le signe est positif

TES5 Interrogation 5A : Correction 9 novembre 2018 Exercice 1 :

1. Quelle est la d´eriv´ee de x7→e^x surR? 2. Quel est le signe de e^x pour x∈R?

3. Quelles sont les variations dex7→e^x sur R? 4. Calculer e⁰

Solution:

1. La d´eriv´ee est7→e^x. 2. le signe est positif.

3. La fonction est croissante 4. e⁰ = 1

Exercice 2 :

Simplifier les expressions suivantes : 1. e²×e⁵

2. e^2x e

Solution:

1. e⁷ 2. e^2x−1

Exercice 3 :

R´esoudre l’´equation e^3x+1 = 1

Solution: e^3x+1 = 1⇔3x+ 1 = 0⇔x=−¹₃. La solution est −¹₃.

Exercice 4 :

Soit f la fonction d´efinie sur [−2; 2] par f(x) = (x−2)e^x 1. Montrer que pout x∈[−2; 2],f⁰(x) = (x−1)e^x 2. a. ´Etudier le signe de f⁰(x) sur [−2; 2]

b. En d´eduire le tableau de variations sur ce mˆeme intervalle

Solution:

1. Soientu etv les fonctions d´efinies paru(x) =x−2 etv(x) = e^x. On a u⁰(x) = 1 et v⁰(x) = e^x. On a f⁰(x) = e^x+ (x−2)e^x = (x−1)e^x

2. a. e^x est toujours positif donc f⁰(x) est du signe de (x−1). f⁰(x) est donc n´egatif sur [−2; 1] et positif sur [1; 2].

b. On obtient le tableau de variations suivant : x

f⁰

f

−2 1 2

− +

−4e⁻²

−4e⁻²

−e

−e

0 0