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CAPES de Math´ematiques session 2021— ´Epreuve de mise en situation professionnelle
LEC ¸ ON n o 24
Pourcentages et taux d’´evolution. Applications.
Cl´ ement Boulonne
Propositions de plan et de contenu
Derni`ere mise `a jour : 10 novembre 2020
Pr´ eambule
Niveau de la le¸con Transversal
Pr´erequis
Notion de proportionnalit´e, suites num´eriques (suites arithm´etico-g´eom´etriques, limites de suites), logarithmes, probabilit´es conditionnelles, cercle trigonom´etrique, r´esolution d’´equations R´ef´erences
– A.Abouhazim,Pourcentages et taux d’´evolution, 1`ere ES. URL :https://www.logamaths.
fr/docs/1es/AA1ereES_Ch01_Pourcentages-et-taux-d-evolution.pdf
– D. Pinel, Chapitre II : Taux d’´evolution - Indices, Terminale STG. URL : http://
mathemitec.free.fr/index.php
– Unknown,Chapitre 1 : Taux et Indices. Terminale STG. URL :http://profmath55.free.
fr/dotclear/public/TERMSTG/COURS/tauxchap1.pdf
– J.-P.Goulard,Taux d’´evolution. URL :http://blog.ac-versailles.fr/jpgoualard/
public/TCFE-cours-tauxevolutions.pdf
– M.Imbert,Resum´e no1 : POURCENTAGES : proportions, ´evolutions, indices. Terminale STMG. URL :https://www.mimaths.net/IMG/pdf/resume1-pourcentages-indices-2.
– Unknwon, Chapitre I : Evolution en pourcentage. URL :http://maths.maniette.free.
fr/cours/1ES/CH1-evolution_pourcentage.pdf
– Unknown,Chap I : Taux d’´evolution. Terminale STG, Ann´ee 2006-2007, LPO Jean Rostand Mantes-La-Jolie. URL :http://www.lyc-rostand-mantes.ac-versailles.fr/IMG/pdf/
ch1_taux_TSTG2.pdf
– Unknwon,Chapitre 1 : Taux d’´evolution et indice. Terminale STG, 2006-2007, Lyc´ee Arthur Varoquaux, 54510 Tomblaine, Meurthe et Moselle, acad´emie Nancy-Metz. URL : http:
//akbida.free.fr/ressources/2006_2007/TSTGCGRH/chap_01_taux_evolution.pdf – H.Gringoz & al, Manuel Sesamaths, 2nde. Magnard 2019.
– D. Verg`es, BAC ES, Asie 2018, Exercice 3O. URL :https://www.apmep.fr/IMG/pdf/
ES_Asie_21_juin_2018.pdf
– M. Sablik, TD Probabilit´es conditionnelles. IUT Aix-en-Provence, DUT Informatique, Ann´ee 2014-2015. URL :https://www.math.univ-toulouse.fr/˜msablik/CoursIUT/Proba/
2014-2015-Proba-TD3-Conditionnement.pdf
– C. Monie,Construire un diagramme circulaire. URL :http://collmathage.fr
Plan de la le¸ con
1 Pourcentages, proportionnalit´e 2
2 Evolutions et pourcentages´ 3
3 Evolutions successifs et r´´ eciproques 6
4 Taux moyen 7
5 Indices 9
6 Applications 11
7 Compl´ements 16
1 Pourcentages, proportionnalit´ e
1.1 D´efinition
La part d’une partieA d’un toutB est :
nombre d’´el´ements deA nombre d’´el´ements deB. Dire queA vaut t% de B signifie que A
B = t
100, c’est-`a-dire A=B× t 100. D´efinition 24.1.
Dans une classe de 30 ´el`eves, il y a 18 filles. La part des filles dans la classe est : t= 18
30 = 0,6 = 60
100 = 60%. Il y a donc 60% de filles dans la classe.
Exemple 24.2.
On exprime une part ou une proportion de trois fa¸cons :
– enfraction : les trois cinqui`eme de la classe sont des filles.
– enpourcentage : 60% des ´el`eves sont des filles
– en ´ecriture d´ecimale : si la part des filles est la mˆeme parmi les 145 ´el`eves de 1`ere ES-L, alors il y a 0,6×145 = 87 filles en 1`ere ES-L.
Remarque 24.3.
