[ TS - AP : Intégrale et Algobox - \
Nom :
On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b].
Dans la pratique, on connaît rarement une primitiveF de la fonction f et la formule Zb
a f(x)d x=F(b)−F(a) ne pourra pas être utilisée. Dans ce cas, nous allons voir com- ment on peut obtenir un encadrement du nombreI=
Zb
a f(x)d xOn noteC la courbe représentative def dans un repère orthogonal d’origine O. On considère une subdivi- sion de l’intervalle [a;b] ennintervalles de même longueurh(qu’on appellera le pas) et d’extrémitésxipouri=0,1,2...,navecn≥1.
On a alors : pas=h=b−a
n etxi=a+i h=a+i×pas
Dorénavant, on considère une fonction monotone sur l’intervalle [a;b], par exemple décroissante, comme sur la figure ci dessous. L’intégraleIexprime l’aire sous la courbe C et elle peut être encadrée par la sommeSndes aires desnrectangles inférieures et celleTndesnrectangles supérieurs correspondants.
On obtient l’encadrement :Sn≤I≤Tnsoit :
n
X
i=1
pas×f(a+i×pas)≤I≤
n−1
X
i=0
pas×f(a+i×pas)
On souhaite écrire un algorithme permettant de calculer un encadrement deIet son amplitude avec comme données initialesa,b,net une fonctionf décroissante.
1. Les variables sont les réelsa,b,S,T , "pas" et "amplitude" et les entiers naturelsiet n.
On utilise la fonctionf définie parf(x)= 1 x+1 Compléter les éléments manquants.
Entrée
Saisir un réela.
Saisir un réelb(b>a) Saisir un entier naturel Initialisation
Affecter à S la valeur Affecter
Affecter à pas la valeur Traitement
Pouriallant de 0 àn−1
Affecter àT la valeurT+pas× Fin pour
Pouriallant de 1 à Affecter àSla valeur Fin pour
Affecter à amplitude la valeur Sortie
AfficherS AfficherT
Afficher "Amplitude ="
2. Écrire l’algorithme précédent avec Algobox
3. En utilisant votre programme, compléter le tableau suivant :
Fonction a b n Borne inférieur Borne supérieure Amplitude f(x)= 1
x+1 0 2 20
0 2 200
f(x)=e−x2 0 4 40
0 4 400
4. Si la fonction est croissante sur l’intervalle, l’algorithme précédent, fournit-il en- core les résultats attendus ? Que faut-il changer ?
Donner les résultats pourf définie parf(x)=x3sur [0;1] etn=50.
5. Méthode des trapèzes
On approcheIà l’aide de la somme S des aires de trapèzes. On a la formule :
S=
n−1
X
i=0
pas×f(a+i×pas)+f(a+(i+1)×pas) 2
A l’aide d’algobox, programmer ce calcul et com- parer avec les résultats obtenus plus haut.
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