²+· · ·+|λ_n|². En utilisant (1), montrer que ∀t ∈[0,1],

|λ₁f₁(t) +· · ·+λ_nf_n(t)| ≤α |λ₁|²+· · ·+|λ_n|²1/2

.

b) En choisissant convenablement{λ₁, . . . , λ_n}, en d´eduire que∀t∈[0,1],

|f1(t)|²+· · ·+|fn(t)|² ≤α |f1(t)|²+· · ·+|fn(t)|²1/2

.

c) En d´eduire que n≤α² et conclure que la dimension de F est finie.

Probl`eme.

Soit H =L²[0,1] et T l’application lin´eaire d´efinie par T f(x) =

Z 1

0

k(x, y)f(y)dy, x∈[0,1], f ∈H.

avec

k(x, y) =

exp(−y)sh(x) si 0≤x≤y≤1 exp(−x)sh(y) si 0 ≤y≤x≤1.

O`u sh(x) = ¹₂[exp(x)−exp(−x)].

(1) Montrer que sif est une fonction propre associ´ee `a la valeur propreλ6= 0, alors f est de classe C² et v´erifie l’´equation

λf⁰⁰+ (1−λ)f = 0 f(0) = 0 etf(1) =−f⁰(1).

(2) a) Calculer les valeurs propres et les fonctions propres de T. b) En d´eduire le spectre de T.

c) Calculer la norme de T.

(3) Soit w_n, n >0, les solutions de l’´equation tan(θ) =−θ, θ >0.

(a) Montrer que

X

n≥1

1

1 +w_n² = 1

4[1 + exp(−2)].

(b) Calculer

X

n≥1

1 (1 +w_n²)².

Correction Exercice 1.

Si∀t∈[0,1] f(t) = t, alors R1

0 t^nαf(t)dt =R1

0 t^nα+1dt= _nα+2¹ , ∀n ≥0.

Supposons que ∀n≥0, R1

0 t^nαf(t)dt= _nα+2¹ ,alors

∀n≥0, R1

0 t^nαf(t)dt=R1

0 t^nα+1dt.Donc

∀n ≥0, Z 1

0

t^nα(f(t)−t)dt = 0.

Par lin´earit´e de l’int´egrale, on obtient Z 1

P(t^α)(f(t)−t)dt= 0, ∀P ∈C[X].

Par le Th´eor`eme de Stone-Weierstrass, la sous-alg`ebreAengendr´ee par{P(t^α); P ∈ C[X]}est dense dans (C([0,1]),k.k∞). Par suiteR1

0 g(t)(f(t)−t)dt = 0, ∀g ∈ A. et donc f(t) = t, ∀t∈[0,1].

Correction Exercice 2. T_n:E^∗ →C par T_n(f) = f(x_n), f ∈E^∗. (a) Puisque f ∈ E^∗, continue, |T_n(f)| = |f(x_n)| ≤ kx_nkkfk. Donc

|Tn(f)| ≤ kxnkkfk, ∀f ∈E^∗. D’o`u Tn est continue et kTnk ≤ kxnk.

(b) Par le Th´eor`eme de Hahn-Banach, pour tout n ∈ N, ∃f₀ ∈ E^∗ tel que kf₀k = 1 et f₀(x_n) =kx_nk. Donc kx_nk = f₀(x_n) = T_n(f₀) ≤ kT_nk. Par cons´equentkTnk ≥ kxnk et donckTnk=kxnk.

(c) Si la suite (x_n)_n est born´ee dans E alors il existe M > 0 tel que pour tout n ∈ N, kxnk ≤ M. Soit f ∈ E^∗. Par la continuit´e de f, on a

|f(x_n)| ≤ kx_nkkfk ≤ Mkfk. Ce qui implique la suite (f(x_n))_n est born´ee dans C.