1.2 Prendre un pourcentage d’une quantit´e
Prendret% d’une quantit´e revient `a multiplier celle-ci par t 100. D´efinition 24.4. Prendre un pourcentage d’une quantit´e
Le marchand de vˆetements est g´en´ereux. 4% de ses b´en´efices reviennent `a une association caritative. Pour un pantalon vendu, il faut 1,5e de b´en´efices. Ainsi, il reversera 1,5×1004 = O,06 soit 6 centimes `a l’association caritative.
Exemple 24.5.
1.3 Rapport avec la proportionnalit´e
On peut utiliser untableau de proportionnalit´epour calculer des pourcentages. Il faut juste ramener le total `a 100.
Remarque 24.6.Tableau de proportionnalit´e
On peut illustrer l’exemple 24.2par un tableau de proportionnalit´e : Filles 18 t
Total 30 100 Exemple 24.7.
2 Evolutions et pourcentages ´
2.1 Coefficient multiplicateur d’une ´evolution
Il est question ici d’augmentation de de diminution d’une grandeur ou d’une quantit´e pendant une p´eriode. Connaissant une valeur initiale, on cherche `a d´eterminer la nouvelle valeur li´ee `a l’augmentation ou la diminution : on a alors `a faire avec une´evolution.
Appliquer une augmentation de t% `a une grandeur, revient `a la multiplier par 1 + t 100. Appliquer unediminution de t% `a une grandeur, revient `a la multiplier par 1− t
100. Propri´et´e 24.8.
D´emonstration. ♦Soient Vi etVf deux nombres r´eels strictement positifs. On note Vi la valeur initiale (ou de d´epart) etVf la valeur finale (ou d’arriv´ee) d’une certaine grandeur.
– Si on applique une augmentation de t% `aVi, on obtient : Vf =Vi+t% deVi =Vi+ Vi
100.
On remarque que le facteur commun des deux termes de la somme est Vi donc on peut factoriser par Vi, ce qui donne :
Vf =1 + t 100
×Vi.
On peut faire le mˆeme raisonnement pour l’application d’une diminution de t% `a Vi, on obtient :
Vf =1− t 100
Vi
Une augmentation de 5% revient `a multiplier par : 1 + 5
100 = 1,05.
Une diminution de 8% revient `a multiplier par : 1− 8
100 = 0,92.
Exemple 24.9.
SoientVi etVf les valeurs d’une grandeur `a deux dates diff´erentes. Les coefficients : k=1 + t
100
ou k=1− t 100
s’appellent lescoefficients multiplications qui permettent de passer deVi `a Vf. Ce qui donne dans les deux cas :
Vf =k×Vi. D´efinition 24.10.
Un objet vaut 12e. Son prix a augment´e de 4%. Son prix apr`es augmentation est de : 12×
1 + 4 100
= 12×1,04 = 12,48e. Exemple 24.11.
– Uneaugmentation correspond `a un coefficient multiplicateur k >1.
– Unediminution correspond `a un coefficient multiplicateur 0< k <1.
– Coefficient multiplicateursera abr´eg´e par CM Remarques 24.12.
2.2 Taux d’´evolution
Soit Vi etVf les valeurs d’une grandeur `a deux dates diff´erentes. Alors letaux d’´evolution T qui permet de passer de Vi `aVf est d´efini par :
T = Vf −Vi Vi .
Le taux d’´evolution exprim´e enpourcentage de Vi `a Vf est ´egal `a t% o`u : t=T×100 ou encore :t= Vf −Vi
Vi
×100. D´efinition 24.13.
Un smartphone a vu son prix augment´e de 250e `a 280e. Pour d´eterminer le pourcentage d’augmentation, on peut r´esoudre l’´equation d’inconnue p suivante :
2501 + p 100
= 280⇔1 + p
100 = 280 250
⇔ p
100 = 1,12−1⇔p= 12.
Le prix du smartphone a augment´e de 12%.
Exemple 24.14.
En appliquant la formule donn´ee pr´ec´edemment, on obtient : t= 280−250
250 ×100 = 30
250×100 = 12. Remarque 24.15.Application de la formule
On reprend les notations de la d´efinition pr´ec´edente.
– Vf −Vi s’appelle lavariation absolue; – Vf −Vi
Vi s’appelle lavariation relative. D´efinition 24.16.Variations
– Uneaugmentation correspond `a un taux d’´evolution positif :T >0.
– Unediminution correspond `a un taux d’´evolution n´egatif :T <0.
Remarque 24.17.Signe du taux d’´evolution
Soient Vi et Vf les valeurs d’une grandeur `a deux dates diff´erentes. Alors le taux d’´evolution T et le CMk sont li´es par les formules suivantes :
T =k−1 ou encorek= 1 +T.
Propri´et´e 24.18. CM vs taux d’´evolution
D´emonstration. ♦On sait que k= Vf
Vi donc : T = Vf −Vi
Vi = Vf Vi
− Vi
Vi =k−1.
D’o`u T =k−1 etk= 1 +T.
Une augmentation de 15% entre deux dates, correspond `a un taux d’´evolution T = 15% = 15
100 = 0,15 et un CM : k= 1 +T = 1 + 0,15 soit k= 1,15.
Exemple 24.19.
3 Evolutions successifs et r´ ´ eciproques
3.1 Evolutions successifs´
Soitnun nombre entier naturel non nul. SoientV0,V1,. . .,Vnles valeurs d’une grandeur sur np´eriodes successives correspondant `a des taux d’´evolutionT1,T2,. . .,Tnet des coefficients multiplicateursk1,k2,. . .,kn respectivement.
Alors, lecoefficient multiplicateur globalentreV0etVnest ´egal au produit des coefficients multiplicateurs de cette p´eriode :
k=k1×k2× · · · ×kn. Letaux d’´evolution global est :
T = (1 +T1)×(1 +T2)× · · · ×(1 +Tn)−1. D´efinition 24.20.
D´emonstration. ♦Par d´efinition d’un coefficient multiplicateur, on sait que V1 =k1×V0,V2 = k2×V1 et ainsi de suite jusqu’`a Vn=kn×Vn−1.
Donc, par multiplications successives, on obtient :
Vn=k1×k2× · · · ×kn×V0.
En rempla¸cant chaque coefficient multiplicateur par son expression en fonction du taux d’´evolution associ´e, on obtient le deuxi`eme r´esultat.
Un article subit une baisse de 10% puis une baisse de 20%. Le coefficient multiplicateur global est ´egal `a c= 0,9×0,8 = 0,72. Ainsi, le taux d’´evolution v´erifie l’´equation suivante :
1 +t= 0,72⇔t= 0,72−1 =−0,28
soit en pourcentagep=−0,28×100 =−28%. L’article a donc subi une baisse globale de 28%.
Exemple 24.21.
Un objet coˆute 20e. Il a subit une augmentation de 15% de son prix. Faut-il diminuer son prix de 15% pour retrouver le prix initial avant hausse ?
Pour cela, on calcule le prix de l’objet apr`es l’augmentation de 15%. Le CM correspondant Exemple 24.22.Important pour la suite !
`a une augmentation de 15% est de 1 + 0,15 = 1,15. Ainsi, 20×1,15 = 23e.
Maintenant, on va appliquer une baisse de 15% au prix apr`es augmentation. Le CM corres- pondant `a une baisse de 15% est de 1−0,15 = 0,85. Ainsi,
23×0,85 = 19,55e.
On constate qu’on ne revient pas au prix initial.
Attention ! L’op´erationinversed’augmentation de 15% ne correspond pas `a une dimi- nution de 15%.
Augmenter de 15% puis diminuer de 15% revient `a une diminution globale de 2,25%
(faire le calcul en exercice).
Remarque 24.23.
3.2 Evolutions r´´ eciproques
Soient V0 et V1 les valeurs d’une grandeur `a deux dates diff´erentes. Les ´evolutions qui permettent de passer de V0 `a V1 d’une part et de V1 `a V0 d’autre part, s’appellent des
´evolutions r´eciproquesl’une de l’autre.
D´efinition 24.24.
Une ´evolution permet de nous ramener `a la valeur de d´epart.
Remarque 24.25.
Les coefficients multiplicateurs de deux ´evolutions r´eciproques sont inverses l’un de l’autre.
Soient V0 et V1 les valeurs d’une grandeur `a deux dates diff´erentes. On note T (resp. T0) le taux d’´evolution et k (resp. k0) le coefficient multiplicateur qui permettent de passer de V0 `a V1 (resp. deV1 etV0). Alors :
k0 = 1
k et T0= 1
1 +T −1. Propri´et´e 24.26.
