iii. Volume horaire/Temps

Note

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http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

I. Analyse 1 ________________________________________________ 3 II. Prérequis/connaissances préalables nécessaires __________________ 3 III. Volume horaire/temps ______________________________________ 3 IV. Matériel didactique _________________________________________ 3 V. Justification/importance du module ____________________________ 3 VI. Contenu _________________________________________________ 4 6.1 Aperçu________________________________________________ 4 6.2 Grandes lignes _________________________________________ 5 6.3 Représentation graphique _________________________________6 VII. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage ________________ 7 VIII. Activités d'enseignement et d’apprentissage _____________________ 7 IX. Activités d’apprentissage ___________________________________ 11 X. Concepts-clés (glossaire) ___________________________________ 43 XI. Lectures obligatoires ______________________________________ 49 XII. Ressources obligatoires ____________________________________ 50 XIII. Synthèse du module _______________________________________ 51 XIV. Évaluation sommative ______________________________________ 52 XV. Références bibliographiques ________________________________ 61 XVI. Auteur principal du Module __________________________________ 61

Table des maTières

i . analyse 1

Par le professeur Jairus M. Khalagai

ii. Pré requis/ connaissances préalables nécessaires

Unité 1 : Analyse de la droite réelle

Mathématique de bases et calcul Unité 2 : Analyse Vectorielle

Calcul

Unité 3 : Analyse Complexe Calcul et Analyse unité 1

iii. Volume horaire/Temps

120 heures d’études.

iV. matériel didactique

Les étudiants doivent avoir accès aux lectures essentielles spécifiées plus tard. Ils auront également besoin d’un ordinateur afin d’accéder pleinement aux lectures essen- tielles. En plus, les étudiants doivent être capables d’installer le logiciel informatique wxMAxima et l’utiliser afin de pratiquer les notions algébriques.

V. Justification du module

La logique derrière l’enseignement de l’analyse est de fixer le minimum de contenu de Mathématiques Pures nécessaires au 1^er cycle universitaire pour les étudiants en mathématiques. Il est important de noter que la capacité à prouver des expressions mathématiques est un aspect que les apprenants de Mathématiques doivent acquérir.

Cette capacité à donner une preuve claire et complète d’un théorème est essentielle pour l’apprenant afin qu’il puisse arriver aux détails complets et la rigueur de l’ana-

lyse de concepts mathématiques. En effet, c’est dans Analyse que l’apprenant reçoit l’exposition du sujet ainsi que les techniques de preuves. On note aussi que si un cours comme le Calcul, avec ses applications à grandes échelles dans les sciences Mathématiques, est une fin en soi donc Analyse est le moyen par lequel nous arri- vons à cette fin.

Vi. Contenu

6.1 Aperçu

Ce module est subdivisé en quatre unités:

Unité 1 – Analyse de droite réelle (droite réelle)

Dans cette unité, on commence par décomposer l’ensemble IR des nombres réels dans des sous-ensembles. Ensuite, on définit ce qu’on appelle la métrique standard sur IR afin d’étudier sa structure qui est composée de concepts tel que les intervalles ouverts et fermés, voisinages et points limites menant à des exemples de sous-ensembles ouverts et fermés. La dénombrabilité de tels sous-ensembles et séquences est aussi essentielle dans la structure de

IR

dans un espace métrique. On étudie également les fonctions définies sur les ensembles de nombres réelles par rapport aux concepts de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité.

Unité 2 – Analyse Vectorielle

Cette unité s’occupe principalement du calcul vectoriel et ses applications. Donc, nous considérons les concepts tels que la divergence, le gradient et le rotationnel. Ceci mène à des théorèmes connus comme les théorèmes de divergence de Green et de Stokes ainsi que d’autres résultats connexes. Le système de coordonnées curvilignes est aussi traité dans cette unité.

Unité 3 – Analyse complexe

L’objectif principal dans l’étude de cette unité est de définir la fonction d’une variable complexe et ensuite regarder à son degré tel que l’existence de limites, la continuité et la différentiabilité au long des lignes de calcul de fonctions d’une variable réelle.

Regardant aussi l’intégration et les séries de puissance impliquant une fonction d’une variable complexe va compléter cette unité.

6.2 Grandes lignes

Unité 1a – Introduction à l’Analyse (25 heures)

Calcul Mathématique et Mathématique de Base sont des pré-requis

• Système de nombres réels et l’exhaustivité

• Intervalles ouverts, fermés et voisinages

• Points intérieurs et points de limites

• Indénombrabilité de la droite réelle

• Suites numériques

• Fonctions, limites et continuité

• Calcul différentiel et calcul intégral Unité 1a – L’Intégrale de Riemann (15 heures)

• Définir l'intégrale de Riemann

• Donner des exemples des intégrales de Riemann définies dans l'ensemble IR

• Indiquer quelques propriétés de l'intégrale de Riemann

• Vérifier ou prouver quelques résultats sur les intégrales de Riemann Unité 2 – Analyse Vectorielle (40 heures)

• Le Gradient, la divergence et l'opérateur rotationnel

• Les théorèmes de Green, de Stokes et de divergence

• D'autres théorèmes reliés

• Coordonnées curvilignes

Unité 3 – Analyse Complexe (40 heures)

• Définition et exemples d'une variable complexe

• Limites, continuité et différentiabilité

• Fonctions analytiques

• Intégration complexe

• Séries de Laurent et de puissance

6.3 Représentation Graphique

Limites, continuité et différentiabilité

Calcul Vectorielle et

Applications

Intégrales de Riemann Fonctions d'une variable

réelle Structure de

l'espace ℜ

Fonction s vecto rielles à

valeur

Structure d'un espace vectorielle

Espace Structure d'un

champ complexe

Fonctions d'une variable complex e limites et continuité

Fonctions analytiques, series

de puissance et Laurent

Intégration Complexe

Vii. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage (Objectifs formateurs)

À la fin des apprentissages, l’apprenant sera capable de :

1. Démontrer la compréhension de concepts et principes de base d’analyse ma- thématique.

2. Développer un cadre logique pour affirmer et prouver des théorèmes

Viii. activités d’enseignement et d’apprentissage

Évaluation préliminaire Q1. Étant donné la fonction

(

^,

)