Supposons que pour tout f ∈ E^∗, la suite (f(xn))n est born´ee dans C. Alors ∀f ∈ E^∗, ∃M_f > 0 tel que pour tout n ∈ N, kf(x_n)k ≤ M_f. D’o`u,

∀f ∈ E^∗, ∃M_f > 0 tel que kT_n(f)k ≤ M_f, ∀n ∈ N. Par Th´eor`eme de Banach-Steinhaus, E^∗ ´etant complet, ∃M > 0, kTnk ≤ M, ∀n ∈ N. Puisque par (b), kT_nk = kx_nk, il r´esulte que la suite (x_n)_n est born´ee dans E.

Correction Exercice 3.

Soit F un sous-espace vectoriel tel que F ⊆C([0,1])⊆L²([0,1]).

Supposons que F est ferm´e dans L²([0,1]) pour la norme k · k₂. (1) Montrons que F est ferm´e dans C([0,1]) muni de la norme k · k∞. Soit (f_n)_n ⊂F une suite convergente versf la norme k · k∞. Puisque kf_n− fk₂ ≤ kf_n−fk∞, la suite (f_n)_n converge vers f la norme k · k₂ et comme par hypoth`ese F est ferm´e, pour la norme k · k2, f ∈ F. Donc F est ferm´e, pour la norme k · k∞. Par cons´equent, F muni des normes k · k∞ et k · k<sub>2</sub> est complet en plus kfk<sub>2</sub> ≤ kfk∞ pour tout f ∈ F. Par le Th´eor`eme des Isomorphismes de Banach, les deux normes sont ´equivalentes. Donc il existe α >0 tel que

∀f ∈F, kfk₂ ≤ kfk∞≤α· kfk₂.

(2) Soit n un entier et soit{f₁, . . . , f_n}une suite orthonormale de F. a) Soit∀λ₁, . . . , λ_n∈C, par le Th´eor`eme de Pythagore, on obtient

kλ1f1+· · ·+λnfnk²₂ =|λ1|²+· · ·+|λn|².

D’o`u en utilisant (1), on obtient ∀t∈[0,1],

|λ₁f₁(t) +· · ·+λ_nf_n(t)| ≤ kλ₁f₁+· · ·+λ_nf_nk∞≤α |λ₁|²+· · ·+|λ_n|²1/2

. b) Pour λ₁ =f₁(t), . . . , λ_n=f_n(t), on en d´eduire que ∀t∈[0,1],

|f1(t)|²+· · ·+|fn(t)|² ≤α |f1(t)|²+· · ·+|fn(t)|²1/2

. c) D’apr`es b), on a

|f₁(t)|²+· · ·+|f_n(t)|²2

≤α² |f₁(t)|²+· · ·+|f_n(t)|² , d’o`u,

|f₁(t)|²+· · ·+|f_n(t)|² ≤α².

En int´egrant cette derni`ere in´egalit´e, on en d´eduire que n ≤α². Par cons´equent, la dimension deF est finie.

Correction du Probl`eme. (1) On a ∀f ∈H, ∀x∈[0,1], T f(x) = exp(−x)

Z x

0

sh(y)f(y)dy + sh(x) Z 1

x

exp(−y)f(y)dy.

Les fonctions x7→Rx

0 sh(y)f(y)dy etx 7→R1

x exp(−y)f(y)dy sont continues, donc T f est une fonction continue. Si T f = λf, λ 6= 0, alors f = ¹_λT f est continue. De plus si f ∈ C^k, comme x 7→ exp(−x) et sh(x) sont C^∞, les fonctions x 7→ Rx

0 sh(y)f(y)dy et x 7→ R1

x exp(−y)f(y)dy sont C^k+1. On obtient alors f = _λ¹T f ∈ C^k+1. Donc, une fonction propre de T est C^∞, en particulier C². On a pour tout x∈[0,1],

λf(x) =T f(x) = exp(−x)Rx

0 sh(y)f(y)dy + sh(x)R1

x exp(−y)f(y)dy.