D´emonstration. ♦ D’une part le coefficient multiplicateur de V0 `a V0 est ´egal `a 1. Et d’autre part, il est ´egal au produit des coefficient multiplicateurs ketk0. Donc kk0 = 1. On en d´eduit :
k0 = 1
k et par suite 1 +T0= 1 1 +T. D’o`u les deux r´esultats.
4 Taux moyen
4.1 Moyenne g´eom´etrique
Soientaetα deux nombres strictement positifs et nun entier naturel non nul.
Le nombre a1/n est la solution positive de l’´equation (d’inconnue α) suivante : αn=a.
D´efinition 24.27.Exposant 1/n
On peut aussi noter l’exposant 1/ncomme ´etant la racinen-i`eme du nombre √n . Remarque 24.28.
– La racine carr´ee √
2 est solution positive de l’´equation x2 = 2. On peut la noter 21/2. – Le nombre 41/5 est solution positive de l’´equation x5 = 4. Il vaut environ 1,32 (arrondi
`a 10−2 pr`es).
Exemples 24.29.
La moyenne g´eom´etrique de n r´eels strictement positifs a1, a2, . . ., an est le nombre (a1a2· · ·an)1/n.
D´efinition 24.30.Moyenne g´eom´etrique
– La moyenne g´eom´etrique de 3 et 5 est (3×5)1/2=√
15≈3,87.
– La moyenne g´eom´etrique de 2, 5 et 7 est (2×5×7)1/3 ≈4,12. Exemples 24.31.
4.2 Taux moyen
Soit n un entier naturel. Soient V0, V1, . . ., Vn les valeurs d’une grandeur sur n p´eriodes successives corresponds `a des taux d’´evolutionsT1,T2,. . .,Tn. On note :
TG= (1 +T1)×(1 +T2)×(1 +Tn) le taux global associ´e aux n´evolutions successives.
On d´efinit le taux moyen correspondant `a ces n ´evolutions successives, le nombre TM tel que :
(1 +TM)n= 1 +TG. D´efinition 24.32.
D’apr`es la d´efinition de l’exposant 1/n, on obtient : TM = pn 1 +TG−1. Remarque 24.33.
On s’int´eresse `a une quantit´e A qui subit, par exemple, 4 ´evolutions successives de taux 5%, 10%, 7% et 12%. Cette quantit´e devient apr`es les 4 ´evolutions la nouvelle quantit´eB :
B = (1 + 0,12)×(1 + 0,07)×(1 + 0,1)×(1 + 0,05)×A≈1,384×A, ce qui correspond `a une ´evolution globale de 38,4%.
Le taux d’´evolution moyen des 4 ´evolutions successives est lamoyenne g´eom´etriquedes 4 taux. Ainsi :
(1 +TG)4= 1 + 0,384⇔1 +TG=p4 1,384⇔1 +TG≈1,085⇔TG= 0,085, soit un taux d’´evolution moyen `a 9,4%.
Exemple 24.34.
Pour une hausse annuelle de 15%, on cherche le tauxmensuel moyentm. C’est le taux appliqu´e 12 fois de suite, et qui donne un taux global tg=−15%.
On r´esout donc l’´equation suivante :
(1 +tm)12= 1−0,15⇔(1 +tm)12= 0,85⇔1 +tm= 0,851/12
⇔tm = 12p0,85−1≈ −0,0135 soit en pourcentage, une baisse mensuelle moyenne de 1,35%.
Exemple 24.35.
5 Indices
5.1 D´efinition et propri´et´es
On appelleindice d’une quantit´ey2 par rapport `a une quantit´ey1 le nombre : I = 100×y2
y1
Sitest le taux d’´evolution de y2 par rapport `ay1 alors 100(1 +t) =I. D´efinition 24.36.
Un indice de 112 correspond `a une augmentation de 12%.
Exemple 24.37.
– Un indice est toujours strictement positif.
– Un indice plus grand que 100 correspond `a une hausse.
– Un indice plus petit que 100 correspond `a une baisse.
Propri´et´e 24.38.
L’int´erˆet des indices est de tout ramener `a 100 afin de mieux voir et comparer les
´evolutions.
Remarque 24.39.
5.2 Un exercice d’application pour l’utilisation des indices
Voici la consommation de p´etrole de trois pays en millions de tonnes entre 1992 et 2011.
