Savoir-faire fondamentaux Vecteurs et repérage dans l’espace
• Toutes les questions commencent par « Je dois, sans hésiter, savoir ».
• Il s’agit le plus souvent de techniques simples de calcul.
• La liste proposée n’est en aucun cas exhaustive.
• Etre incapable de traiter une question vous mènera inévitablement à d’importantes déconvenues.
Pour les S.F. de 1 à 6 on considère le cubeABCDEF GH. Avec IetJ les milieux respectifs des segments[AE]et[EF], et K tel que−−→
HK =1 4
−−→HG.
A
B C D
E
F H G
I
J K
M
b b b
S.F. 1)Correction
justifier que les droites (J K) et (F G) sont sécantes ou non.
S.F. 2)Correction
calculer la longueurAGsachant queAB= 1.
S.F. 3)Correction
trouver, par simple lecture graphique, un vecteur coli- néaire à−IJ.→
S.F. 4)Correction
trouver, par simple lecture graphique, un vecteur non co- planaire aux vecteurs −AB−→et−AD.−→
S.F. 5)Correction
écrire le vecteur−→AF comme combinaison linéaire des vec- teurs−AB−→et −AI.→
S.F. 6)Correction
justifier que les vecteurs~u,~v etw, dont des représentants~ respectifs sont−−→
EH,−−→ F B et−−→
F C sont coplanaires ou non.
S.F. 7)Correction
On considère le parallélépipède rectangleOABCDEF G.
A x
~i ~j
B C E
G
~k D
F z
O y
dans le repère orthonormal
O;~ı, ~, ~k
, donner les coor- données des sommets du parallélépipède.
S.F. 8)Correction
montrer que les pointsA,BetCsont alignés, sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k :
A(2,3,4), B(1,−1,3)et C(4,11,6).
S.F. 9)Correction
montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires, sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k :
A(−2,1,5), B(2,3,−1), C(1,−1,3) etD(−6,6,6).
S.F. 10)Correction
montrer queABCD est un parallélogramme, sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k :
A(1,2,3), B(4,5,6), C(2,3,−4)et D(−1,0,−7).
S.F. 11)Correction
déterminer les coordonnées du milieu I de[AB], sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k :
A(1,2,3)et B(4,5,6).
S.F. 12)Correction
déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB), sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k : A(1,2,3)et B(−4,3,2).
S.F. 13)Correction
montrer que le pointC(−10,5,0)n’est pas un point de la droite (AB)du S.F. précédent.
S.F. 14)Correction
déterminer les coordonnées du point d’intersection des droitesD etD′, sachant que dans le repère
O;~ı, ~, ~k : une représentation paramétrique deD est :
D:
x=−1 + 2t y= 1−t z= 3 + 4t
, t∈R.
une représentation paramétrique deD′ est :
D′:
x=t′ y= 5−2t′ z= 8 +t′
, t′ ∈R.
S.F. 1)Enoncé
Les 4 pointsF,G,K etJ sont des points du carréEF GH, donc les droites(J K)et (F G)sont coplanaires.
J est le mileu de[EF]et Kn’est pas le milieu de[HG], donc les droites(J K)et(F G)ne sont pas parallèles.
Les droites(J K)et(F G)étant coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes.
S.F. 2)Enoncé
Dans le triangleAEF rectangle enE :AF2=AE2+EF2= 12+ 12= 2.
De plusADF Gest un rectangle etAGest la diagonale de ce rectangle.
Donc dans le triangleAF Grectangle enF : AG2=AF2+F G2= 2 + 12= 3.
AinsiAG=√ 3.
S.F. 3)Enoncé
Différents vecteurs colinéaires à−→ IJ :
−→AF = 2−→
−→ IJ
F A=−2−→
−−→ IJ DG= 2−→
−−→ IJ
GD=−2−→ IJ
S.F. 4)Enoncé
Différents vecteurs non coplanaires aux vecteurs−−→ AB et−−→
AD:
−→AE,−−→
DH,−−→ CGet −−→
BF qui sont 4 représentants du même vecteur, on peut aussi proposer−→
IJ, −→
AF, −→
AG...