^{3 2 ,}

F x y =x y trouver x F

∂

∂

a) 2x y³ b) 3x y^{2 2} c) 6x y² d) 3x² +2y

Q2. Étant donné deux vecteurs u =3i+4j−2k

5 2 3

v= − +i j+ ≠k Trouver .u v

a) 3− b) 13− c) 17 d) –17

Q3. Pour les vecteurs a=2c−3j k+ ^et

3 4 2

b= − +i j+ k Trouver axb

a) −10i+7j k+ b) −10i−7j k+ c) −10i−7j k− d) −10i−7j k+

Q4. Étant donné les nombres complexes Z = +3 4i et Z₂ = − +2 3i

Trouver Z₁+Z₂

a) 150 b) 24 c) 5 d) 38

Q5. Étant donné deux nombres complexes

1 5 2

Z = + i et Z₂= 4 3i+ Trouver Arg Z Z_{1 2}

a) tan

12 5

−

b) tan 23 14

−

c) tan

13 4

−

d) tan

15 9

−

Q6. Évaluer

1 2 2

3 4 5

i i

i i

+ −

− +

a) 2 5

− b) 5

2 c) 1 d) 3

3 i i +

−

Q7. Exprimer le nombre complexe

Z=1+I sous forme modulaire

a) Z= 3 cos sin

4 i 4

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∏ ∏

b) Z= 2 cos

3 Sin 3

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∏ ∏

c) Z 2 cos

4 iSin 4

⎛ ⎞

= ⎜⎜ + ⎟⎟

⎝ ⎠

∏ ∏

d Z= 3 cos

3 iSin 3

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∏ ∏

Q.8

La question peut etre reformulée comme suit :

Parmi les fonctions définies ci-dessous, quelles sont celles qui ne sont pas continues en x = 0

a) ^f

( )

^{x =x2 b) g}

( )

^{x = +1 x2}

c) h

( )

^{x = x} d) Aucune

Q9. Laquelle des fonctions n’est pas différentiable à x o= ?

a)

∫

x x= ^{2 b) g x}

^{( )}

^{= +1 x2} c) ^{h x}

( )

^{= x h x}

( )

^{= x d) Aucune}

Q10. Lequel des énoncés suivants est vrai concernant le nombre 2 a) 2 est un nombre entier

b) C’est une fraction

c) C’est un nombre rationnel d) C’est un nombre irrationnel Évaluation préliminaire: Solutions

Q 1. (b) Q 2. (b) Q 3. (c) Q 4. (a) Q 5. (b) Q 6. (a) Q 7. (c) Q 8. (d) Q 9. (c) Q 10. (d)

iX. activités d’apprentissage

Analyse 1: Unité 1a

Titre: Introduction à l’Analyse

Objectifs Spécifiques

À la fin de l’activité, l’apprenant sera capable de :

• Décomposer l'ensemble IR de nombres réels en divers sous-ensembles

• Nommer les propriétés de divers sous-ensembles de IR.

• Définir le concept de limites des ensembles de nombres réels.

• Nommer et utiliser l'axiome d'exhaustivité afin de résoudre les problèmes sur le système de nombre réel.

Sommaire

On note d’abord qu’une discussion satisfaisante des principaux concepts de l’analyse (par exemple, la convergence, la continuité, la différentiabilité et l’intégration) doit être basée sur un concept de nombre défini avec précision. À cette fin, le système de nombre réel est effectivement un concept bien-défini. Il est clair que les axiomes qui gouvernent l’arithmétique des nombres entiers sont bien connus et triviaux à ce niveau. Cependant, nous devons nous familiariser avec l’arithmétique des nombres rationnels (par ex. les nombres de la forme n

m où n et m sont des nombres entiers

)

m≠ 0 et nous ferons la liste de la principale caractéristique de l’arithmétique de tels nombres qui est celle d’être fermé la fermeture sous l’addition et la multiplication.

On note aussi qu’une relation ≤ est défini et ramène l’ordre sur l’ensemble de nombres rationnels. Donc pour deux nombres rationnels p et q, on a soit p q= soit q< p et c’est transitif. C’est également connu que l’ensemble des nombres rationnels est inadéquat. Par exemple, il n’existe pas nombre rationnel p tel que p² = 2.Ceci mène à l’introduction de l’ensemble des nombres irrationnels. Donc l’union de l’ensem- ble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l’ensemble IR des nombres réels. Nous allons considérer que le concept d’un ensemble de nombres réels étant limité en dessous et au dessus. Ceci mène à l’axiome d’exhaustivité qui caractérise complètement l’ensemble IR des nombres réels.

Concepts clés

Dans cette phrase, la deuxième proposition peut etre enlevée. En effet :

Définition : Un nombre rationnel C’est un nombre qui peut être écrit sous la forme n

m où n et m sont des nombres entiers avec m≠ 0.

Remarque : Un nombre rationnel r admet plusieurs écriture. Parmi toutes ces écritures, il existe une seule de la forme r=

m

n où n et m n’ont pas de diviseurs com muns autre que 1; On dit que m et n sont premiers entre eux.

• Nombre irrationnel: C’est un nombre qui ne peut pas être écrit sous la form n

m , où n et m sont des nombres entiers avec m≠ 0. Donc, nous avons l’en- semble des nombres rationnels qui est Q et l’ensemble de nombres irration- nels qui est Q^C, menant à la relation IR = Q UQ^C. (Q^C est le complémentaire de Q dans IR)

C.-à-d. Tout nombre réel est soit rationnel soit irrationnel.

- Majorant : On dit qu’un sous ensemble E de IR est majoré s’il existe un réel M tel que pour tout x de E, on a x≤M

M est dit un majorant de E

- Minorant : On dit que E est minoré s’il existe un réel m tel que pour tout x de E, on a x≥m

m est dit minorant de E

- Sous ensemble borné :On dit que E est borné si elle est à la fois majorée et minorée

- Borne supérieure : Si l’ensemble des majorants admet un plus petit élément, on dit que cet élément est la borne supérieure de E et est noté Sup(E).

- Borne inférieure : Si l’ensemble des minorants admet un plus grand élément, on dit que cet élément est la borne inférieure de E et est noté inf(E).

- Maximum : Si Sup(E)∈E, On dit que c’est le maximum de E et on le note Max(E)

- Minimum : Si inf(E)∈E, On dit que c’est le minimum de E et on le note min(E)

• Axiome d’exhaustivité:

(i) Tout sous ensemble E de IR non vide et majoré admet une borne supé- rieure.

(ii) Tout sous ensemble E de IR non vide et minoré admet une borne infé- rieure.