Ann´ee 1992 1998 2002 2008 2011
´Etats-Unis 792 854 891 889 834
Chine 123 190 246 380 462
France 94 92 94 91 83
On va calculer les indices (par pays), base 100 en 1992, arrondis `a 0,1 pr`es pour comparer l’´evolution de la consommation dans ces trois pays.
On calcule, par exemple, l’indice en 1998 par rapport `a 1992. On a : I98/92= 854
792×100 = 107,8.
Cela signifie que la consommation de p´etrole des ´Etats-Unis a augment´e de 7,8% entre 1992 et 1998.
En calculant tous les indices des ann´ees pr´esentes par rapport `a 1992 de chaque pays, on obtient le tableau suivant :
Ann´ee 1992 1998 2002 2008 2011
´Etats-Unis 100 107,8 112,5 112,5 105,3 Chine 100 154,5 200 308,9 375,6
France 100 97,9 100 96,8 88,3
On peut interpr´eter les r´esultats du tableau pr´ec´edent :
– La consommation des ´Etats-Unis a continu´e `a augmenter dans le d´ebut des ann´ees 1990 puis s’est stabilis´e et tend `a diminuer l´eg`erement en 2011.
– La consommation en France a peu ´evolu´e ces derni`eres ann´ees, avec une baisse plus nette en 2011.
– La consommation de la Chine explose et est en continuelle hausse (+275,6% en 20 ans ! !)
5.3 Le point de pourcentage
Unpoint de pourcentage est une unit´e utilis´ee pour d´esigner la diff´erence arithm´etique entre deux pourcentages appliqu´ees `a la mˆeme grandeur.
Une taxe qui passe de 5,5% `a 11% va doubler. Donc elle subit une augmentation de 100% en pourcentage. Par contre, on dira qu’elle a subit une augmentation de 5,5 points de pourcentage, et non une augmentation de 5,5%.
Exemple 24.40.
L’augmentation de pourcentage de 5,5% appliqu´ee au pourcentage 5,5% est : Vf = 5,5×
1 + 5,5 100
= 5,8025. Remarque 24.41.
6 Applications
6.1 Application de la TVA
Le prix HT (Hors Taxe) d’un objet est de 500e. Le taux de TVA (Taxe `a la valeur ajout´ee) appliqu´ee sur produit est de 19,6%. Quel est le prix TTC (toutes taxes comprises) de ce produit ?
Exercice 24.41.
Solution. ♦ On applique un coefficient multiplicateur de 1 + 19,6
100 = 1,196 au prix initial de l’objet :
500×1,196 = 598. Le prix TTC de l’objet est de 598e.
6.2 Croissance du PIB
Un chef d’´etat souhaiterait que la croissance du PIB de son pays atteigne 2% sur l’ann´ee.
Les ´etudes comptables montrent que le PIB a augment´e de 0,5% au premier trimestre, diminu´e de 0,2% au deuxi`eme trimestre puis augment´e de 1,1% au troisi`eme trimestre.
Quelle doit ˆetre l’´evolution minimale au cours du dernier trimestre de l’ann´ee pour que le chef d’´etat atteigne ses objectifs ? Arrondir le r´esultat `a 0,1% pr`es.
Exercice 24.41.
Solution. Soittle taux d’´evolution du PIB au cours du dernier trimestre par rapport au troisi`eme trimestre. Il faut r´esoudre l’in´equation :
(1 + 0,005) (1−0,002) (1 + 0,011)1 + t 100
>1 + 0,02
⇔1,005×0,998×1,0011×
1 + t 100
>1,02
⇔1,0040931 + t 100
>1,02⇔1 + t
100>1,015842⇔ t
100>0,015842 soit t = 1,58%. Il faut au minium que l’´evolution du PIB du dernier trimestre par rapport au troisi`eme soit d’environ 1,6%.
6.3 Indices de r´ef´erences des loyers
L’IRL a ´et´e fix´e `a 100 au 2`eme trimestre 2004 et est r´e´evalu´e chaque trimestre par l’INSEE.
Il permet de r´eviser au loyer d’habitation.
