D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final: R´eponses

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

c 2009, Steve Ambler Hiver 2009

1 R´eponses courtes (20 points)

1. Non. L’hypoth`ese jointe est non lin´eaire (la deuxi`eme partie de l’hypoth`ese contient le ratio de deux param`etres). Donc, elle ne peut ˆetre exprim´ee sous la formeRβ =r. Mˆeme si on suppose l’homosc´edisticit´e, ce qui nous permettrait de construire un test en estimant le mod`ele contraint, le mod`ele contraint est non lin´eaire dans les param`etres et ne peut ˆetre estim´e par MCO. Donc, on ne peut pas utiliser une statistiqueF pour tester cette hypoth`ese.

2. Faux. Chaque fois que nous avons une hypoth`ese jointe, nous devons tenir compte de la distribution jointe des hypoth`eses individuelles qui en font partie. On pourrait d´ecider de rejeter l’hypoth`ese jointe si au moins une des hypoth`eses individuelles est rejet´ee, mais ce faisant nous n’avons pas une id´ee pr´ecise de la vraie p-value du test.

3. Faux. Notez que la question porte surR² et non surR¯². Si on compare les estimateurs MCO des mod`eles avec et sans la variable additionnelle, le dernier est la solution `a un probl`eme de minimisation avec une contrainte additionnelle, que la valeur du coefficient de la variable additionnelle est

´egale `a z´ero. La somme des r´esidus au carr´e doit ˆetre au moins aussi petite

lorsqu’on ajoute une variable explicative. Donc, leR² ne peut diminuer, et dans la plupart des cas va ˆetre strictement plus ´elev´e.

4. Vrai, sauf dans le cas exceptionnel o`u la variable n’est pas corr´el´ee avec toutes les autres variables explicatives du mod`ele. Nous avons vu au d´ebut du chapitre sur la r´egression multiple que le biais d´epend entre autres de la corr´elation entre la variable omise et la ou les variables incluses dans le mod`ele estim´e.

2 Propri´et´es d’estimateurs (20 points)

1. Cela veut dire que

E β˜

=β.

2. Cela veut dire que l’estimateur converge en probabilit´e vers sa vraie valeur.

Ceci veut dire que, au fur et `a mesure que le nombre d’observations augmente, la probabilit´e que la valeur deβ˜se trouve dans un intervalle arbitrairement petit autour de sa vraie valeur augmente, et tend vers un dans la limite.

3. Dans le premier cas, il s’agit de la convergence en probabilit´e. Pour

converger en probabilit´e, il faut entre autres que la variance de l’estimateur diminue avec le nombre d’observations dans l’´echantillon. Dans le

deuxi`eme cas, il s’agit de convergence endistributionvers une loi normale. Dans ce dernier cas, la variance de l’estimateur (normalis´e) ne tend pas vers z´ero, mais plutˆot vers une matrice de variance-covariance constante. Mˆeme dans la limite, l’estimateur (normalis´e) reste une variable al´eatoire.

4. Il est habituel de normaliser l’estimateur en multipliant par√

npour ´eviter que la variance tende vers z´ero au fur et `a mesure que le nombre

d’observations augmente. Pour parler rigoreusement de la convergence en distribution, il faut utiliser une statistique qui garde les propri´et´es d’une variable al´eatoire mˆeme lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini.

5. Si un estimateur de plusieurs param`etres est efficient, il est non biais´e et la variance de n’importe quelle combinaison lin`eaire des estim´es a une variance plus petite que celle de la mˆeme combinaison lin´eaire d’estim´es

´egalement non biais´es.

6. Le th´eor`eme Gauss-Markov tient lorsque les erreurs du mod`ele de r´egression multiple sont homosc´edastiques.

3 Estimateur MCO (20 points)

1. En notation matricielle, nous avons :

Y =Xβ+U, o`u

Y ≡













 Y₁ Y₂ Y₃ ... Y_n













 ,

β ≡









 β₀ β₁ ... β_k









 ,

X ≡















1 X₁₁ X₂₁ . . . X_k1 1 X₁₂ X₂₂ . . . X_k2 1 X₁₃ . . . X_k3 ... ... ... ... ... 1 X_1n X_2n . . . X_kn















2. Le probl`eme peut ˆetre ´ecrit :

min

β U⁰U ou

min

β (Y −Xβ)⁰(Y −Xβ).