S.F. 5)Enoncé On a :−→
AF =−−→ AB+−−→
BF. Or :−−→
BF = 2−→ AI.
Donc :−→
AF =−−→ AB+ 2−→
AI.
S.F. 6)Enoncé On a :~u=−−→
EH =−−→ BC.
Donc :w~ =−−→ F C =−−→
F B+−−→ BC=−−→
F B+−−→
EH =~v+~u.
Ainsiw~ =−−→
F C s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs~v=−−→
F B et ~u=−−→
EH, les 3 vecteurs sont donc copla- naires.
S.F. 7)Enoncé O(0 ; 0 ; 0), A(2 ; 0 ; 0), B(2 ; 8 ; 0), C(0 ; 8 ; 0), D(0 ; 0 ; 4), E(2 ; 0 ; 4), F(2 ; 8 ; 4), G(0 ; 8 ; 4).
S.F. 8)Enoncé On a :−−→
AB
xB−xA yB−yA zB−zA
, soit−−→ AB
1−2
−1−3 3−4
, donc−−→ AB
−1
−4
−1
.
Et−→AC
2 8 2
.
On a donc−→AC=−2−AB, ainsi les vecteurs−→ −AB−→et −→AC sont colinéaires et les pointsA, B etC sont donc alignés.
S.F. 9)Enoncé
Pour démontrer que les 4 points A, B, C et D sont coplanaires, on démontre que les vecteurs −−→ AB, −→
AC et −−→ AD sont coplanaires. Pour cela on démontre le vecteur −−→
AB s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs −→
AC et −−→
AD, c’est à dire qu’il existe deux réelsxety tels que : −−→
AB=x−→
AC+y−−→ AD.
Or−AB−→
4 2
−6
, −→AC
3
−2
−2
et −AD−→
−4 5 1
.
Ainsi :
−−→
AB =x−→
AC+y−−→ AD⇔
4 2
−6
=x
3
−2
−2
+y
−4 5 1
⇔
4 = 3x−4y 2 = −2x+ 5y
−6 = −2x+y
⇔
−20 = −5x l1←−l1+ 4l3
32 = 8x l2←−l2−5l3
−6 = −2x+y
⇔
x = −−205
x = 328
−6 = −2x+y
⇔
x = 4
−6 = −2x+y
⇔
x = 4
−6 = −2×4 +y
⇔
x = 4 y = 2 D’où le résultat.
S.F. 10)Enoncé On a−−→
AB
3 3 3
et−−→
DC
3 3 3
.
Ainsi−AB−→=−−→DC et donc ABCDest un parallélogramme.
S.F. 11)Enoncé On a :I
xA+xB
2 ; yA+yB
2 ; zA+zB 2
, doncI 5
2 ; 7 2 ; 9
2
.
S.F. 12)Enoncé Le vecteur−−→
AB
−5 1
−1
est un vecteur directeur de la droite(AB).
Donc une représentation paramétrique de la droite(AB)est :
(AB) :
x = 1−5t y = 2 +t z = 3−t
, oùt∈R.
S.F. 13)Enoncé
Pour savoir si le pointC appartient à la droite(AB)précédente, on résoud le système :
−10 = 1−5t 5 = 2 +t 0 = 3−t
⇔
t = 115 t = 3 t = 3 Le système n’ayant pas de solution, le pointC n’appartient pas à la droite(AB).
S.F. 14)Enoncé
Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection des droitesD etD′, on commence par résoudre le système :
−1 + 2t = t′ 1−t = 5−2t′ 3 + 4t = 8 +t′
⇔
2t−t′ = 1
−t+ 2t′ = 4 4t−t′ = 5
⇔
2t−t′ = 1
3t = 6 l2←−l2+ 2l1 2t = 4 l3←−l3−l1
⇔
2t−t′ = 1
t = 2
⇔
t = 2 t′ = 3
Le système ayant une unique solution, les droites sont bien sécantes en un pointI.
On récupère les coordonnées de I en utilisant la représentation paramètrique de la droite D et la valeur t = 2 du paramètre.
AinsiI(3 ; −1 ; 11).
