Fiche technique : espace, principaux savoir-faire.
Avec des coordonnées
1. Montrer que des points sont alignés, coplanaires
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de droite 3. Montrer qu’un vecteur est normal à un plan
4. Déterminer un vecteur normal à un plan 5. Déterminer une équation de plan
6. Rechercher les positions relatives de deux droites
7. Rechercher les positions relatives d’une droite et d’un plan, déterminer leur intersection.
8. Rechercher les positions relatives de deux plans 9. Déterminer l’intersection de deux plans.
10. Montrer qu’une droite est l’intersection de deux plans 11. Calculer une longueur, un angle
Sans coordonnées
1. Montrer que trois points sont alignés
2. Montrer qu’une droite est parallèle à un plan 3. Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan 4. Montrer que deux droites sont parallèles
5. Montrer que deux droites sont sécantes 6. Montrer que deux droites sont orthogonales 7. Construire l’intersection de deux plans
8. Construire l’intersection d’une droite et d’un plan
Exercice 1 : Amérique du Nord, juin 2014
est un cube. est le milieu de [ ], celui de [ ] et est le points défini par ⃗ = ⃗.
Partie A
1. Justifier que les droites ( ) et ( ) sont sécantes en . Construire .
2. Justifier que ( ) et ( ) sont coplanaires. On admet qu’elles sont sécantes en . On admet de même que ( ) et ( ) sont sécantes en . Construire et .
3. Construire l’intersection des plans ( ) et ( ).
4. Construire la section du cube par le plan . Partie B
On se place dans le repère , ,⃗ ⃗, ⃗ . 1. Donner les coordonnées des points , , . 2. Déterminer les coordonnées de .
3. On admet que (1, 1, ). Le triangle est-il rectangle en ?
Exercice 2 : Métropole, la Réunion, juin 2015
Dans le repère ( , , , ) orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points (0, −1, 5), (2, −1, 5), (11, 0, 1), (11,4,4).
Un point est mobile sur ( ), il part de , va vers et se déplace à la vitesse d’un cm par seconde. On nomme la position de à l’instant et on admettra que ( , −1, 5).
De même un point est mobile sur ( ) à la vitesse d’un cm par seconde, et sa position est donnée par (11; 0,8 ; 1 + 0,6 ).
1. La droite ( ) est parallèle à l’un des axes. Lequel ?
2. La droite ( ) est située dans un plan , parallèle à l’un des plans ( ), ( ), ( ). Lequel ? Donner une équation du plan .
3. Vérifier que ( ) est orthogonale à et le coupe au point (11; −1; 5).
4. Les droites ( ) et ( ) sont-elles sécantes ? 5. Montrer que = 2 − 25,2 + 138.
6. Pour quelle valeur de la distance est-elle minimale ?
Réponses aux savoir-faire Avec coordonnées
1. Alignés : deux vecteurs sont colinéaires.
Coplanaires : Trois points sont toujours coplanaires.
Pour 4 points : former 3 vecteurs de même origine ⃗, ⃗, ⃗ puis chercher une relation de la forme ⃗ + ⃗ + ⃗ = 0⃗ avec , , non tous nuls.
2. Écrire ⃗ = ⃗ ( point connu de la droite, ⃗ vecteur directeur, point mobile) 3. Calculer le produit scalaire avec 2 vecteurs non colinéaires de ce plan.
4. On pose ⃗( , , ), on écrit ⃗ ∙ ⃗ = 0 et ⃗ ∙ ⃗ = 0, on obtient un système de 3 équations à 2 inconnues. On fixe une des inconnues (pas à la valeur 0) et on trouve les deux autres.
5. ⃗ ∙ ⃗ = 0 ( point connu du plan, ⃗ vecteur normal, point mobile)
6. On égale les systèmes paramétriques (avec deux paramètres différents). On obtient un système de 3 équations à deux inconnues. On résout le système composé de deux des équations, et on regarde si la troisième est vérifiée. Quand les vecteurs directeurs sont colinéaires, il peut ne rester qu’une équation (et dans ce cas les droites sont confondues).
7. On remplace dans l’équation du plan , , par leurs expressions paramétriques de la droite. On obtient une équation d’inconnue . Elle a 0, 1 ou une infinité de solutions, ce qui donne 0 point d’intersection (droite parallèle au plan), 1 (droite sécante) ou une infinité (droite incluse). On peut aussi considérer un vecteur ⃗ directeur de la droite et un vecteur ⃗ normal au plan : s’ils sont colinéaires, la droite est perpendiculaire au plan, orthogonaux, la droite est parallèle au plan (ou incluse dans le plan), en position quelconque la droite est sécante au plan.
8. On regarde les vecteurs normaux : s’ils sont colinéaires, les plans sont parallèles (ou confondus), orthogonaux, les plans sont perpendiculaires (et forcément sécants), en position quelconque les plans sont sécants.
9. On écrit les équations des deux plans. Pour obtenir le système d’équations paramétriques de la droite, on pose (par exemple) = et on exprime , en fonction de en résolvant le système.
10. On montre que deux des points de la droite appartiennent aux deux plans (ou que la droite est incluse dans les deux plans, voir 7)
11. On utilise le produit scalaire, en particulier ⃗ ∙ ⃗ = ‖ ⃗‖‖ ⃗‖ cos( ