DS2 taux d’´ evolution, probas.

DS2 taux d’´ evolution, probas.

Correction.

Probas : les formules ` a savoir

Soient A et B des ´ev´enements d’un univers Ω dont les ´eventualit´es sont ´equiprobables.

p(A) = ^{nombre d0}elements de A nombre d⁰elements de Ω. 0≤p(A)≤1.

p(Ω) = 1.

p(A) = 1−p(A).

p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B) p_B(A) = ^p(A∩B)_p(B)

Aet B ind´ependants ssip(A∩B) =p(A)p(B).

Correction du D.S.2

Exercice 1

1. t₁= ^Vsept2005_V ^−Vaout2005

aout2005

t₁= ^2673−2708₂₇₀₈ ≈ −0.01292, soit en pourcentage t₁≈ −1.292%.

2. On cherchex le nombre de demandeurs d’emploi en juin 2005. On a :

2706 = (1 +t₀)x = (1−0.00952)x donc x = _1−0.00952²⁷⁰⁶ ≈ 2732. Il y avait 2732 demandeurs d’emploi en juin 2005.

3. SoitT le taux global.T = ^{Vjuin2006−V}juillet2005

Vjuillet2005

T = ^2465−2706₂₇₀₆ ≈ −0.08906, soit en pourcentaget≈ −8.906%.

Le taux moyen t_M v´erifie 1 +T = (1 +t_M)¹¹ donc t_M = (1 +T)^1/11−1 et donc t_M ≈ −0.00844 soit en pourcentaget_M ≈ −0.844%.

Exercice 2

1. r´eponse c) (on utilise la formuleI_2/1 = 100(1 +t) et tvaut ici -0.55).

2. r´eponse a) (le taux vaut -0.55%, ce qui est petit, donc on utilise l’approximation des petits taux : le taux r´eciproque vaut environ +0.55%).

3. r´eponse b) (les deux taux successifs valent 0.36%, ce qui est petit, donc on utilise l’approximation des petits taux : le taux global vaut environ 2×0.36% = 0.72%).

4. r´eponse c) pas d’approximation possible ici. La formuleT = (1+t₁)(1+t₂)−1 donne T ≈85%.

Exercice 3

1. Un exemple d’´ev´enement ´el´ementaire : ”le jeton tir´e est orange et num´erot´e 3”. Autre exemple :V ∩A avec les notations du 2.

Un exemple d’´ev´enement impossible : ”le jeton tir´e est orange et num´erot´e 4”=O∩D.

2. On note Ω ={V1, V2, V3, V4, R3, R4, R5, N1, N2, N3, O2, O3}o`uV1 par exemple d´esigne le jeton vert num´ero 1. Alors on aA=V1, N1.

3. – V ∩A=”Le jeton tir´e est vertet num´erot´e 1”.

– R∩B=”Le jeton tir´e est rouge et num´erot´e 2”.

– R∪O=”Le jeton tir´e est vertou orange”.

– B=”Le jeton tir´e n’est pas num´erot´e 2”.

– A∩V=”Le jeton tir´e est vert et n’est pas num´erot´e 1”.

4. a) O b) V ∪O

c)N∩B d) V ∪A Exercice 4

Filles Gar¸cons Total

Moins de 20 ans 132 72 204

Entre 20 et 25 ans 223 194 417

Plus de 25 ans 85 94 179

Total 440 360 800

il y a 440 filles sur 800 clients.p(A) = ⁴⁴⁰₈₀₀ = ¹¹₂₀.

il y a 417 personnes entre 20 et 25 ans sur 800 clients.p(B) = ⁴¹⁷₈₀₀. C : ”le client est une fille qui a entre 20 et 25 ans”.

Il y a 223 filles entre 20 et 25 ans sur 800 clients. Doncp(C) = ²²³₈₀₀. Pour calculer p(A∪B), on utilise la formule

p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B).

p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(C) = 440+417−223

800 = ²⁹⁷₄₀₀.

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