D’o`u f(0) = 0 (carλ 6= 0 etsh(0) = 0). Et, on a aussi, (λf)⁰(x) = (T f)⁰(x) = −exp(−x)Rx

0 sh(y)f(y)dy+ch(x)R1

x exp(−y)f(y)dy.

Il facile de v´erifier que f(1) =−f⁰(1).

D’autre part,

(λf)⁰⁰(x) = (T f)⁰⁰(x) = (T f)(x)−f(x) = λf(x)−f(x) = (λ−1)f(x).D’o`u, f v´erifie l’´equation

λf⁰⁰+ (1−λ)f = 0 f(0) = 0 etf(1) =−f⁰(1).

(2) Puisque K(y, x) = K(x, y), l’op´erateur int´egral T est auto-adjoint, donc le spectre de T est r´eel, ainsi λ ∈ R. D’autre part, les valeurs propres

(λ 6= 0) et les fonctions propres de T sont les solutions, non nulles en f du syst`eme suivant : f⁰⁰− ^λ−1_λ f = 0 etf(0) = 0; f(1) =−f⁰(1).

Siλ = 1 alors f⁰⁰ = 0. Donc f(x) =ax+b. D’o`u,f(0) = 0 implique que b = 0 etf(1) +f⁰(1) = 0 implique que a = 0 et par suitef = 0. Doncλ = 1 n’est une valeur de T.propre.

L’equation caract´eristiquer² = ^λ−1_λ . Puisqueλ ∈R, r² ∈R. D’o`u,r∈R ou r=iθ, θ∈R.

Si w et −w sont les solutions de r² = ^λ−1_λ , alors la fonction propre est donn´ee par

f(x) =Aexp(wx) +Bexp(−wx) et f⁰(x) =Awexp(wx)−Bwexp(−wx) Les conditionsf(0) = 0 etf(1) =−f⁰(1) impliquent que

A=−B et Aexp(w)(1 +w) +Bexp(−w)(1−w) = 0.

f 6= 0 implique A6= 0 et λ6= 1 implique w6= 0. Donc

exp(w)(1 +w) = exp(−w)(1−w) ⇐⇒ exp(−w) + exp(w)

exp(w)−exp(−w) =−1 w. Si w∈R, w <0 alors exp(w)−exp(−w)<0 et −_w¹ >0, contradiction.

Siw∈R, w >0 alors exp(w)−exp(−w)>0 et −_w¹ <0, contradiction.

Doncw=iθ, θ∈R et exp(−iθ) + exp(iθ)

exp(iθ)−exp(−iθ) =−1

iθ ⇐⇒ tan(θ) =−θ.

Avec −θ² = ^λ−1_λ . Soit wn les solutions de l’equation tan(θ) = −θ, θ > 0.

Alors ∀n≥1, w_n ∈]^nπ₂ ,^(n+2)π₂ [ et (iw_n)² = ^λn_λ⁻¹

n ⇐⇒ λ_n= _1+w¹ 2 n. On obtient

σ(T) ={0, 1

1 +w²_n, n≥1}.

Les fonctions propres sont de la formef_n(x) = Asin(w_nx) associ´ee `a la valeur propre λ_n = _1+w¹ 2

n.

La norme de T est donn´ee par le rayon spectral de T (puisque T est auto-adjoint), donc kTk= sup{|λ|; λ∈σ(T)}= _1+w¹ 2

1

(3) Puisque T = T^∗, σ(T) ⊂ R⁺ et la fonction k(., .) est continue, on peut appliquer la formule de trace

X

n≥1

1 1 +w_n² =

Z 1

0

k(x, x)dx= 1

4[1 + exp(−2)].

Et,

X

n≥1

1

(1 +w²_n)² =kk(., .)k²₂ = Z 1

0

Z 1

0

|k(x, y)|²dxdy=· · ·