Remarque : Cet axiome n’est pas valable dans l’ensemble des nombres rationnels

Université Virtuelle Africaine

1a. Activité d’apprentissage : L’ensemble des nombres réels

Histoire des jumeaux Siamois

Le cas des jumeaux Siamois au Kenya a été rapporté en 1991. Ces jumeaux, des garçons, sont nés à l’Hôpital National de Kenyatta avec leurs corps attachés l’un à l’autre à la poitrine. Ceci signifie qu’ils partageaient le même cœur. Une opération a été effectuée plus tard afin de les séparer en vain. En effet, séparer les jumeaux Siamois via opération dépend de l’organe qu’ils partagent.

Question

Avez-vous déjà entendu parler de cas de jumeaux siamois chez d’autres animaux, par exemple les vaches?

1a.0 Introduction

Rappelons quelques sous ensembles particuliers de l’ensemble IR des nombres réels

^IN =

{

^1,2,...

}

; c’est l’ensemble des nombres entiers naturels.

{

... ; ; ; ; ; ; ;...

}

Z= −3−2−10 +1+2+3 ; c’est l’ensemble des nombres entiers relatifs.

( ^{n , m} ) ^}

, m , m , n m , r n :

r 0 1

{

Q = = ∈⊄ ≠ =

;

c’est l’ensemble de nombres rationnels.

( ) ^}

m , n m , r n : r

{ ¢, m 0, n, m 1

Q

^C

= ≠ ∈ ≠ =

;

c’est l’ensemble de nombres irrationnels.

Remarques

(i) Notez qu’ici

(

^{n m,}

)

⁼¹ signifie que 1 est le seul facteur commun pour n et m.

(ii) Nous avons l’inclusion d’ensemble suivante IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

On a aussi :

C

C IR IR Q Q

Q ⊂ et = ∪

Notez aussi que la structure de la droite réelle est telle qu’à la différence de l’ensem- ble des nombres réels, les ensembles des nombres rationnels et nombres irrationnels sont partout. Donc à chaque intervalle (peu importe leur taille), on peut y trouver les nombres rationnels et nombres irrationnels. On dit aussi qu’entre deux nombres rationnels (peu importe leur proximité l’un de l’autre), il existe un nombre irration- nel. Cette situation est celle qui reflète le mieux l’histoire des jumeaux siamois. Par conséquent, les deux plus grands ensembles de IR, Q et Q ^C , se comportent comme les jumeaux siamois de tel sorte qu’on ne peut pas les séparer de la droite réelle.

Exemple 1a.1

On montrera que le nombre 2 est irrationnel.On fera ca par contradiction. Sup- posons le contraire que 2 est rationnel. Alors nous pouvons écrire

( )

¹

0

2 = ; n,m∈IN;m≠ ; n,m = m

n

En élevant chaque membre de cette égalité au carré, on obtient :

2 2

2

m = n

On en déduit :

2

2 2m

n =

Il s’en suit que n²est pair et donc nest pai Par ex. n=2c pour c∈IN

( )

²

2 2

2 2

2 2

2 2

4 2

2 4

n c m

c m

m c

= =

=

=

2 2 2

m = c est pair donc, m est pair

Mais on ne peut pas avoir n et m comme nombre pair puisque

(

^{n m,}

)

^{=1. Ceci est}

une contradiction. Par conséquent 2 est irrationnel.

Remarque

L’exemple suivant montre qu’à partir d’un nombre irrationnel connu, on peut déduire plusieurs nombres irrationnels. Ici on va utiliser le fait que l’ensemble des rationnels est stable pour l’addition et la multiplication.

Exemple 1a.2

Soit t un nombre irrationnel. Montrez que 1

1 t t

+

− est aussi irrationnel.

Solution

Soit 1

1 s t

t

= +

− et assumez le contraire que s est rationnel. Alors on a

( )

( )

1 1

1 1

1 1

1 1

s t t

st s t

st t s

t s s

t s s

− = +

− = +

− = +

− = +

= +

−

Puisque l’ensemble des rationnels est stable pour l’addition et la multiplication, on a :

1 s t s

+

− est rationnel aussi.

Mais t est irrationnel. Ceci est une contradiction. En conséquent 1 1 t t

+

− est aussi irrationnel.

Exercice 1a.3

(i) Étant donné que a et b sont des nombres rationnels et s est irrationnel montre que a bs− est aussi irrationnel.

(ii) Étant donné que pour p, nombre entier, p est irrationnel montrez que:

3 1 3 1 +

− est irrationnel.

Exemple 1a.4

Soit E ⊆ IR avec E = {x ∈ IR : 1 < x ≤ 5}. Donc E est minoré et majoré. Dans ce cas, inf E = 1 et sup E =5.

Dans l’exemple ci-dessus, inf E 1 E= ∉ donc E n’a pas d’élément minimum. Mais sup E = ∈5 E donc E a l’élément maximum qui est 5.

Exercice 1a.5

(i) Soit E un ensemble de nombres réels limité tel que a = inf E et b = max E . Donnez la définition de a et b. Donnez aussi un exemple d’un ensemble où a et b existent.

(ii) Soit 1

S = ; n J

n ⁺

⎧ ∈ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭

Donc 1 1 1

S = 1, , , , ...

2 3 4

⎧ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭^.

Indiquez sup S, inf S. max S et min S.

1a.6. Lectures

1. Lire les sections suivantes de Elias Zakon, Notions de base en Maths, Trillia Press.

Première Partie , chapitres 8 et 9 chapters 8 and 9.

Deuxième partie, chapitres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et 10.

Compléter et vérifier tous les exercices dans ces sections.

2. Lire la référence Wikipédia: Intégrale de Riemann.

Pour des mises à jour et des liens, faite une recherche pour ‘Intégrale de Riemann’

à www.wikipedia.org

Analyse 1 Module: Unité 1b

Titre: L’Intégrale de Riemann

Objectifs spécifiques

À la fin de cette activité, l’apprenant va être capable de:

• Définir l’Intégrale de Riemann

• Donner des exemples de l’Intégrale de Riemann défini sur l’ensemble IR.

• Nommer quelques propriétés de l’Intégrale de Riemann

• Vérifier ou prouver quelques résultats de l’Intégrale de Riemann.

Résumé

Dans cette activité, on formule l’Intégrale de Riemann qui dépend explicitement sur la structure d’ordre de la droite réelle. En conséquent, on commence à discuter du concept de partition d’un intervalle et montrer que la formulation de l’Intégrale de Riemann est essentiellement une des méthodes d’estimer la surface en dessous d’une courbe donnée. En effet, c’est la méthode la plus précise pour trouver la surface délimitée par une courbe donnée. Donc on défini les concepts pertinents comme les sommes inférieures et supérieures qui mènent respectivement aux intégrales supérieures et inférieures de l’Intégrale de Riemann avant qu’on dérive l’Intégrale de Riemann.

