S U I TE S N U MÉR I QU E S
Définition, viocabu Blbibe, nioatbtion
On appelle suite numérique une liste ordonnée de nombres, appelés termes, chaque terme étant repéré dans la liste par sa position n ( n est donc un nombre entier ), appelé rang ou indice.
Une suite peut donc être vue comme une fonction définie sur ℕ qui, à un rang n donné, fait correspondre une unique image, souvent notée un : u : ℕ → ℝ
n a un
Lorsque l’on veut désigner : - la suite dans sa globalité, on écrit
(
un)
( parfois juste u ) - le terme de rang n, on écrit unLe premier terme, ou terme initial, se note la plupart du temps u0 ( ou u1 ) . Exemples
①La suite des chiffres qui composent le nombre p peut être notée
(
Pn)
.Le terme initial est P0 = 3, les termes suivants sont P1 = 1 , P2 = 4 , P3 = 1 , P4 = 5 , P5 = 9 etc...
Utiliser P0 comme premier terme est ici très adapté : P1 est la première décimale, P2 la deuxième décimale...
②La suite des carrés des nombres entiers non nuls peut être notée
(
Cn)
.On a donc C1 = 1 , C2 = 4 , C3 = 9 , C4 = 16 etc...
il faut adapter le choix du 1er terme selon le contexte de la situation étudiée
Miodes de génébbtion dd Bne s Biate n Bmébiq Be
Si certaines suites ne peuvent pas être modélisées par des formules (suite des chiffres qui composent le nombre p, suite des nombres premiers), la plupart des suites peuvent être générées ( = créées ) par des formules :
par une formule explicite : le terme de rang n est défini directement en fonction de n : un = f ( n )
Exemples ③ suite
(
un)
définie par : pour tout n
ℕ , un = 3 n ² – 1④ suite
(
vn)
définie par : pour tout n
ℕ* , vn = 1 n par une relation de récurrence : le terme de rang n + 1 se déduit du terme de rang n : un + 1 = f ( un ) Exemples ⑤ suite
(
wn)
définie par : pour tout n
ℕ , wn+1=4wn−6 et w0 = 3⑥ suites de Syracuse, suites de Héron, suite de Fibonacci
Rembbq Bes dans ce système de génération, il n’est pas possible de calculer u13 sans connaître u12, de calculer u12 sans connaître u11, u11 sans connaître u10 etc..., il est donc impératif de préciser la valeur du terme initial
il est possible qu’un terme se déduise non pas du précédent mais des précédents
Pbiogbbmmbtion bveca lb cablca Blbatbicae
pour les formules explicites, il suffit d’utiliser le tableur de la calculatrice et de régler le pas à 1
pour les relations de récurrence, il faut utiliser une boucle POUR
langage naturel CASIO TEXAS
Saisir N ( rang à atteindre) Initialiser le premier terme Pour i allant de 1 à N
U ← 4 × U – 6 Fin Pour
Afficher U
"N=" : ?→ N 3 → U
For 1 → I To N 4 × U – 6 → U Next
U ◢
Prompt N 3 → U
For ( I , 1 , N ) 4 * U – 6 → U End
Disp U
Pbiogbbmmbtion bveca Pyathion
il faut également utiliser une boucle POUR
pour les relations de récurrence
1er terme rang à atteindre
créée une boucle qui va tourner N fois
mais attention, i prendra les valeurs de 0 à N – 1
créée une liste, le premier et unique nombre de cette liste est U ( syntaxe pour les listes : [ … ] ) "append" permet d’ajouter un nombre à la liste précédente, ce qui permet de remplir cette liste au fur et à mesure avec les valeurs des termes de la suite
pour les formules explicites
Repbésenatbtion gbbphiq Be dd Bne s Biate
Dans un repère du plan, on peut placer les points Pn de coordonnées (n ; un) . On obtient ainsi un nuage de points qui est la représentation graphique de la suite (un).
Exemple
Pour tout n de ℕ, on donne : un=0,5n2−3.
On peut construire le tableau de valeurs, ci-dessous, avec les premiers termes de la suite :
n 0 1 2 3 4 5
un − 3 − 2,5 − 1 1,5 5 9,5
Alors, on obtient la représentation graphique de la suite (un), ci-dessous :
Sens de vbbibtions dd Bne s Biate
Une suite (un) est dite croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ⩾ un. Une suite (un) est dite décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ⩽ un. Une suite (un) est dite monotone si elle est soit croissante ou soit décroissante.
Exemples
La suite des entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; …) est une suite croissante et donc monotone.
La suite des inverses des entiers non nuls ( 1/1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; …) est une suite décroissante et donc monotone.
La suite des décimales du nombre π (1 ; 4 ; 1 ; 5 ; 9 ; …) est une suite non monotone (elle n’est ni croissante ni décroissante).
La suite n ⟼ ( −2 ) n n’est ni croissante ni décroissante : elle n’est donc pas monotone.
