Cours 12 : Intégrales à paramètres

(1)

Cours 12 : Intégrales à paramètres

Nous nous intéressons ici à des fonctions du type

F:x∈J7−→

Z

I

f(x,t)d t,

oùJest une partie deR(comme l’ensemble des entiers naturels, auquel cas, on parlera de suite d’intégrales), etIun intervalle réel. L’ensemble de définition deFcorrespond à l’ensemble desx∈Apour lesquels l’intégrale F(x) converge. Les outils pour le déterminer relèvent donc du cours sur les intégrales impropres. Nous allons voir ici comment déterminer la régularité deF.

...

1

THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE

§ 1.

Convergence simple.—

La notion de convergence pour une suite de fonctions est multiforme, et nous verrons que l’on peut lui donner un grand nombre d’acceptions. Nous nous contenterons ici de la plus simple.

Définition 1.1 (Convergence simple)

Ï On dit d’une suite de fonctions(f_n)nÊ0d’un ensembleAdansKqu’elle converge simplement surA vers une fonctionf :A→Klorsque pour toutx∈A, la suite¡

f_n(x)¢

nÊ0d’élements deKconverge vers f(x). La fonctionf est appeléelimite simple de(f_n)_n.

Ï On dit d’une série de fonctions X

nÊ0

fn d’un ensemble AdansKqu’elle converge simplement sur A

lorsque pour toutx∈A, la suite des sommes partielles Ã _n

X

k=0

f_k(x)

!

nÊ0

(suite d’élements deK) converge.

On appelle alorslimite simple de la série de fonctionsX

k

f_kla fonctionx∈A7→

+∞X

k=0

f_k(x).

Ï La suite de fonctions¡ x7→xⁿ¢

n∈Nconverge simplement sur [0, 1] vers la fonctionδ1, mais elle ne converge pas simplement sur [1, 2].

Ï Sur [−1, 1] la suitex7→(1−x²)ⁿconverge simplement versδ0. Ï SurR, la suite de fonctionsx²ⁿ−1

x²ⁿ+1converge simplement vers ...

Ï La série de fonctions X nÊ0

fn, où pour tout entiern,fn:x7→xⁿconverge simplement sur {x∈C/|x| <1} versf :x7→

1

1−x. Autrement dit, pour toutz∈Cde module<1, 1 1−z=

+∞X n=0

zⁿ .

Ï La série de fonctions X nÊ0

fn, où pour tout entiern,fn:z7→zⁿ

n! converge simplement surCvers l’exponentielle com- plexe. Autrement dit, e^z=

+∞X n=0

zⁿ

n!, pour toutz∈C.

Exemple :

(2)

§ 2.

Convergence dominée.—

Commençons par justifier à l’aide d’un contre-exemple la nécessité de l’hypo- thèse de domination.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

3.0 Le graphe de f_n:t _{1 +n}ⁿ²3^tt³

y=f1(x) y=f₂(x) y=f₃(x) y=f4(x) y=f5(x)

On cherche à savoir si lim

n

Z

I

f_n= Z

I

limn f_n. C’est faux dans le cas général. par exemple, si on pose

fn R+ −→ R

t 7−→ n²t

1+n³t³

, on voit que pour

touttÊ0,f_n(t)∼ 1

nt quandn→ +∞. Ainsi, (f_n) converge simplement vers la fonction nulle sur R+alors que

µZ

R+

f_n

¶

n

ne tend pas vers 0. En effet, cette suite d’intégrales est constante, ce que l’on voit en posantx=nt.

Théorème 1.2 (convergence dominée)

Soit(f_n)une suite de fonctions continues par morceaux deIdansKconvergeant simplement surIvers une fonctionf continue par morceaux et telle qu’il existe une fonctionϕcontinue par morceaux intégrable qui vérifie|f_n| Éϕ. Alors

n→+∞lim Z

I

f_n(x)d x= Z

I

n→+∞lim f(x)d x.