Nous allons aussi brièvement discuter des propriétés et classes des fonctions à valeurs réelles qui sont Riemann-intégrables et donner au moins un exemple d’une fonction qui n’est pas Riemann-intégrable. L’extension de cette théorie, aux fonctions comple- xes et vectorielles et sur les ensembles autres que les intervalles, fait partie de la matière dans des cours de plus haut niveau qui peuvent être discuté au 2ieme cycle.

Mot-clés et Concepts

• Partition d’un intervalle: Soit

[ ]

^{a b,} un intervalle dans IR et soit x x_{0 1}^, ,...,x_n tel quea= x₀ < x₁<x₂ <...< x_n =b. L’ensemble P =

{

x x0 1^, ,...,x_n

}

est appelé une partition de

[

^{a b,}

]

et la classe de toutes les partitions

[

^{a b,}

]

^{est dé-}

noté par^Ρ

[

^{a b,}

]

^.

• Maille d’une partition: Soit P une subdivision de

[ ]

^a, . Le nombre noté ^b μ(p) donné par ^μ

( )

^p ₁

^max

_{i n} ^x_i ^x_i−1

= ≤ ≤ −

où ⎡ ₋₁, ⎤

⎣xⁱ xⁱ⎦ est un sous-intervalle de

[ ]

a, est appelé la norme ou le mesh de P.^b

• Partition fine: Soit P₁ et P₂ deux partitions de

[

^{a b,}

]

. On dit que P₁ est plus fin que ou P₂ plus grossier que P₁ si chaque point de P₂ est un point deP₁ .

• Sommes Inférieures et Supérieures de Riemann: Soit f une fonction à valeurs réelles sur

[

^{a b,}

]

et P un sous-ensemble de

[

^{a b,}

]

^.

Soit Δ =x_i x x_i − _i−₁ ∀ =i 1,...,n Soit M =sup

{

f(x ;)x∈

[ ]

a,b

}

^m=^inf

{

^f(x);x∈

[ ]

^a,b

}

{ [ ] }

[ ]

{

i i

}

i

i i i

x , x x

;) x ( f inf m

x , x x

;) x ( f sup M

1 1

−

−

∈

=

∈

=

Clairement m m≤ _i≤ M_i ≤M ∀ =i 1,..., .n On note :

( )

1

, ⁿ _{i i}

U p f i M x

=

=

∑

Δ ^et

⁽

^,

⁾

ⁿ₁ ^{i i}

L p f i m x

=

=

∑

Δ ^.

(

^,

)

U p f et ^{L p f}

(

^,

)

sont appelés respectivement les sommes supérieures et infé- rieures de Riemann.

On a l’inégalité suivante :

(

^,

) (

^,

) [ ]

^{, .}

L p f ≤ U p f ∀ ∈Ρp a b

• Intégrales Supérieures et Inférieures de Riemann : Soit ^{f :}

[ ]

^{a,b → IR} une fonction bornée.

L’intégrale inférieure de f est donnée par :

( )

f =

I_a^{b sup}

{

^L

(

^{p, f}

)

^,p∈^P

[ ]

^a,b

}

L’intégrale supérieure de Riemann de f est donnée par :

( )

^{f inf}

{

^U

(

^p,f

)

^{,p P}

[ ]

^a,b

}

I_a^b = ∈

• L’intégrale Riemann d’une fonction :

Soit ^{f :}

[ ]

^{a,b → IR} une fonction bornée à valeurs réelle.

f est dite intégrable si on a l’égalité suivante :

( )

f = I_a^{b I}a^b

( )

^f

Cette valeur commune est alors appelé l’intégrale Riemann de la fonction f sur [a,b].

Elle set notée

∫

_a^bf

( )

^xdx.

Dans ce cas, on a les égalités suivantes :

( )

f =

I_a^{b I}

( )

^{f =}

∫

a^bf

( )

^xdx=0

b

a et ^Ia^b

( )

^{f =inf}

{

^U

(

^p,f

)

^,p∈P

[ ]

^a,b

}

⁼¹

1b Introduction à l’histoire de Fred la mouche mathématique

C’est pratique courante dans notre culture Africaine que les gens racontent des histoi- res ou citent des légendes en faisant référence soit à des animaux soit à des messages lorsque le message, porté dans ces histoires, fait référence aux comportements d’êtres humains. À cette fin, notre histoire des temps modernes concerne Fred la mouche mathématique qui un jour bougeait sur une courbe dont l’équation est connue.

Il a donné le devoir suivant à ses amis qui l’observaient pendant qu’il bougeait au long de la courbe :

Décrivez-moi la procédure avec laquelle on trouve ma vitesse en tout point sur cette courbe. Aussi nommez-moi la procédure pour trouver, avec le plus de précision, la surface limité par cette courbe à l’égard des deux axes.

Figure montrant une mouche se déplacer sur une courbe.

courbe mouche

Question

Quelle est votre réponse aux deux questions posées par Fred la mouche mathématique dans l’histoire ci-dessus?

1b.1 Introduction

On note que, dans l’histoire ci-dessus, les deux questions posées par la mouche mathématique se penchent sur les théories du calcul intégral et différentiel. En effet, on montrera, par voie de théorème, que la différentiation et l’intégration sont, d’une certaine façon, des opérations inverses

On note aussi, qu’à partir des définitions des sommes inférieures et supérieures de Riemann, que la formulation de l’intégrale de Riemann est clairement basée sur la surface estimée sous une courbe donnée. Notez que quand la partition devient de plus en plus fine, la somme inférieure de Riemann augmente vers la surface actuelle et que la somme supérieure de Riemann baisse vers la surface actuelle. En conséquence, en prenant la borne supérieure et la borne inférieure, on a une valeur commune qui devient l’intégrale de Riemann.

Remarque 1b.1

L’exemple ci-dessous montre qu’il existe des fonctions à valeurs réelles qui ne sont pas Riemann-intégrables.

Exemple 1b.2.