3. Les variables de choix sont les ´el´ements du vecteurβ, donc il y en a (k+ 1), ce qui donne(k+ 1)conditions du premier ordre.

4. Nous avons : min

β n

X

i=1

(Y_i−β₀ −β₁X_1i−β₂X_2i−. . .−β_kX_ki)².

La CPO par rapport au choix deβ2est :

−2

n

X

i=1

(Y_i−β₀−β₁X_1i−β₂X_2i −. . .−β_kX_ki)X_2i = 0.

4 Tests d’hypoth`ese (20 points)

1. Nous avons :





0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 −1



















 β₀ β₁ β₂ β₃ β₄ β₅

















=



 0 1 0





2. Notez que cette sous-question est presqu’identique `a la sous-question pr´ec´edente. Nous avons :

R =





0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 −1



,

r=



 0 1 0



.

3. Tout ce qui change est la fac¸on de calcule la matrice de

variance-covarianceΣˆβˆ. Dans la version robuste du test, on utilise la formule g´en´erale pour l’estimateur de la matrice de variance-covariance, qui admet la possibilit´e d’h´et´erosc´edasticit´e. Dans la version non robuste, on utilise la formule pour l’estimateur de la matrice de variance-covariance qui suppose l’homosc´edasticit´e.

4. Pour tenir compte de la premi`ere restriction, on peut laisser tomberβ<sub>1</sub>. Pour tenir compte de la deuxi`eme, on peut substituer1−3β₃pourβ₂. Pour tenir compte de la troisi`eme hypoth`ese, on peut substituerβ4pourβ5. Nous avons :

Y_i =β₀+ (1−3β₃)X_2i+β₃X_3i+β₄X_4i+β₄X_5i+u_i

⇒(Y_i−X_2i) = β₀+β₃(X_3i−3X_2i) +β₄(X_4i+X_5i) +u_i. Avec les transformations appropri´ees des variables (notez qu’il faut red´efinir la variable d´ependante de la r´egression), il est possible d’estimer la version contrainte du mod`ele par MCO. Nous pouvons par la suite construire une statistiqueF `a partir desR²des deux estimations ou `a partir des SSR des deux ´equations.

5. Il faut que ce terme d’erreur soit homosc´edastique.

5 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)

1. Le mod`ele est non lin´eaire dans lesvariablesseulement. Si on calcule _∂β^∂Yi

j, la d´eriv´ee ne d´epend pas des param`etres du mod`ele (les betas).

2. Nous avons :

Y2 =β0+β1X12+β2X122

+β3X21+β4X12X21

o`u j’ai laiss´e tomber le terme d’erreur puisqu’il s’agit d’une pr´ediction, et Y₁ =β₀+β₁X₁₁+β₂X₁₁²+β₃X₂₁+β₄X₁₁X₂₁,

donc

∆Y =Y₂−Y₁ =β₁(X₁₂−X₁₁)+β₂ X₁₂²−X₁₁²

+β₄X₂₁(X₁₂−X₁₁). 3. On veut calculer l’´ecart type de :

β₁(X₁₂−X₁₁) +β₂ X₁₂²−X₁₁²

+β₄X₂₁(X₁₂−X₁₁). Il est plus facile de normaliser en divisant par(X₁₂−X₁₁). On peut calculer l’´ecart type de

β₁+β₂ X₁₂²−X₁₁²

(X₁₂−X₁₁) +β₄X₂₁.

Pour cela on peut utiliser le mod`ele transform´e suivant : Y_i =β₀+ β₁+β₂ X122−X112

(X₁₂−X₁₁) +β₄X₂₁

! X_1i

+β₂ X_2i− X₁₂²−X₁₁² (X₁₂−X₁₁) X_i1

!

+β₃X_2i+β₄(X_1iX_2i−X₂₁X_i1)

≡β0+γX1i+β2Z1i+β3X2i+β4Z2i, avec les d´efinitions appropri´ees des variables explicatives et des

param`etres. Il est facile de v´erifier que ce mod`ele est ´equivalent au mod`ele initial.

4. La restriction `a tester est tout simplement : β₁(X₁₂−X₁₁) +β₂ X₁₂²−X₁₁²

+β₄X₂₁(X₁₂−X₁₁) = 0.

Les valeurs deX12, deX11et deX21sont trait´ees comme des constantes.

document cr´e´e le : 03/06/2009