Autrement dit, Z

I

f_n(x)d x−−−−−→

n→+∞

Z

I

f(x)d x.

Attention, on ne confondra pas les deux énoncés suivants : Ï l’intégrale

Z

I

f_n(x)d xconverge (ànfixé donc).

Ï la suite d’intégrales µZ

I

fn(x)d x

¶

n∈Nconverge.

(3)

Ï Issu de CC-INP 25Sur cet exemple, on voit que la limite simplef peut ne pas être continue.

1. Démontrer que, pour tout entiern, la fonctiont7−→ 1

1+t²+tⁿe⁻^t est intégrable sur [0,+∞[.

2. On poseun= Z_+∞

0

dt

1+t²+tⁿe^−t. Calculer lim n→+∞un. Ï Dans l’intégrale

Z_+∞

0 ne⁻^nx

1+x²d x, la fonction converge simplement sur ]0,+∞[ mais pas en 0. Dans ce cas, on peut ruser en travaillant sur ]0,+∞[ puisque

Z ]0,+∞[f=

Z

[0,+∞[f. La fonction majoranteϕn’est pas simple à trouver. Poser y=nxsimplifie l’affaire.

Ï Lorsque l’intervalle d’intégration dépend den, on sort du cadre de cet énoncé, mais on peut parfois s’en sortir en prolongeant chaque intégrande. Par exemple, pour calculer la limite de la suite d’intégrales

Zn 0

µ 1−t

n

¶n

ln(t)dt, on

peut utiliser que cette intégrale est égale à l’intégrale surR^∗₊de la fonctionfn:x∈R7−→





 µ

1−t n

¶n

ln(t) si 0<tÉn,

0 sitÊn.

Cette fonctionfnest bien continue par morceaux surR^∗₊et pour toutx>0,|fn(x)| É |ln(t)|e⁻^tqui est intégrable . Ainsi, Z_n

0 µ

1−t n

¶n

ln(t)dt−−−−−−→

n→+∞

Z_+∞

0 ln(t)e^−tdt.

Exercice :

Donnons une version du théorème de convergence dominée dans le cas où le paramètre n’est plus entier mais réel, i.e une condition suffisante pour pouvoir dire que

xlim→x₀

Z

I

f(x,t)d t= Z

I

xlim→x₀f(x,t)d t.

Théorème 1.3

SoientIetJdeux intervalles. Fixonsx₀∈J. Soit¯ (x,t)∈J×I7−→f(x,t)∈Cune fonction à deux variables telle que

1. pour toutx∈J,t7−→f(x,t)est continue par morceaux surI; 2. pour toutt∈I,f(x,t)−−−−→_x

→x₀ g(t);

3. il existe une fonctionϕ:I→Rcontinue par morceaux et intégrable surItelle que pour toutx∈J,t∈I,|f(x,t)| Éϕ(t),

Alors lim

x→x₀

Z

I

f(x,t)d t= Z

I

xlim→x₀f(x,t)d t.

Ï Z_+∞

0

arctan(xt)

1+t² d t−−−−−→_x

→+∞

π² 4. Ï Montrer que

Z_+∞

0 e⁻^t

x+td t∼x⁻¹quandx→ +∞.

Exemple :

§ 3.

Intégration terme à terme.—

Nous avons déjà rencontré un théorème qui permet d’affirmer que

+∞X

n=0

Z

I

fn(t)dt= Z

I +∞X

n=0

fn(t)dt.

Il a malheureusement deux limitatons de taille : il nécessite la convergence uniforme de la série de fonctions, et l’intervalle d’intégration doit être de longueur bornée. L’énoncé suivant offre une alternative.

(4)

Théorème 1.4 (intégration terme à terme) Si X

nÊ0

f_nest une série de fonctions (continues par morceaux surI) intégrables surItelles que

Ï X

nÊ0

f_nconverge simplement surIvers une fonctionf =

+∞X

n=0

f_ncontinue par morceaux.