Soit ^{f :}

[ ]

^{a,b → IR} la fonction définie par

⎩⎨

=⎧

l irrationne est

x si

rationnel est

x x si

f 0

) 1 (

Soit P une partition quelconque de

[ ]

^{a b, .}

Pour un sous-intervalle quelconque

[

xi₋₁;xi

]

de [a ; b], (i = 1, 2, …, n), Posons :

( ) [ ]

{

i i

}

i

{ ( ) [

i i

] }

i sup f x ;x x ;x m inf f x ;x x ;x

M = ∈ ₋₁ et = ∈ ₋₁

Donc

( )

( )

1

1 ,

1 1

0

i i

i n i

n i

U p f M x

x b a b a

=

=

= Δ

= Δ

= −

= − >

∑

∑

et

( )

1

1 ,

0 0

i i

i n

i n i

L p f m x

x

=

=

= Δ

= Δ

=

∑

∑

Par conséquent

( )

f =

I_a^b sup

{

L

(

p, f

)

,p∈P

[ ]

a,b

}

= ⁰ et

( )

f inf

{

U

(

p,f

)

,p P

[ ]

a,b

}

b a

I_a^b = ∈ = −

Comme ^Ia^b

( )

^{f est différent de I}a^b

( )

^f , on conclut que f, tel que définit ci-dessus, n’est pas Riemann-intégrable.

Remarque 1b.3

On déclare sans preuve certains théorèmes qui donnent les propriétés et classes des fonctions Riemann-intégrables.

Théorème 1b.4 (Critère d’intégrabilité de Riemann) Soit f une fonction bornée sur

[ ]

^{a b, .}

f est Riemann-intégrable si et seulement :

[ ] ( ) (

−

)

<ε

∈

∃

>

ε

∀ 0, p a;b /U p,f L p,f Théorème 1b.5

Soit f une fonction bornée sur

[ ]

^{a b, .}

Si f est monotone sur

[ ]

^{a b,} alors f est Riemann-intégrable.

Théorème 1b.6

Soit f une fonction définie sur un intervalle

[ ]

^{a b, .}

Si f est continue sur [a,b], alors f est Riemann-intégrable sur [a,b] et on a la formule suivante :

( )

xdx F

( )

b F

( )

a

bf

a = −

∫

où F est une primitive de f sur

[ ]

^a,b

Exemple 1b.7

Considérez la fonction f : , → IR

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

0 2 donnée par ^{f x}

( )

^{=sin2 x}

On note que f est continue sur

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

0,2 et, par conséquent, est Riemann-intégrable sur ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π 0,2 En effet

2

0

2 2

0

sin 1 1 cos 2

2 2

1 1

x sin 0

2 2 4

4 0 4

x dx x dx

π π

π π

π π

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟ −

⎝ ⎠

= − =

∫ ∫

Théorème 1b.8

Soit f et g des fonctions Riemann-intégrables définies sur

[ ]

^{a b, ,} et c une constante.

Donc on a :

(i) f + gest Riemann-intégrable.

(ii) cf est Riemann-intégrable.

Théorème 1b.9

Soit f borné sur

[ ]

^{a b, .}

Si f est Riemann-intégrable alors f est aussi Riemann-intégrable. Par ailleurs, f dx ≤ f dx.

∫ ∫

Remarque 1b.10

Notez qu’on peut aussi définir l’intégrale de Riemann comme une limite de la façon suivante.

Proposition

Soit f borné sur

[ ]

^{a b,} et p une partition de

[ ]

^{a b, .}

Si ^{S p f}

(

^,

)

désigne une somme de Riemann arbitraire qui peut soit être supérieure soit inférieure, alors, on a:

→0 μ

∫

^{abf dx} =₍^lim_p)^{S(P,f )}

Ceci est du au fait que plus la partition P est fine, plus ^S

(

^p,f

)

est proche de l’in- tégrale.

Si la partition p est choisie de sorte qu’elle contienne n sous-intervalles afin que^μ

( )

^p

puisse être exprimé en fonction de n, on a:

( )

lim , .

a n

b f dx S p f

= →∞

∫

Exemple

Soit ^{f :}

[ ]

0,1 → ^IR donné par ^{f x}

( )

^{= x.}

Soit p une partition de

[ ]

0, 1 tel que:

0, 1 2, , ..., ,...,k n 1

p n n n n

⎧ ⎫

= ⎨ = ⎬

⎩ ⎭

Considérez que le k^ième sous-intervalle de p à savoir ⎡⎣x_k−1, x_k⎤⎦. Donc, on a

( ) [ ]

{

_{k k}

}

k sup f x ;x x ;x

M = ∈ ₋₁

( )

n k n f k x

f _k ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

et ₁ 1 1

k k k k k

x x x

n n n

− −

Δ = = − − =

Par conséquent

( )

2 1

1

1 ,

1

1

k k

n k

n k

n k

S p f M x

k n n n k

=

=

=

= Δ

= ⋅

=

∑

∑

∑

lim

1 1

0 0 2 1

lim 1 ⁿ

n k

f dx x dx k

→ ∞ n =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∴ ∫ = ∫ ∑

= limn→ ∞

( )

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

× 2 1 1

2

n n n =

2 1

Exercice 1b.12

(i) Montrer que la fonction définie

⎩⎨

⎧

= −

l irrationne est

x si

rationnel est

x x si

f 2

) 2 (

n’est pas Riemann-intégrable.

(ii) Considérer la fonction ^{f :}

[ ]

^{0,a →o} donnée par ^{f x}

( )

^{= x3 où} a est une constante. Montrer que

3 4 3

0 4 1

lim ⁿ

a

n k

x dx a k

n ₌

→ ∞

⎛ ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎟

⎝

∑

⎠

∫

(iii) Avec

1 n sin

k

k

n n

π π

∑

= comme une somme de Riemann, utiliser ce fait pour évaluer

1

lim ⁿ sin

n k

k

n n

π π

→ ∞ =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

7.7. Lectures

1. Theory of functions of a real variable by - Shilomo Stenberg (2005) pp 144 2. Lire la référence Wikipédia: Intégrale de Riemann.

Pour des mises à jour et des liens, faite une recherche pour ‘Intégrale de Riemann’

à www.wikipedia.org

Analyse I Module: Unité 2

Titre: Sur la structure algébrique de l’espace muni d’opérations

Objectifs Spécifiques

À la fin de cette activité, l’apprenant sera capable de:

• Donner une définition de l'espace vectoriel

• Identifier les opérations dans l’ensemble des vecteurs

• Définir la fonction vecteur dans un espace vectoriel

• Déterminer la différentiabilité d'un espace vecteur Résumé

La richesse de l’analyse en mathématique dépend principalement de la structure des espaces qu’on traite. Comme nous l’avons déjà affirmé dans l’Unité 1, l’analyse classique a commencée avec l’espace R dans lequel la conversion de la valeur abso- lue lui donne sa structure géométrique. Cependant, sur R, si on doit se restreindre aux opérations comme + (l’addition) et la multiplication produit (..), ceci constituera la structure algébrique sur R. Dans cette activité, on considère un espace vectoriel général (voir définition dans la section suivante) et on cherche comment la structure donne lieu à la définition de quelques concepts dans l’espace. En effet sur le degré par ex. la différentiabilité d’une fonction définie sur un espace vectoriel.

