I. 107 p155 I. 107 p155 : taux global et taux moyen : taux global et taux moyen

(1)

T°ES/LSPÉ SÉANCE DU JEUDI 19 MARS 2020

I. 107 p155 : taux global et taux moyen ... 1

II. 127 p160 : QCM ... 2

III. Exercice 1 Antilles-Guyane, septembre 2019 ... 3

IV. Exercice 4 Liban, mai 2018 ... 4

I. 107 p155 I. 107 p155 : taux global et taux moyen : taux global et taux moyen

a) On note t le taux d’évolution global cherché : 1+t=

(

¹⁻¹⁰⁰¹⁰

)(

¹⁻¹⁰⁰⁷

)(

¹⁻¹⁰⁰⁸

)

t=0,9×0,93×0,92−1 t=−0,22996

Le taux d’évolution global sur la période 2009-2011 est donc de −22,996%.

b) On note ^tm le taux d’évolution moyen en pourcentage :

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

³=0,9×0,93×0,92 donc

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

³^{=0,77004 .}

c)

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

³^=0,77004^⇔ ¹⁻¹⁰⁰^t ⁼^0,77004¹³ ^⇔ ¹⁰⁰^t ⁼¹⁻^0,77004¹³ ^⇔ t=100(1−0,77004

1 3) soit t ≈ 8,3418

Le taux (annuel) moyen est donc d’environ 8,34 %.

Remarque : on pourrait, maintenant qu’on a vu le chapitre sur les exponentielles et la fonction ln, faire autrement.

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

³^=0,77004^⇔ ^ln

( ⁽

¹⁻¹⁰⁰^t

⁾

³

)

=ln(0,77004)

⇔ ^{3 ln}

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

⁼^ln⁽^0,77004⁾

⇔ ^ln

(

¹⁻¹⁰⁰^t

)

⁼^ln(0,77004³ ⁾

(2)

II I I. . 127 p160 127 p160 : QCM : QCM

1. => réponse A

k est la composée de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+∞ [ donc k est dérivable sur ]0 ;+∞[. En posant u(x)=1+lnx, on a k=e^u et donc k '=u 'e^u.

u '(x)=0+1 x=1

x k '(x)=1

x×e^1+ln^x

x ∈ ]0 ;+∞ [ donc x>0 et donc k '(x)>0, donc k est strictement croissante sur ]0 ;+∞ [. 2. => réponse B

L’inéquation ln(1−x)>0 est définie lorsque 1−x>0, c’est-à-dire lorsque x<1. Pour tout réel x ∈ ^]−∞;1[ :

ln(1−x)>0 ⇔ ln(1−x)>ln1

⇔ ¹−x>1

⇔ 1−1>x

⇔ 0>x

Donc les solutions sont les réels x tels que x<1 et 0>x, autrement dit tels que x<0. 3. => réponse A

e^ln^a+^lnb=e^ln^a×e^ln^b=a×b=ab

4. => réponse A

ln(3a)−lna=ln

(

³^a^a

)

⁼^{ln 3}

5. => réponses B et C

Réponse B : vérification à la calculatrice

Réponse C : 1+ln(e+1)=ln(e)+ln(e+1)=ln(e(e+1))=ln(e²+e)

Réponse A fausse : si la réponse A était vraie, on aurait ln(e²+e)=ln(e²)+ln e ln(e²+e)=3

e²+e=e³.

Or, e³=e²×e donc e²+e=e²×e donc e=e²×e−e² donc _e=e²₍_e−1) donc 1=e(e−1). Or ceci est impossible, puisque e−1<0 et e>0, donc e(e−1)<0…

6. => réponse B

Pour tout entier naturel n:

u_n+1=e⁻⁽ⁿ⁺¹^{)ln 2}=e⁻ⁿ^{ln 2}^–^{ln 2}=e^{−nln 2}×e^{−ln 2}=un×e^ln

(

¹2

)

_=u

n×1

2 donc (u_n) est géométrique de raison ¹ 2 .

(3)

III I II. . Exercice 1 Antilles-Guyane, septembre 2019 Exercice 1 Antilles-Guyane, septembre 2019

Correction :

(4)

IV. Exercice 4 Liban, mai 2018 IV. Exercice 4 Liban, mai 2018

(5)

Correction :

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T°ES/LSPÉ SÉANCE DU JEUDI 19 MARS 2020

I. 107 p155 I. 107 p155 : taux global et taux moyen : taux global et taux moyen

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II I I. . 127 p160 127 p160 : QCM : QCM

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III I II. . Exercice 1 Antilles-Guyane, septembre 2019 Exercice 1 Antilles-Guyane, septembre 2019

IV. Exercice 4 Liban, mai 2018 IV. Exercice 4 Liban, mai 2018

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