Ï X

nÊ0

Z

I|f_n|est une série convergente, alors

+∞X

n=0

f_nest intégrable surIet

+∞X

n=0

Z

I

f_n(t)d t= Z

I +∞X

n=0

f_n(t)d t.

On pourra vérifier la continuité par morceaux de +∞X n=0

fn, même si le théorème est encore valable dans le cas contraire. Il est possible que les correcteurs ne vous en tiennent aucune rigueur.

REMARQUES:

Ï Z_+∞

0 sint e^t−1d t=

+∞X n=1

1

n²+1. Pour cela, on constate que pour toutt>0, 1

e^t−1=e^−t 1

1−e^−t =e^−t^+∞X n=0

e^−nt= +∞X n=1

e^−nt. En effet,e^−t∈]0, 1[. C’est d’ailleurs ce qui nous a poussé à factoriser le dénominateur pare^t.

• t7−→ sint e^t−1=

+∞X n=1

sint e^−ntest continue sur l’intervalleI=]0,+∞[.

• t7−→sint e^−ntest intégrable sur ]0,+∞[ et Z_+∞

0 |sint e^−nt|d tÉ Z_+∞

0 t e^−ntd t= 1 n².

Comme la série de terme général (1/n²) converge, on peut appliquer le théorème de Lebesgue d’interversion X−

Z

, pour obtenir l’égalité Z _+∞

0 sint e^t−1d t=

+∞X n=1

Z_+∞

0 sint e^−ntdt. On finit en calculant l’intégrale Z _+∞

0 sint e^−ntdt soit par une double intégration par parties, soit en écrivant que sintest la partie imaginaire dee^{i t}.

Ï Montrer que Z

R+ xe^−x 1+e^−xd x=π²

12. Exemple :

Evidemment, en cas de non convergence de la série X

nÊ0

Z

I|u_n|, ce théorème ne dit rien. On peut alors tra- vailler avec les sommes partielles et montrer que l’intégrale du reste tend vers 0, soit à la main, soit avec le théo- rème de convergence dominée : puisque pour toutt∈I,

+∞X

n=0

u_n(t)=

N

X

n=0

u_n(t)+R_N(t), l’additivité de l’intégrale permet d’écrire

Z

I

µ_+∞

X

n=0

u_n(t)

¶ d t=

N

X

n=0

Z

I

u_n(t)d t+ Z

I

R_N(t)d t.

Etablir que Z

I

R_n(t)d t −−−−−→_n

→+∞ 0 assurera d’une part la convergence de la série numérique X

nÊ0

Z

I

u_n(t)d t, et

d’autre part l’égalité Z

I

µ_+∞

X

n=0

u_n(t)

¶ d t=

+∞X

n=0

Z

I

u_n(t)d t.

Voyons un exemple : prouver l’égalité Z _+∞

0

cost e^t+1d t=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n n²+1 .

(5)

Pour cela, on constate que cost e^t+1=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹cost e⁻^nt. Or,t7−→cost e⁻^ntest intégrable sur ]0,+∞[ mais Z _+∞

0

¯

¯cost e^−nt|d t =n’est pas le terme général d’une série convergente (à cause de l’intégrale au voisinage de t=0). On ne peut donc pas appliquer le théorème 1.4. Cependant,

¯

¯ Z

I

R_N(t)d t

¯

¯=

¯

¯ Z_+∞

0

(−1)^Ncost e^−(N^+1)t 1+e⁻^t d t

¯

¯É Z _+∞

0

e⁻^(N⁺^1)td t= 1

N+1−−−−−→

N→+∞ 0.

1 π 2π 3π

−1 0 1

...

2

RÉGUL ARITÉ D’INTÉGRALES À PARAMÈTRES

§ 1.

Limites aux bornes.—

Donnons une version du théorème de convergence dominée dans le cas où le parmaètre n’est plus entier mais réel, i.e une condition suffisante pour pouvoir dire que

x→xlim0

Z

I

f(x,t)d t= Z

I x→xlim0

f(x,t)d t.