Mots Clés et Concepts

Espace vectorielle: C’est un ensemble non-vide de V sur lequel on a deux opéra- tions à savoir x y, → x y+ de V ×V vers V appelé addition et α,x →

αx de IR ×V vers V appelé multiplication tels que les conditions suivantes sont remplies:

A1 ^x+

(

^{y z+}

) (

^{= x y+}

)

^{+z ∀x,y,z∈V}

A2 x y+ = y x+ ∀x,y∈V

A3 Il existe un élément de V noté 0 tel que o x x+ = ∀x∈V A4 ∀x∈V,∃y∉V /x+y=0

S1

( )

αβ ^x=α

( )

β^x ∀α^,β∈^IR,∀^x∈^V

S2

(

^α+β

)

^{x=αx+βx ∀α,β∈IR,∀x∈V}

S3 α

(

^{x y+}

)

^{=αx+αy ∀α∈IR,∀x,y∈V}

S4 1x= x ∀x∈V

A est synonyme de propriété sur le fonctionnement de l’addition et S est synonyme de propriété sur le fonctionnement d’une multiplication scalaire.

Fonction à valeurs vectorielles: Il s’agit d’une application r : IR → IR ⁿ qui assigne un vecteur à chaque valeur d’une variable réelle t tel que:

n n(t)e r ...

e ) t ( r ) t (

r = _{1 1}+ +

où r_1, …,r_n sont des fonctions réelles et e₁, …,e_n sont des vecteurs de IRⁿ

Ex. position d’un objet dans l’espace comme une fonction temporelle.

Continuité: Une fonction à valeurs vectorielles est continue à un point t=t₀ ^si lim r t

( )

=r t

( )

0

t→t_o

Ceci se produit Si et Seulement Si les fonctions composantes sont continues.

Différentiabilité: Une fonction à valeur vectorielle est différentiable si

t ) t ( r ) t t ( r

Δ

− Δ +

admet une limite quand Δt tend vers 0.

Cette limite est notée dt dr

Ceci se produit si les fonctions composantes sont différentielles.

Le Gradient: Pour un champ différentiel de scalaires. ^{u x}

( )

, le gradient de u est donné par

1 1

1

n n

x e ... u x e u u

∂ + ∂

∂ +

= ∂

∇

Si le champ scalaire est lR³ on a donc;

zk j u y i u x u u

∂ +∂

∂ +∂

∂

= ∂

∇

Divergence d’un champ de vecteur: pour un champ de vecteur.

(

^x,y,z

)

^M

(

^x,y,z

)

^{i N}

(

^x,y,z

)

^{j P}

(

^x,y,z

)

^k

F = + +

La divergence de F, notée par div F, est donnée par

Div F =

( )

z P y N x z M , y , x F

. ∂

+∂

∂ +∂

∂

=∂

∇

Le Rotationnel d’un champ vecteur: Pour un champ vecteur

(

^x,y,z

)

^M

(

^x,y,z

)

^{i N}

(

^x,y,z

)

^{j P}

(

^x,y,z

)

^k

F = + +

Le rotationnel de F est noté par rot F

(

^{x y z, ,}

)

Est donné par rot ^{F x y z}

(

^{, ,}

)

^{= ∇xF x y z}

(

^{, ,}

)

= p N

y z

⎛∂ ∂ ⎞

⎜∂ − ∂ ⎟

⎝ ⎠

p N

y z

⎛∂ ∂ ⎞

⎜∂ − ∂ ⎟

⎝ ⎠

2 2

2 2

N M k

x y

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠x

2. Sur la structure algébrique avec opérations arithmétiques dans l’espace

Histoire d’une enquête sur les questions des sexes

Dans l’année 2006, au mois d’octobre, une ONG traitant des questions des sexes dans la ville de Nairobi a dépêché un agent dans certains locaux d`une société commerciale.

La compagnie venait juste de commencer et l`ONG avait hâte de savoir si les femmes ont également des initiatives pour faire face à la compagnie. La tache de cet agent, qui s`appelle Mwangi, était de compter le nombre de femmes dans les locaux durant une période spécifique. Pendant qu’il était dans les locaux, elle se trouvait dans un endroit où les gens passaient dans différentes directions. Certains groupes étaient tellement larges qu’ils la poussaient du chemin et en conséquent, elle perd le compte.

Question

Pouvez- vous suggérer une meilleure facon ou un meilleur emplacement où Mwangi aurait du se trouver pour avoir un compte précis ?

2.0 Introduction

On note que dans l’histoire ci-dessus plutôt que de rester debout dans un coin où les gens passent dans toutes les directions, l’agent aurait du utiliser un endroit comme l’entrée ou la sortie lorsque le mouvement est dans une seule direction. C’est la raison principale pour laquelle on considère les fonctions à valeurs vectorielles parce qu’elles créent du mouvement dans une direction spécifique. En conséquence, les éléments du calcul vectoriel, comme la divergence et le rotationnel, ont des applications dans divers domaines comme l’électromagnétisme, la mécanique de fluides, etc.

On note que si la fonction à valeur vectorielle r(t)représente la position d’un objet en mouvement donc

dt

dr et ₂

2

dt r

d sont aussi des fonctions à valeur vectorielle

représentant respectivement la vitesse et l’accélération.

Exemple 2.1

Considérer la courbe paramétrique:

( ) cos sin

2 2

t t

r t i j

−

= +

Trouver les vecteurs vitesse v(t) et accélération a(t) Solution

v(t) = 1 1

sin cos

2 2 2 2

dr ti t j

dt = +

a(t) =

−− −

= − t j

t i dt

v d

sin2 4 1 cos2 4

1

2 2

Exercice 2.2

Soit r(t)la position d’un objet en mouvement à une vitesse constante. Montrer que l’accélération d’un objet en mouvement est orthogonale à la vitesse de l’objet.