P´eriode Ann´ee Valeur Date de parution 2`eme Trimestre 2004 100,0 15/10/04 3`eme Trimestre 2004 100,75 14/01/05 4`eme Trimestre 2004 101,45 12/04/05 1er Trimestre 2005 102,1 08/07/05 2`eme Trimestre 2005 102,6 14/10/05 3`eme Trimestre 2005 103,07 10/01/06 4`eme Trimestre 2005 103,78 07/04/06 1er Trimestre 2006 104,61 11/07/06
Soit un bail de location sign´e le 1er janvier 2005 pour un loyer mensuel de 480e, r´evisable annuellement `a la date anniversaire du contrat. Le dernier indice connu `a cette date est celui du deuxi`eme trimestre de 2004 publi´e le 15 octobre 2004. Sa valeur est 100.
Le 1er janvier 2006 intervient la premi`ere r´evision du loyer, le dernier indice connu est celui du 2`eme trimestre 2005, il est de 102,6.
Le nouveau montant du loyer sera donc de 480×102,6
100 = 492,48 e.
6.4 Etude d’une population de loup (suites arithm´´ etico-g´eom´etrique)
Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population de loups croit naturellement au rythme de 12% par an. Pour r´eguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs `a tuer un quota de 18 loups par an.
On mod´elise la population par une suite (un) le terme un repr´esentant le nombre de loups de ce pays en 2017+n.
1. a) Avec ce mod`ele, v´erifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 est de 318.
b) Justifier que, pour tout entiern∈N,un+1 = 1,12un−18.
2. Recopier et compl´eter l’algorithme suivant pour qu’il d´etermine au bout de combien d’ann´ees la population de loups aura doubl´e.
Exercice 24.41.BAC ES Asie 2018, Exercice 3
N < -0 U < -300
T a n t que . . . f a i r e U < - . . . .
N < - . . . . Fin T a n t que
3. On d´efinit la suite (vn) par vn=un−150 pour tout n∈N.
a) Montrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1,12. Pr´eciser son terme initial.
b) Exprimer, pour toutn∈N,vn en fonction de n. En d´eduireun en fonction de n. c) Quelle est la limite de la suite (un) ? Justifier. Que peut-on en d´eduire ?
4. a) R´esoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’in´equation : 150 + 1,12n×150>600.
b) Interpr´eter le r´esultat pr´ec´edent dans le contexte de l’´enonc´e.
5. En 2023, avec ce mod`ele, la population de loups est estim´ee `a 446 loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle d´ecision sera prise par le gouvernement : afin de g´erer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs `a tuer un quota de 35 loups par an.
En quelle ann´ee la population de loups d´epassera-t-elle 600 loups ? Toute trace de re- cherche sera valoris´ee dans cette question.
Solution. ♦
1. a) Le nombre de loups en 2017 ´etait de 300. Elle augmente de 12% chaque ann´ee, donc en 2018, la population de loups sera de :
300 + 300× 12
100−18 = 300 + 36−18 = 336−18 = 318.
b) Le coefficient multiplicateur qui traduit une augmentation de 12% est de 1 + 12 100 = 1,12. Ainsi, pour passer de la population un d’une ann´ee pass´ee `a celle de l’ann´ee suivante un+1, il faut multiplier par le facteur 1,12. De plus, les chasseurs tuent 18 loups par an donc :
un+1= 1,12×un−18.
2. L’algorithme suivant permet de d´eterminer au bout de combien d’ann´ees la population de loups aura doubl´e.
N < -0 U < -300
T a n t que U < 600 f a i r e U < - 1 . 1 2 * U -18 N < - N +1
Fin T a n t que
L’algorithme nous donne comme r´esultat N = 10. Conclusion : au bout de 10 ans, la population de loups aura doubl´e.
3. a) On a :
vn+1 =un+1−150⇔vn+1= (1,12un−18)−150⇔vn+1= 1,12un−168 vn+1 = 1,12un− 168
1,12
⇔vn+1= 1,12(un−150) = 1,12vn. Ainsi (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1,12. De plus,v0 =u0−150 = 300− 150 = 150.
b) Comme (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1,12 et de premier terme v0 = 150, on a :
vn= 150×1,12n.
On peut ainsi d´eduire l’expression deun en fonction de n:
vn=un−150⇔un=vn+ 150⇔un= 150×1,12n+ 150.
c) D’apr`es le cours, on a limn→+∞1,12n = +∞ car 1,12 > 1. Donc la suite (un) a pour limite +∞. La population de loup ne cessera de croˆıtre sur le long terme.