Théorème 2.1

SoientIetJdeux intervalles. Fixonsx₀∈J. Soit¯ (x,t)∈J×I7−→f(x,t)∈Cune fonction à deux variables telle que

1. pour toutx∈J,t7−→f(x,t)est continue par morceaux surI, 2. pour toutt∈I,f(x,t)−−−−→_x→x

0

g(t),

3. il existe une fonctionϕ:I→Rcontinue par morceaux et intégrable surItelle que pour toutx∈J,t∈I,|f(x,t)| Éϕ(t),

Alors lim

x→x0

Z

I

f(x,t)d t= Z

I x→xlim0

f(x,t)d t.

Ï Z_+∞

0

arctan(xt)

1+t² d t−−−−−→

x→+∞

π² 4. Ï Montrer queΓ(x)∼1

xquandx→0⁺.

La fonctionu7→u^1/xest bijective de ]0, 1[ dans lui-même, de classeC¹et strictement croissante. D’après le théorème de changement de variables,

Z 1

0 t^x−1e^−td t=1 x

Z1 0 exp³

−u^1/x´

d u.Or , la fonctionu7→exp³

−u^1/x´

est majorée par la fonction intégrable 1, et lorsquextend vers 0, exp³

−u^1/x´

−

→1. D’éprès le théorème de convergence dominée à paramètre continu,

Z₁ 0 exp³

−u^1/x´

d u−−−−−→

x→0⁺ Z ₁

0 1d u=1, si bien que Z₁

0 t^x−1e^−td t∼1

xlorsquextend vers 0.

De plus, pour toutx∈]0, 1], 0É Z_+∞

1 t^x−1e^−td tÉ Z_+∞

1 e^−td t, donc cette deuxième famille d’intégrales est négligeable devant la première qui tend vers+∞car elle est bornée.

Exemple :

(6)

§ 2.

Continuité d’une intégrale à paramètres.—

Puisqu’il ne s’agit que de continuité, on peut ici supposer queJest une partie d’un espace vectoriel normé.

Théorème 2.2

SoitJune partie d’un espace vectoriel normé de dimension finie,Iun intervalle deR,f une fonction définie surJ×Ià valeurs dansK. On suppose que

1. Pour toutt∈I,x7−→f(x,t)est continue surJ,

2. Pour toutx∈J,t7−→f(x,t)est continue par morceaux surI, 3. il existe une fonctionϕintégrable surItelle que

pour toutx∈Jett∈I,|f(x,t)| Éϕ(t).

AlorsFest définie et continue surJ.

Démonstration : Soitx₀∈A. Nous allons utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité. Soit donc (un) une suite d’éléments deAconvergeant versx₀. Posons pour toutn∈N,f_n:t∈I7−→f(u_n,t), etF_n=

Z

I

f_n(t)d t. D’après (i i), pour toutn∈N,fn est continue par morceaux surI. D’après (i i i), (fn)_n∈Nconverge simplement surI vers t7−→f(x₀,t). Et d’après (i i i⁰),|f_n|est majorée au moins à partir d’un certain rang par une fonction intégrable surI indépendante den. D’après le théorème de convergence dominée,F_n=F(u_n)−−−−−→

n→+∞

Z

If(x₀,t)d t=F(x₀). Ainsi, Fest continue enx₀.

Ï La première hypothèse se retient facilement, au vu de la conclusion que l’on cherche à obtenir.

Ï L’hypothèse de continuité par morceaux n’a pas l’importance de l’hypothèse de domination.

Ï La continuité étant une notion locale, on peut affaiblir l’hypothèse de domination en remplaçant (i i i) par (i i i) pour tout compactK⊂A, il existe une fonctionϕK∈L¹^(I) telle que∀x∈A,|f(x, .)| ÉϕK. REMARQUES:

1. Sifest intégrable surR, sa transformée de Fourier ˆf:ξ7−→

Z

Rf(t)e⁻^iξtd test continue surR.

