T 5/11 DS 3 23 novembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif. Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

T 5/11 DS 3 23 novembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Pour s’´echauffer (10 minutes) (3 points)

1. D´eterminer lim

n→+∞(3×0,2ⁿ+ 50)

2. D´eterminer 3 + 3×2 + 3×2²+. . .+ 3×2¹⁵ (on fera le calcul) Solution:

1. 0<0,2<1 donc lim

n→+∞0,2ⁿ= 0 donc lim

n→+∞(3×0,2ⁿ+ 50) = 50 2. 3 + 3×2 + 3×2²+. . .+ 3×2¹⁵= 3×2¹⁶−1

1 = 196605

Exercice 2 : Probl`eme avec des suites (20 minutes) (8 points) Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au rythme de 12 % par an. Pour r´eguler la population des loups. le gouvernement autorise les chasseurs `a tuer un quota de 18 loups par an.

On mod´elise la population par une suite (un) le terme un repr´esentant le nombre de loups de ce pays en 2017 +n.

1. (a) Avec ce mod`ele. v´erifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.

(b) Justifier que, pour tout entiern∈N, u_n+1= 1,12u_n−18.

2. Compl´eter l’algorithme suivant pour qu’il d´etermine au bout de combien d’ann´ees la population de loups aura doubl´e.

N ←0 U ←300

Tant que . . . faire U ←. . .

N ←. . . Fin Tant que

3. On d´efinit la suite (vn) par :vn=un−150 pour tout n∈N.

(a) Montrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1,12.

Pr´eciser son terme initial.

(b) Exprimer, pour toutn∈N,vnen fonction de n.

En d´eduire u_n en fonction de n.

(c) Quelle est la limite de la suite (u_n) ? Justifier.

Que peut-on en d´eduire ?

4. En 2023. avec ce mod`ele, la population de loups est estim´ee `a 446 loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle d´ecision sera prise par le gouver- nement : afin de g´erer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs `a tuer un quota de 35 loups par an.

En quelle ann´ee la population de loups d´epassera-t-elle 600 loups ? Toute trace de recherche sera valoris´ee dans cette question.

Solution:

1. (a) Augmenter de 12 % revient `a multiplier par 1,12.

Donc en 2018, il y aura : 300×1,12−18 = 318 loups.

TES 5 DS 3 Page 2 de 4 (b) Pour tout entier natureln, on note paru_netu_n+1 les nombres respectifs de loups les ann´ees

n et n+ 1. D’apr`es le texte, d’une ann´ee `a l’autre le nombre de loups augmente de 12 %, puis on autorise `a tuer 18 animaux.

Donc pour tout entier natureln,u_n+1= 1,12×u_n−18.

2. Ci-dessous l’algorithme compl´et´e : N ←0 U ←300

Tant que U <600 faire U ←1,12×U−18 N ←N+ 1

Fin Tant que

3. (a) Pour tout entier naturel n:v_n+1=u_n+1−150 = 1,12×u_n−18−150 = 1,12×u_n−168

= 1,12×

u_n− 168 1,12

= 1,12(u_n−150) = 1,12×v_n

Donc la suite (vn) est g´eom´etrique de raisonq= 1,12 et de premier termev0 =u0−150 = 150.

(b) Pour tout entier naturel n,v_n=v₀×qⁿ= 150×1,12ⁿ. Or u_n=v_n+ 150 donc u_n= 150×1,12ⁿ+ 150.

(c) 1,12>1 donc lim

n→+∞1,12ⁿ= +∞ donc lim

n→+∞v_n= +∞.

On en d´eduit que lim

n→+∞u_n= +∞

4. `A l’aide d’un tableau et de la calculatrice, nous pouvons d´eterminer le nombre de loups apr`es 2023 en utilisant le mˆeme mode de croissance annuelle mais avec un pr´el`evement annuel de 35.

Ann´ee 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

n⁰ 0 1 2 3 4 5 6 7

Populationw_n⁰ 446 464,52 ≈ 485,26

≈ 508,49

≈ 534,51

≈ 563,65

≈ 596,29

≈632,84

Donc en 2030 le nombre de loups aura d´epass´e les 600 animaux.

Exercice 3 : Fonction exponentielle (25 minutes) (9 points)

On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’ensemble [−10; 10] des nombres r´eels parf(x) = (ax+b)e<sup>x</sup>+ 2, o`u a,b etc sont trois r´eels que l’on se propose de d´eterminer dans la partie A.

La courbe C repr´esentative de la fonction f dans le plan rapport´e `a rep`ere orthonorm´e est repr´esent´ee ci-dessous.

La courbeC passe par le pointA(0; 3), elle admet la droiteD comme tangente en ce point.

Le point B(0;−1) appartient `a la droiteD.

La courbeC admet ´egalement une tangente horizontale au point d’abscisse−¹₂

TES 5 DS 3 Page 3 de 4

−5 −4 −3 −2 −1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 A

B

C

D

Partie A

1. (a) Pr´eciser les valeurs def(0) etf⁰(−1,5).

(b) D´eterminerf⁰(0).

2. Montrer que pour tout r´eel x,f⁰(x) = (ax+a+b)e^x. 3. Montrer queaetbv´erifient :

(b+ 2 = 3 a+b= 3 . 4. En d´eduire les valeurs de aetb

Solution:

1. (a) f(0) = 3 etf⁰(−1,5) = 0 (b) f⁰(0) = 3

2. f⁰(x) =ae^x+ (ax+b)e^x = (a+ax+b)e^x

3. f⁰(0) = 3 donca+b= 3. f(0) = 3 doncb+ 2 = 3 4. On obtientb= 1 eta= 2.

Partie B

On admet pour la suite de l’exercice que, pour tout r´eel x,f(x) = (2x+ 1)e^x+ 2 1. Donner, pour tout r´eelx, l’expression def⁰(x).

2. (a) ´Etablir le tableau de variations def sur [−10; 10].

(b) D´eterminer le signe def(x) pour tout r´eel x∈[−10; 10].

3. (a) Montrer que l’´equation f(x) = 6 admet une unique solutionα sur [0; 1].

TES 5 DS 3 Page 4 de 4 (b) Donner un encadrement d’amplitude 10⁻² de α sur l’intervalle.

Solution:

1. f⁰(x) = 2e^x+ (2x+ 1)e^x= (2x+ 3)e^x

2. (a) e^x >0 pour tout r´eel x doncf⁰(x) est du signe de 2x+ 3.

x f⁰(x)

f

−10 −³₂ 10

− 0 +

−19e⁻¹⁰+ 2

−19e⁻¹⁰+ 2

−2e⁻³² + 2

−2e⁻³² + 2

21e¹⁰+ 2 21e¹⁰+ 2

(b) le minimum de la fonction est−2e⁻³² + 2.

Le minimum est positif donc la fonction est positive sur [−10; 10]

(a) Sur [0; 1],f est continue et strictement croissante. De plusf(0) = 3 etf(1) = 3e + 2≈10,15 donc 6∈[f(0);f(1)].

Par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equationf(x) = 6 admet une unique solution sur l’intervalle [0; 1].

(b) 0,59< α <0,60