Exemple 2.3

Étant donné le champ vectoriel f(x,y,z)=(x³y²z i)+(x²z)j+(x²y)k, trouver la divergence au point de coordonnées(2,1,−1)

Solution

z y x z

y x

y z x y x

z y x x z y x divF

2 2 2

2

2 2

2 3

3 0 0 3

) 2 (

) 2 2 ( ) 2 2 (

) 2 , , (

= + +

=

+ +

=

Donc

122 1 1

3 1 1

2 ^{2 2}

−

= × × × −

=

− ) ( )

, , ( divF

Exercice 2.4

Trouver la divergence au point (3,−2,1) pour le champ vectoriel k

xy j xz zi y x yz x

F( , )= ^{2 3} + ² + ² Exemple 2.5

Trouver le rotationnel F pour le champ vectoriel donné par

− −

−+ + +

= xyi x z j zyk z

y x

F( , , ) 2 ( ^{2 2}) 2

Solution

rot ^{F x y z}

(

^{, ,}

)

^{= ∇xF x y z}

(

^{, ,}

)

= i j k

x

y

z

2xy x²+z² 2zy

= y

z

i

x

z

j+

x²+z² 2xy 2xy 2zy

+ x

y

k

2xy x²+z²

=

(

2z2z

)

i

(

⁰⁰

)

ⁱ+

(

^{2x2x k}

)

= 0

Exercice 2.6

a) Étant donné ^{F x y z}

(

^{, ,}

)

^=x2+y2Z Trouver F au point

(

^{1,1, 2}

)

b) Trouver la divergence au point

(

^{3, 2,1}

)

pour le champ vectoriel

( ) ( )

Exercice 2.6

a) Étant donné ^{F x y z}

(

^{, ,}

)

^=x2+y2−Z

Trouver ∇F au point

(

^{1,1, 2}

)

b) Trouver la divergence au point

(

^{−3, 2,1}

)

pour le champ vectoriel

(

^{, ,}

)

²

(

^{2 2}

)

²

F x y z = xyi+ x +z j+ zyk

c) Trouver le rotationnel au point

(

^{−1, 2,1}

)

pour le champ vectoriel.

(

^{, ,}

)

^{3 2 2}

F x y z =x y zi x yk+

7.7 Lectures

1. Larson Hostetler, Edwards, Calculus with analytic geometry, Houghton Mifflin Company New York 1988.

2. Divergence et Rotationnel (Wikipédia)

Analyse 1: Unité 3

Titre: Calcul de fonctions variables complexes

Objectifs Spécifiques

À la fin de cette activité, l’apprenant va être capable de:

• Définir une fonction à variable complexe;

• Donner des exemples de fonctions à variables complexes;

• Évaluer les limites impliquant les fonctions à variables complexes;

• Déterminer la continuité d’une fonction à variable complexe;

• Déterminer la différentiabilite d’une fonction à variable complexe;

Résumé

On note d’abord que dans le Module de Calcul, le dégré d’une fonction à variable réelle commence par une définition où on indiquera le domaine de définition et la portée. Ensuite, on examine l’existence de limite d’une telle fonction à un point spécifique. On étudie également la continuité d’un point donné ou sur l’ensemble du domaine suivi de la différentiabilité d’une fonction à un point ou sur l’ensemble du domaine, dans ce cas on a les implications suivantes :

Différentiabilité => Continuité => Existence de limite.

Dans cette activité, on passe par la même procédure pour le cas d’une fonction à variable complexe. Cependant, il serait d’une grande importance de noter qu’une fonction f (z) d’une variable complexe z soit aussi vue comme une fonction à deux variables réelles xet ypuisque z=x+iy où xet ysont des variables réelles.

Mots Clés et Concepts

• Fonction d’une variable complexe: c’est une fonction dont le domaine de définition est un sous ensemble de ⊄ et l’ensemble d’arrivé est soit ⊄ soit R

par exemple f(z)=z²où z=x+iy Existence de limite:

Soit f :⊄→⊄

On dit que f admet une limite L en z₀si :

( )

− <ε

⇒ δ

<

−

<

>

δ

∃

>

ε

∀ 0, 0/0 z z₀ f z L

• Continuité:

Soit f :⊄→⊄

On dit que f est continue en z₀ si :

( )

−

( )

<ε

⇒ δ

<

−

>

δ

∃

>

ε

∀ 0, 0/z z₀ f z f z₀

• Différentiabilité: Une fonction f :⊄→⊄ est dite différentiable à z₀si la limite quand z→z₀ de

0 0) ( ) (

z z

z f z f

−

− existe.

Dans ce cas, la limite ci-dessus est notée f'

( )

z0

0

0 0 0

z

z z z

) z ( f ) z ( lim f ) z ( f^'

→

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

= −

• Fonction Analytique: Une fonction f :⊄→⊄ est dite analytique à un point z₀ si f est différentiable dans un voisinage d’un pointz₀. Donc f^'(z) existe dans un voisinage de z₀

• Fonction Entière: Une fonction f :⊄→⊄ est dite entière si f est analytique à chaque point dans son domaine.

3 Calcul de fonctions à variables complexes

Histoire d’une rivière dans la brousse

La rivière Sosio peut être située dans un des districts du Kenya appelé Bungoma.

C’est une longue rivière qui traverse plusieurs villages, la plupart avec des buissons au long de la rivière. Quelques années auparavant, l’administration locale voulait mettre des ponts à des points variés sur la rivière parce qu’il a été observé que dans la plupart des domaines, on peut avoir des chemins menant à la rivière d’un coté mais directement de l’autre coté, la brousse était tellement épaisse qu’aucune route ne pouvait atteindre la rivière.

Il a également été observé que dans certains domaines, on pourrait avoir des chemins qui se rétréciraient avant d’atteindre les berges de la rivière.

Image montrant longue rivière sinueuse avec des parcours de chaque côté, mais pas directement en face de l’autre

Route vers la riviére Route vers la

riviére Route vers la riviére

Question

Pouvez-vous déduire une condition qui serait satisfaite par les chemins des deux cotés de la rivière afin qu’on détermine où mettre un pont?

3.0 Introduction

Rappelons que dans le module de Calcul, nous sommes tombés sur les concepts de continuité d’une fonction à variable réelle où on vu que la fonction f :R → R est continue sur x₀ si les 2 conditions suivantes sont satisfaites:

i) f est définie sur x₀

ii) La Limite f(x) existe quand x→x⁰ iii) La Limite f(x)= f(x₀)quandx→x₀

Cette situation prévaut même dans le cas des fonctions à variables complexes. Bien que dans la section Mots-clés et Concepts, on a utilisé E, S définition d’une continuité on note que ceci est une affirmation équivalente qui assure que les trois conditions ci-dessus sont satisfaites. L’histoire de la rivière dit tout concernant cette situation.