2. La fonctionΓ:s7−→

Z_+∞

0 t^s⁻¹e⁻^td test continue surH={z∈C/Re(z)>0}. La majoration est délicate ici : il faut se placer surJ_a,b={z∈C/aÉRe(z)Éb}. Sit∈]0, 1[,|t^s⁻¹e⁻^t| Ét^a⁻¹e⁻^tet sit∈]1,+∞[,|t^s⁻¹e⁻^t| Ét^b⁻¹e⁻^t, donc

pour tout réelt>0,|t^s−1e^−t| É(t^b−1+t^a−1)e^−t. Exercice :

§ 3.

Dérivation d’une intégrale à paramètres.—

_^

Théorème 2.3

SoientIetJdeux intervalles deR, f J×I −→ C (x,t) 7−→ f(x,t)

, à valeurs dansC. On suppose que

1. pour toutx∈J,t7−→f(x,t)est continue par morceaux et intégrable surI.

On pose alorsF:x∈J7−→

Z

I

f(x,t)d t∈C.

2. pour toutt∈I,x7−→f(x,t)est de classeC¹^sur^J^, 3. pour toutx∈J,t7−→∂f

∂x(x,t)est continue par morceaux surI,

(7)

4. il existe une fonctionϕintégrable surItelle que

pour toutx∈Jet toutt∈I,

¯

∂f

∂x(x,t)

¯

¯Éϕ(t).

Alors, la fonctionFest de classeC¹^surJ, et vérifie

pour toutx∈J, F⁰(x)= Z

I

∂f

∂x(x,t)d t.

Démonstration : Il suffit de prouver que pour toutx₀∈J,F(x)−F(x₀) x−x₀ −−−−→

x→x0

Z

I

∂f

∂x(x₀,t)d t.

Notons déjà que l’hypothèse (i) assure l’existence deF(x) pour toutx∈J.

A nouveau, prenons une suite (un)_n∈Nd’éléments deJconvergeant versx0, et posons pour tout entiern, F(un)−F(x₀)

u_n−x₀ = Z

I

f(un,t)−f(x₀,t) u_n−x₀ d t.

Or, l’hypothèse (i i) nous permet d’utiliser l’inégalité des accroissements finis àx7−→f(x,t) sur l’intervalle ]un,x₀[ et d’obtenir la majoration

¯

f(un,t)−f(x₀,t) u_n−x₀

¯

¯Éϕ(t), valable pour toutn∈Net toutt∈I. D’après l’hypothèse (ii), f(u_n,t)−f(x₀,t)

u_n−x₀ −−−−−→

n→+∞

∂f

∂x(x₀,t).

Commeϕest intégrable, d’après le théorème de convergence dominée, F(un)−F(x₀)

u_n−x₀ = Z

I

f(un,t)−f(x₀,t)

u_n−x₀ d t−−−−−→

n→+∞

Z

I

∂f

∂x(x₀,t)d t.

Fest par conséquent, dérivable surJet pour toutx∈J,F⁰(x)= Z

I

∂f

∂x(x,t)d t.

Nous disposons enfin de toutes les hypothèses sur∂f

∂x pour utiliser le théorème de continuité sous le signe Z

, et prouver ainsi queF⁰est continue.

On peut décliner une version locale de ce théorème en remplaçant (iv) par

(iv) pour tout segment [a,b]⊂J, il existe une fonctionϕintégrable sur I telle que pour tout x∈[a,b],

¯

∂f

∂x(x, .)

¯

¯Éϕ.

CC-INP 30 :

1. Démontrer que la fonctionf :x7−→

+∞Z

0

e^−t²cos (xt) dtest de classeC¹surR.

2. (a) Trouver une équation différentielle linéaire (E) d’ordre 1 dontf est solution.

(b) Résoudre (E) . Exercice :

CC-INP 29 :On pose :∀x∈]0;+∞[ et∀t∈]0;+∞[,f(x,t)=e⁻^tt^x⁻¹.

