Université de Cergy-Pontoise - L1 Examen du 16 janvier 2019 - 1ère session
Examen d'Algèbre Linéaire
Durée : 2h30
Les documents, les téléphones portables et les calculatrices ne sont pas autorisés Les exercices sont indépendants. Le barème (sur 30 pts.) est donné à titre indicatif.
Bien soigner la rédaction. Toute réponse sans justication vaut zéro Notations & conventions :
1. Les vecteurs écrits dans une base seront seulement écrits comme vecteurs-colonne.
2. PourE etF deux espaces vectoriels sur un corps de scalaires Ketf :E →F linéaire, si G⊆E etH ⊆F sont des sous-espaces vectoriels, on rappelle les notations :
(a) f(G) ={y∈F | ∃x∈Gt.q.f(x) = y} est l'image (directe) deG par f. En particulier, l'image de f estIm(f) =f(E).
(b) f−1(H) ={x∈E |f(x)∈H} est l'image réciproque de H par f. En particulier, le noyau de f est Ker(f) = f−1({0F}).
Exercice 1 : (6 points)
1. Montrer que dansR3 (muni d'un repère orthonormal xé) les vecteurs−→u =
5 2 1
et−→v =
1
−3 1
sont orthogonaux.
2. Soit le point A = (3,1,1) dans l'espace et notons par P le plan dans l'espace dirigé par les vecteurs−→u et −→v et qui contient le point A.
2.a) Donner un système d'équations paramétriques du plan P.
2.b) En déduire qu'une équation cartésienne du planP est5x−4y−17z+ 6 = 0. 2.c) Calculer (à l'aide de sa dénition) le produit vectoriel −→u ∧ −→v, qu'on notera par −→n. 2.d) En déduire une équation cartésienne du planP.
3. Notons par O l'origine de l'espace et par D la droite (dans l'espace) orthogonale au plan P et qui passe par l'origine.
3.a) Donner un système d'équations paramétriques de la droite D. 3.b) En déduire un système d'équations cartésiennes de D.
Exercice 2 : (3 points)
Notons par S le sous-ensemble de R2 des solutions (x, y) du système linéaire (S)
ax+by = λ cx+dy = µ , où (a, b, c, d, λ, µ)∈R6.
1. Donner, en termes de λ etµseulement, une condition nécessaire pour que S soit un sous-espace vectoriel de R2.
2. Montrer que, sous cette condition, S est, eectivement, un sous-espace vectoriel deR2. Exercice 3 : (8 points)
Dans l'espace vectorielR3, soit les vecteurs :−→u =
−1 3 0
, −→v =
−2
−1 1
, −→w =
1 0 2
et−→ t =
1 11
−2
. 1. La famille de vecteursA= (−→u ;−→v ;−→w;−→
t ) est-elle libre ? Justier.
2. Montrer que la famille de vecteurs B= (−→u ;−→v ;−→w) est une base de R3. 3. Les familles de vecteursC = (−→u ;−→v )et D= (−→w;−→
t ) sont-elles libres ?
4. Notons par A,B, C etD les sous-espaces vectoriels deR3 engendrés par les familles de vecteurs A, B, C et D respectivement (donc A=VectA, etc...). Décider (avec justication !) si :
4.a) (i) C=R3 ; (ii) A=B ;
4.b) La somme de sous-espaces vectoriels C+D vaut-elle R3? (donc a-t-on : C+D=R3?) 4.c) Cette somme est-elle directe ? Autrement dit : a-t-on C+D=C⊕D?
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Exercice 4 : (10 points)
Soit R3 muni de sa base canonique E = (e1, e2, e3) etR2 muni de la base canonique F = (f1, f2). Soit u:R3 →R2 l'application linéaire dont la matrice MEF(u) dans la paire de bases canoniques est :
A =
−2 1 −4 3 −2 5
.
1. Indiquer la façon dont u agit sur un triplet (x, y, z) quelconque de R3. Autrement dit, trouver l'expression de a etb en fonction dex, y, z tels qu'on ait u(x, y, z) = (a, b).
2. Calculer le rang de A. En déduire la dimension de Im(u), puis déterminer l'espace image de u. L'applicationu est-elle surjective ?
3. Trouver la dimension de Ker(u), le noyau deu. L'application u est-elle injective ? 4. Déterminer Ker(u) en donnant le(s) vecteur(s) d'une de ses bases.
5. On dénit à présent deux nouvelles familles de vecteurs E0 = (e01, e02, e03) de R3 et F0 = (f10, f20) deR2 par :
(1)
e01 = e2+e3 e02 =e1 +e3 e03 =e1+e2
et (2)
f10 = 12(f1+f2)
f20 = 12(f1−f2).
5.a) Montrer que F0 = (f10, f20) est une base de R2. 5.b) Montrer queE0 = (e01, e02, e03) est une base de R3.
5.c) Trouver la matrice P de passage entre les basesE et E0 deR3. 5.d) Trouver la matrice Q de passage entre les bases F et F0 de R2.
5.e) Déterminer Q−1, matrice de passage de F0 à F dans R2. (Indication : on pourra résoudre le système d'équations (2) en inconnuesf10 etf20 et en déduire ainsiQ−1 du système résultant).
5.f) Notons par B la matrice ME0F0(u) deu dans la paire E0,F0 de bases "nouvelles".
Justier brièvement l'égalité : B =Q−1AP et en déduire B. Exercice 5 : (3 points)
Si H ⊆ E est sous-espace vectoriel et si f : E → F est une application linéaire entre les espaces vectoriels E et F, montrer l'égalité de sous-espace vectoriel :
f−1 f(H)
=H+ Ker(f).
(Indication : une égalité est dans ce cas une double inclusion de sous-espaces vectoriels)