En effet, on doit avoir des chemins menant à la rivière de chaque coté et d’atteindre les berges de la rivière directement opposé l’une à l’autre afin que le pont assure la continuité de mouvement à travers la rivière et de chaque coté.

Exemple 3.1 z2

) z (

f =

0

2 0 2

z

z z (z ) lim→ =

Remarque

L’exemple ci-dessus montre que dans certains cas, particulièrement quand on traite avec les fonctions continues, on peut évaluer les limites de la même façon que les fonctions à valeurs réelles. Cependant, à l’égard aux variables complexes, une fonction à variable complexe peut être vue comme une fonction à deux variables réelles. Ceci mène à l’évaluation partielle des limites et aussi quand il s’agit de la différentiabilité, on traite des dérivés partiels.

Théorème 3.2

Soit z= x+iy ^et f une fonction dez. On peut exprimer f en parties réelles et imaginaires comme suit :

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) Pour z₀ =x₀ +iy₀ , on a :

0 0

0

0 y y

x

x u(x,y ) a limu(x ,y)

lim→ = = →

Et

0 0

0

0 y y

x

x v(x,y ) b limv(x ,y)

lim→ = = →

Théorème 3.3 (Lancement de la condition de Riemann) Si f'(z₀ ) existe alors,

0 0

0

0

et z

x z v

y z u

y z v

x

u ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

Ainsi,

( )

z0 ⁼

'

f ₀ z₀

x i v x z

u ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

= ₀ z₀ y i u x z

v ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

Remarque

Noter que la condition de Cauchy-Riemann est seulement nécessaire mais pas suffi- sante pour que la dérivé existe. Donc, pour la réciproque du théorème ci-dessus, on a besoin du résultat qui suit.

Théorème réciproque

Supposons

y v x v y u x u

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ , , , existe dans un voisinage d’un point

(

^xo,yo

)

^{et sont}

tous continues sur

(

xo,yo

)

.

Si la condition Cauchy –Riemann est satisfaite enzo,alors f'

( )

zo existe.

Exemple 3.4

On montre maintenant en utilisant les limites partielles que pour

0 0

0 x iy

z = +

( )

0 2 0 2

z

z z z

lim→ =

Donc f(z)= z² ) (x+iy

=

ixy y

x ) 2

( ² − ² +

= Posons

2

2 y

x ) y , x (

u = − ^et v(x,y)=2xy

0

x 0

x u(x,y )

lim→ =

0

2 0 2 0 2 0

2 )

lim(

x x

y x y x

→

−

=

−

0

y0

y u(x y)

lim→ =

0

2 0 2 0 2 0 2

0 )

lim(

y y

y x y x

→

−

=

−

0

x 0

x v(x,y )

lim→ =

0

0 0

0) 2

2 lim(

x x

y x xy

→

=

0

y0

y v(x y)

lim→ =

0

0 0

0 ) 2

( lim

y y

y x y x V

→

=

Donc

0 2

z z z

lim→ =

2 0

0 0 2

0 2

0 ) (2 )

( z

y x i y

x − +

Exercice 3.5

Montrer que: limz→0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ z

z n’existe pas.

Exemple 3.6

Étant donné f(z)= z² montrer que f'(z₀)=2z₀ Maintenant f(z)=z² =(x+iy²)

) 2

2 (

2 y i xy

x − +

=

2

) 2

,

(x y x y

u = −

∴ et

xy y

x

v( , )=2

Par ex. (x₀y₀) 2x₀ x

u =

∂

∂

0 0

0 ) 2

(x y y

y

u =−

∂

∂

0 0

0 ) 2

(x y y

x

v =

∂

∂

0 0

0 ) 2

(x y x

y

v =

∂

∂

Les conditions Cauchy-Riemann sont satisfaites. Donc f'(z₀) existe et:

) z (

f^' ₀ = ( _{0 0}) (x₀y₀) x

i v y x x v

∂ + ∂

∂

∂

= 2x₀ +i2y₀

= 2z₀

Exercice 3.7

a) Soit f(z)= z² montrer que f¹(z) n’existe pas pour z≠ 0

b) Soit

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≠

=

0 si 0

0 si

2

z z z z ) z ( f

Montrer que les conditions Cauchy-Riemann sont satisfaites mais que f'(0) n’existe pas.

c) Étant donné f(z)=e^z montrer que:

i) f(z)est analytique a n’importe quel pointz =z₀ ii) f(z)est entier

d) Soit f(z)=e^z montrer que f(z)est analytique n’ importe où.

Lectures 3.8

1. Les étudiants doivent lire les chapitres suivants. Complétez et verifier les exercices donnés.

Functions of a Complex Variable Chapters 8 to 13 (p.p. 360 to 771) (numbered p.388 to 799 in the PDF document) in Introduction to Methods of Applied Mathematics Sean Mauch http://www.its.caltech.edu/˜sean

X . Concepts clés(Glossaire)

Concepts clés

Nombre rationnel : C’est un nombre qui peut être écrit sous la forme n

m ^{où n et} m sont des nombres entiers avec m≠ 0 et n’ont pas de diviseurs communs autre que 1.

Nombre irrationnel: C’est un nombre qui ne peut pas être écrit sous la forme n m ^, où n et m sont des nombres entiers avec m≠ 0 .

Donc, nous avons l’ensemble de nombres rationnels qui est Q et l’ensemble de nombres irrationnels qui est Q^C, menant à la relation IR = Q ∪ Q^C.

C.-à-d. Tout nombre réel est soit rationnel soit irrationnel.

Majorant : On dit qu’un sous ensemble E de IR est majoré s’il existe un réel M tel que pour tout x de E, on a x ≤ M

M est dit un majorant de E

Minorant : On dit que E est minoré s’il existe un réel m tel que pour tout x de E, on a x ≥ m

m est dit minorant de E

Sous ensemble borné : On dit que E est borné si elle est à la fois majorée et mino- rée

Borne supérieure : Si l’ensemble des majorants admet un plus petit élément, on dit que cet élément est la borne supérieure de E et est noté Sup(E).

Borne inférieure : Si l’ensemble des minorants admet un plus grand élément, on dit que cet élément est la borne inférieure de E et est noté inf(E).

Maximum : Si Sup(E) ∈ E, On dit que c’est le maximum de E et on le note Max(E)

Minimum : Si inf(E) ∈ E, On dit que c’est le minimum de E et on le note min(E) Axiome d’exhaustivité:

(i) Tout sous ensemble E de IR non vide et majoré admet une borne supérieure.

(ii) Tout sous ensemble E de IR non vide et minoré admet une borne inférieure.