1. Démontrer que,∀x∈]0,+∞[, la fonctiont7→f(x,t) est intégrable sur ]0;+∞[.

On pose alors,∀x∈]0;+∞[,Γ(x)=Z _+∞

0 e^−tt^x−1dt.

2. Démontrer que,∀x∈]0;+∞[,Γ(x+1)=xΓ(x).

3. Démontrer queΓest de classeC¹sur ]0;+∞[ et exprimerΓ⁰(x) sous forme d’intégrale.

Exercice :

(8)

Enfin, un exemple où la dérivée n’est pas intégrable, difficulté dont on se sort par une intégration par parties. Etudierx7−→

e^{i t x}

1+t²d t, en montrantF⁰(x)=i Z_+∞

0 t e^{i t x} 1+t²d t.

Exercice :

§ 4.

Classe

C^k

d’une intégrale à paramètres.—

Le théorème suivant sera utile pour prouver qu’une fonction définie par une intégrale est de classeC^∞^.

Théorème 2.4

Soitk∈N^∗. SoientIetJdeux intervalles deR,f une fonction définie surJ×I, à valeurs dansK. On suppose que

1. pour toutt∈I,x7−→f(x,t)est de classeC^k^sur^J^, 2. pour toutx∈J,toutj∈[[0,k−1]],t7−→∂^jf

∂x^j(x,t)est intégrable surI, (et donc continue par morceaux), 3. pour tout segment[a,b]⊂J, il existe une fonctionϕintégrable surItelle que

pour toutx∈[a,b]et toutt∈I,

¯

∂^kf

∂x^k(x,t)

¯

¯ Éϕ(t).

Alors, la fonctionF:x7−→

Z

I

f(x,t)d test de classeC^k^sur^J, et vérifie

pour toutj∈[[1,k]]et toutx∈J, F^(j)(x)= Z

I

∂^jf

∂x^j(x,t)d t.

Démonstration : Le cask=1 est le sujet du théorème précédent. Raisonnons par récurrence en supposant que ce théorème est démontré pour un entierk−1Ê1. Prenons une fonctionfcomme dans l’énoncé, et notons∂jf=∂^jf

∂x^j pour toutjpour lequel cela a un sens. Puisquet7−→∂1f(x,t) est intégrable surI, notonsG:x∈J7−→

Z

I∂1f(x,t)d t.

Les hypothèses nous assurent queGest de classeC^k−1surJ. Le seul point délicat est de prouver queF⁰=G, et précisément de montrer que l’hypothèse de domination peut se remonter à toutes les primitives, i.e que l’on peut obetnir une majoration de∂k−1f uniforme enx par une fonction intégrable à a partir d’une majoration de∂kf uniforme enxpar une fonction intégrable. Or, pour toutx∈[a,b] et toutt∈I,

¯

¯∂_k−1f(x,t)¯

¯=

¯

¯ Z _x

a ∂kf(y,t)d y+∂_k−1f(a,t)

¯

¯É(b−a)ϕ(t)+¯

¯∂_k−1f(a,t)¯

¯, et ces deux fonctions sont intégrables surI(par rapport àt) et indépendantes dex∈[a,b].

Voyons une application classique de ce théorème.

SoitΓ:x>07−→

Z_+∞

0 t^x⁻¹e⁻^tdt.

1. Montrer queΓest de classeC^∞^sur^R^∗+et que pour toutx>0 et toutk∈N, Γ^(k)(x)=

Z _+∞

0 (lnt)^kt^x⁻¹e⁻^tdt.

2. En déduire queΓest convexe.

Exercice :

(9)

3. Montrer que ln◦Γest convexe.

4. Montrer queΓ⁰(x) Γ(x)−−−−−→

x→+∞ +∞.

5. Déduire des deux dernières questions que pour toutA∈R,e^Ax = x→+∞o¡

Γ(x)¢ .