F ICHE : D ÉRIVÉES ET PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

Lycée Kléber PC* 2ème année

F ICHE : D ÉRIVÉES ET PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

Dans tout le formulaire, les quantitées situées au dénominateur sont supposées non nulles Dérivées des fonctions usuelles

Dans chaque ligne,f^′est la dérivée de la fonctionf sur l’intervalleI.

f(x) I f^′(x)

λ(constante) R 0

x R 1

xⁿ(n∈N^∗) R nxⁿ⁻¹

1

x ]−∞, 0[ou]0,+∞[ −1

x² 1

xⁿ oùn∈N, nÊ2 ]−∞, 0[ou]0,+∞[ − n xⁿ⁺¹

px ]0,+∞[ 1

2p x

lnx ]0,+∞[ 1

x

e^x R e^x

sinx R cosx

cosx R −sinx

tanx i

−π 2+kπ,π

2+kπh

, k∈Z 1+tan²x= 1 cos²x

Opérations et dérivées

(f+g)^′=f^′+g^′ (f◦g)^′=g^′×(f^′◦g) (λf)^′=λf^′ ,λdésignant une constante (uⁿ)^′=nuⁿ⁻¹u^′ (n∈N,nÊ2) (f g)^′=f^′g+f g^′

µ 1 uⁿ

¶_′

= − nu^′

uⁿ⁺¹ (n∈N,nÊ1) µ1

g

¶_′

= −g^′

g² (e^u)^′=u^′e^u

µf g

¶

=f^′g−f g^′

g² (ln|u|)^′=u^′

u Plus généralement, siu>0:∀a∈R, ¡

u^a¢_′

=au^′u^a−1

Primitives des fonctions usuelles

Dans chaque ligne,Fest une primitive def sur l’intervalleI. Ces primitives sont uniques à une constante près notéeC.

f(x) I F (x)

λ(constante) R λx+C

x R x²

2 +C

xⁿ(n∈N^∗) R xⁿ⁺¹

n+1+C 1

x ]−∞, 0[ou]0,+∞[ ln|x| +C 1

xⁿ oùn∈N, nÊ2 ]−∞, 0[ou]0,+∞[ − 1 (n−1)xⁿ⁻¹+C p1

x ]0,+∞[ 2p

x+C

lnx R^∗₊ xlnx−x+C

e^x R e^x+C

sinx R −cosx+C

cosx R sinx+C

1+tan²x= 1 cos²x

i

−π 2+kπ,π

2+kπh

, k∈Z tanx+C

Opérations et primitives On suppose queuest une fonction dérivable sur un intervalleI

• Une primitive deu^′uⁿsurIest^un+1 n+1(n∈N^∗)

• Une primitive de ^u′

u²surIest₋¹ u.

• Une primitive de ^u′

uⁿ surIest₋ ¹

(n−1)uⁿ⁻¹.(n∈N,nÊ2.

• Une primitive de_p^u′

usurIest2p

u(En supposantu>0surI.)

• Une primitive de^u′

u surIestln|u|.

• Une primitive deu^′e^usurIeste^u.

Plus généralement, siu>0surIet sia∈R, une primitive deu^′u^asurIest :

Z u^′u^a=





 1

a+1u^a+1+C sia∈R\ {−1}

lnu+C sia= −1