Feuille d’exercices 2

(1)

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURE Ann´ee 2007/2008

MIME 22 LM 125

Groupe 22.4

Feuille d’exercices 2

Nombres complexes

Exercice 1 Calculer les racines carrées de i, les racines quatrièmes de i, puis les racines quatrièmes de −i.

Exercice 2 Déterminer l’ensemble des racines 5-ème de l’unité. On ramènera une équation de degré 4 ` a une équation de degré 2 grˆ ace ` a l’inconnue auxiliaire Z = z + z

⁻¹

.

Exercice 3 En utilisant les racines carr´ees de 1 + i, trouver une m´ethode pour obtenir une formule donnant cos(π/8) et sin(π/8).

Exercice 4 Soit x ∈] − π, π]. D´eterminer le module et l’argument de e

^ix

+ 1 puis de e

^ix

− 1.

Exercice 5 Démontrer que Z[i] est un anneau. Démontrer que les carrés des modules d’éléments de Z[i] sont exactement les sommes de deux carrés dans N. En déduire que l’ensemble des sommes de deux carrés dans N est stable par multiplication.

Exercice 6 1. Calculer les nombres P

n

k=0

cos(kθ) et P

n

k=0

sin(kθ).

Indication : les consid´erer respectivement comme des parties r´eelles et imaginaires.

2. Calculer de mˆeme P

n

k=0

k cos(kθ) et P

n

k=0

k sin(kθ).

Groupes

Exercice 7 On veut d´eterminer les sous-groupes H non nuls de ( Z , +). Soit H

⁺

l’ensemble des éléments strictements positifs de H , soit a le plus petit éléments de H

⁺

. Montrer que H = a Z .

Exercice 8 a) Soit S

¹

= {z ∈ C

^∗

: |z| = 1}. Montrer que S

¹

est un sous- groupe de ( C

^∗

, ×).

b) Soit U

n

= {z ∈ C : z

ⁿ

= 1}. Montrer que U

n

est un sous-groupe de S

¹

. Décrire les éléments de U

n

.

c) Soit a ∈ R \ Q. Soit

H

a

:= {z = e

²^πiϕ

| ϕ = ak, k ∈ Z}.

Montrer que H

a

est un sous-groupe infini de S

¹

.

d) Montrer que si (G, ×) est un un sous-groupe fini de (S

¹

, ×) alors il existe un entier n tel que G = U

n

.

1

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Feuille d’exercices 2

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURE Ann´ee 2007/2008

MIME 22 LM 125

Groupe 22.4

Feuille d’exercices 2

Nombres complexes

Exercice 1 Calculer les racines carrées de i, les racines quatrièmes de i, puis les racines quatrièmes de −i.

Exercice 2 Déterminer l’ensemble des racines 5-ème de l’unité. On ramènera une équation de degré 4 ` a une équation de degré 2 grˆ ace ` a l’inconnue auxiliaire Z = z + z

.

Exercice 3 En utilisant les racines carr´ees de 1 + i, trouver une m´ethode pour obtenir une formule donnant cos(π/8) et sin(π/8).

Exercice 4 Soit x ∈] − π, π]. D´eterminer le module et l’argument de e

+ 1 puis de e

− 1.

Exercice 5 Démontrer que Z[i] est un anneau. Démontrer que les carrés des modules d’éléments de Z[i] sont exactement les sommes de deux carrés dans N. En déduire que l’ensemble des sommes de deux carrés dans N est stable par multiplication.

Exercice 6 1. Calculer les nombres P

cos(kθ) et P

sin(kθ).

Indication : les consid´erer respectivement comme des parties r´eelles et imaginaires.

2. Calculer de mˆeme P

k cos(kθ) et P

k sin(kθ).

Groupes

Exercice 7 On veut d´eterminer les sous-groupes H non nuls de ( Z , +). Soit H

l’ensemble des éléments strictements positifs de H , soit a le plus petit éléments de H

. Montrer que H = a Z .

Exercice 8 a) Soit S

= {z ∈ C

: |z| = 1}. Montrer que S

est un sous- groupe de ( C

, ×).

b) Soit U

= {z ∈ C : z

= 1}. Montrer que U

est un sous-groupe de S

. Décrire les éléments de U

.

c) Soit a ∈ R \ Q. Soit

H

:= {z = e

| ϕ = ak, k ∈ Z}.

Montrer que H

est un sous-groupe infini de S

.

d) Montrer que si (G, ×) est un un sous-groupe fini de (S

, ×) alors il existe un entier n tel que G = U

.

1

Exercice 9 1. L’intersection de deux sous-groupes est-elle un sous-groupe ? 2. La r´eunion de deux sous-groupes est-elle un sous-groupe ?

3. Un groupe peut-il ˆetre r´eunion de deux sous-groupes propres ?

Exercice 10 Soit G un groupe, H une partie finie non vide de G telle que x, y ∈ H ⇒ xy

∈ H.

Montrer que H est un sous-groupe de G.

Exercice 11 Soit G un groupe multiplicatif. On suppose que x

= 1 pour tout x dans G. Montrer que G est ab´elien.

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