4. a) On souhaite r´esoudre l’in´equation suivante :
150×1,12n+ 150>600⇔150×1,12”n >450⇔1,12n> 450
150 ⇔1,12n>3
⇔ln(1,12n)>ln(3)⇔nln(1,12)>ln(3)
⇔n > ln(3)
ln(1,12) ⇔n >9,69.
b) Ainsi, au bout de la dixi`eme ann´ee (en 2027), la population de loups aura doubl´e.
5. Soit la suite (wn) qui mod´elise la population des loups `a partir de 2023 avec un quota de 35 loups tu´es par an. On a ainsi :
(w0 = 446
wn+1= 1,12wn−35.
Avec la calculatrice, on peut conjecturer qu’au bout de la septi`eme ann´ee (en 2030) la population de loups aura d´epass´e 600 loups.
Pour d´emontrer que la conjecture est vraie, il faut avoir l’expression en fonction dend’une suite auxiliaire (zn) qui s’exprime en fonction de (wn) et qui serait g´eom´etrique de raison 1,12. La suite auxiliaire (zn) est de la forme :
zn=wn+q.
Comme la suite (zn) est g´eom´etrique de raison 1,12, on a : zn+1=wn+1+q = 1,12wn−35 +q Ainsi :
zn+1= 1,12zn⇔1,12wn−35 +q = 1,12(wn+q)⇔ −35 = 0,12q⇔q = −35 0,12 Ainsi : zn = wn− 35
0,12. On a alors : z0 = 446− 0,1235 = 4633 et on peut exprimer (zn) en fonction den:
z = 463
×(1,12)n.
On a alors :
zn=wn−875
3 ⇔wn=zn+875
3 ⇔wn= 463
3 ×(1,12)n+875 3 .
Pour trouver le nombre minimal d’ann´ees pour que la population de loups soit sup´erieur `a 600, il nous faut r´esoudre l’in´equation suivante :
463
3 ×(1,12)n+875
3 >600⇔ · · · ⇔n≥7. (la r´esolution de l’in´equation est laiss´ee en exercice).
On retrouve le r´esultat de la conjecture. Selon ce nouveau mod`ele, le nombre de loups aura d´epass´e les 600 animaux en 2030.
6.5 Probabilit´es conditionnelles
Dans une population Ω, deux maladies M1 et M2 sont pr´esentes respectivement chez 10% et 20% des individus. On suppose que le nombre de ceux qui souffrent des deux maladies est n´egligeable. On entreprend un d´epistage syst´ematique des maladies M1 et M2. Pour cela, on applique un test qui r´eagit sur 90% des malades de M1, sur 70% des malades M2 et sur 10%
des individus qui n’ont aucune de ces deux affections.
1. Quand on choisit au hasard un individu ω dans Ω, quelle est la probabilit´e pour que le test r´eagisse ?
2. Sachant que pour un individu ω, le test a r´eagi, donner les probabilit´es : – pour que le test ait r´eagit `a cause de la maladie M1.
– pour que le test ait r´eagit `a cause de la maladie M2.
– pour que le test ait r´eagit alors que l’individu n’est infect´e par aucune des deux maladies.
Exercice 24.41.
Solution. ♦On note les ´ev´enements suivants :
– M1 :l’individu choisi est atteint de la maladie M1
– M2 :l’individu choisi est atteint de la maladie M2 – N :l’individu choisi n’est atteint par aucune maladie – R :le test r´eagit
On peut faire un arbre de probabilit´e pour r´esumer les donn´ees de l’´enonc´e :
M1
R
R
M2
R
R
M3
R
R 0,1
0,9 0,1
0,2
0,7 0,3
0,7
0,1 0,9
1. Les ´ev´enements M1,M2 etN forment un syst`eme complet dans l’univers Ω, on peut donc utiliser la formule des probabilit´es totales :
P(R) =P(M1∩R) +P(M2∩R) +P(N∩R)
=P(M1)PM1(R) +P(M2)PM2(R) +P(N)PN(R)
= 0,1×0,9 + 0,2×0,7 + 0,7×0,1 = 0,09 + 0,14 + 0,07 = 0,3. Il y a 30% de chance que l’individu choisi ait un test qui r´eagit.