Il existe trois méthodes pour déterminer ( = démontrer ) le sens de variations d’une suite :
Méathiode 1
(un) est une suite définie sur
ℕ
.● Si pour tout entier naturel n, un+1−un ⩾ 0, alors la suite (un) est croissante.
● Si pour tout entier naturel n, un+1−un ⩽ 0, alors la suite (un) est décroissante.
Exemple 1
Pour tout n de ℕ, on considère la suite (un) définie par : un = n2−4n +4. Étudions le sens de variation de la suite (un).
♦ On commence par calculer, pour tout entier naturel n, la différence un+1 − un : un+1−un = (n+1)2−4(n+1) + 4−
(
n2−4n+4)
un+1−un = n2+ 2n+1−4n−4 +4−n2+ 4n− 4 un+1−un = 2n−3
♦ On étudie ensuite le signe de un+1−un : 2n−3 ⩾ 0 pour n ⩾ 1,5
♦ Ainsi pour n ⩾ 2 ( car n est entier ), on a un+1 −un ⩾ 0. On en déduit que, à partir du rang 2, la suite (un) est croissante.
Méathiode 2
(un) est une suite définie sur
ℕ
à termes strictement positifs.● Si pour tout entier naturel n, un+1
un ⩾ 1 , alors la suite (un) est croissante.
● Si pour tout entier naturel n, un+1
un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante.
Exemple 2
Pour tout n de
ℕ*
, on considère la suite (vn) définie par : vn = 1 n(n+1) . Étudions le sens de variation de la suite (vn).vn est l’inverse du produit de deux nombres entiers naturels consécutifs (et n ≠ 0) donc vn > 0
♦ On commence par calculer, pour tout entier naturel non nul, le rapport vn+1 vn : vn+1
vn =
1 (n+1)(n+2)
1 n(n+1)
= n(n+1)
(n+1)(n+2) = n n+2
♦ On compare ensuite vn+1 vn
par rapport à 1 : Comme 0<n< n+2 alors n
n+2 < 1 ,pour tout n de
ℕ*
.♦ Ainsi, pour tout n de
ℕ*
, vn+1 vn < 1 .On en déduit que, pour tout n de
ℕ*
, la suite (vn) est décroissante.Méathiode 3
f est une fonction définie sur [0 ; +∞[ et (un) est une suite définie, pour tout entier naturel n,par un = f(n) ( formule explicite ) .
Soit p un entier naturel.
● Si f est croissante sur [p ; +∞[, alors la suite(un)est croissante à partir du rang p.
● Si f est décroissante sur [p ; +∞[, alors la suite(un)est décroissante à partir du rang p.
Exemple 3
Pour tout n de
ℕ
, on considère la suite (un) définie par : un = −2n2+20n−3. Étudions le sens de variation de la suite (un).♦ On commence par déterminer la fonction f associée à la suite (un) :
Pour tout n de
ℕ
, un = f(n) avec f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = −2x2+ 20x −3 .♦ On étudie ensuite les variations de f :
Comme f
est une fonction polynôme du 2nd degré avec −2 < 0 , alors elle est représentée par une parabole orientée vers le bas, et dont le sommet a pour abscisse −20
2×(−2)=5 . La fonction f est donc décroissante sur [5 ; +∞[.
♦ On en déduit que la suite (un) est décroissante à partir du rang 5.
Limiate dd Bne s Biate
On se contentera cette année d’aborder la notion de limite et d’émettre des conjectures.
Il s’agit d’observer le comportement des termes de la suites lorsque les valeurs de n deviennent grandes Exemple 1
Pour tout n de
ℕ*
, on considère la suite (un) définie par : un = 2n+1 n On construit un tableau de valeurs avec des termes de la suite :n 1 2 3 4 5 10 15 50 500
un 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002
On observe que plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2.
On dit que la suite (un) converge vers 2 et on note : lim
n→+∞un = 2
Exemple 2
Pour tout n de
ℕ
, on considère la suite (vn) définie par : vn+1 = 1,2vn−5 et v0 = 30 Calculons quelques termes de cette suite :n 0 1 2 3 4 10 15 50 500
vn 30 31 32,2 33,64 35,368 ≈ 56 ≈ 102 ≈ 45 527 ≈ 2 × 1040
On observe que plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grands.
On dit que la suite (vn) diverge vers + ∞ et on note : lim
n→+∞vn = +∞
remarque : que se passe-t-il si on choisit v0 = 25 ? → on observe que la suite est constante !
Exemple 3
Pour tout n de
ℕ
, on considère la suite (wn) définie par : wn+1 = (−2)n wn et w0 = 3.
Calculons quelques termes de cette suite :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
wn 3 3 − 6 − 24 192 3 072 − 98 304 − 6 291 456 805 306 368
On observe que lorsque n devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique.
On dit que la suite (wn) diverge.