2. a) On calcule :
PR(M1) = P(M1∩R)
P(R) = 0,09
0,3 = 0,3.
La probabilit´e que le test r´eagit `a cause de la maladie M1 est de 0,3.
b) On calcule :
PR(M2) = P(M2∩R)
P(R) = 0,14
0,3 ≈0,47.
La probabilit´e que le test r´eagit `a cause de la maladie M2 est d’environ 0,47.
c) On calcule :
PR(N) = P(N∩R)
P(R) = 0,07
0,3 ≈0,23.
La probabilit´e que le test r´eagit alors que l’individu ne soit pas infect´e par aucune des deux maladies est d’environ 0,23.
7 Compl´ ements
7.1 Approximation des petits taux
7.1.1 Deux ´evolutions successives de mˆeme taux
Lorsque t est petit, le taux d’´evolution global de deux ´evolutions successives de taux t est environ ´egal `a 2%.
Propri´et´e 24.42.
On consid`ere deux ´evolutions successives de taux 1%. La valeur initiale Vi devient : Vf = (1 + 0,01)2×Vi = 1,0201×Vi
que l’on peut arrondir `a 1,02×Vi.
Ceux deux ´evolutions correspondent donc `a une ´evolution globale de taux environ 2×1%.
Exemple 24.43.
7.1.2 Evolution r´´ eciproque
Lorsque test petit, le taux d’´evolution r´eciproque d’une ´evolution de tauxt est environ ´egal `a
−t.
Propri´et´e 24.44.
On consid`ere une ´evolution entre Vi etVf de taux 2%. On a :Vf = (1 + 0,02)Vi et donc : Vi = 1
1 + 0,02Vf ≈0,98×Vf = (1−0,02)×Vf. Le taux d’´evolution r´eciproque deVi par rapport `a Vf est donc environ −2%.
Exemple 24.45.
7.2 Addition de deux pourcentages
Pour introduire le paragraphe´Evolutions successives, on peut faire la remarque suivante :
Les pourcentages d’augmentations et de diminutions ne s’ajoutent pas.
Remarque 24.46.
Reprenons l’exemple24.21.
Un article subit une baisse de 10% puis une baisse de 20%. Cela ne correspond pas `a une baisse de 30%. Supposons que l’article coˆute p0 = 10e avant les r´eductions successives. Si on lui applique une baisse de 10%, on a un nouveau prix p1 = 0,9×p0 = 0,9×10 = 9 e. Ensuite, on lui applique une baisse de 20%, le nouveau prix p2 = 0,8×p1= 0,8×9 = 7,2e.
Si les deux baisses successives de 10% puis de 20% correspondait `a une baisse globale de 30% du prix, on aurait :
p2= 0,7×p0 = 0,7×10 = 76= 7,2.
Ainsi, les pourcentages d’augmentations et de diminutions ne s’ajoutent pas.
Exemple 24.47.
7.3 Diagramme circulaire
Le diagramme circulaire lie la notion de cercle et de pourcentages.
Un diagramme circulaire sert `a repr´esenter graphiquement des r´epartitions, des parts.
D´efinition 24.48.
Dans un diagramme circulaire, l’angle de chaque secteur est proportionnel `a l’effectif qu’il repr´esente.
Propri´et´e 24.49.
Par exemple, `a 100% correspond `a un angle de 360°, 50% correspond `a 180%.
Dans un club r´eunissant 120 licenci´es, la r´epartition est la suivante : – basket : 15 licenci´es ;
– football : 35 licenci´es ; – handball : 20 licenci´es ; – rugby : 30 licenci´es ; – volley-ball : 20 licenci´es.
On veut repr´esenter cette r´epartition `a l’aide d’un diagramme circulaire. Pour cela, on construit un tableau de proportionnalit´e avec le nombre de licenci´es par sport et l’angle du secteur qu’il repr´esentera dans le diagramme circulaire.
Sport basket foot hand rugby volley Total
Nombre de licenci´es 15 35 20 30 20 120
Angle 45° 105° 60° 90° 60° 360°
La troisi`eme ligne peut se remplir progressivement si on calcule le coefficient de proportionnalit´e (passage de la deuxi`eme ligne `a la troisi`eme ligne) :
360 120 = 3.
On peut ainsi tracer le diagramme circulaire `a l’aide du compas, de la r`egle et du rapporteur.
Exemple 24.50.
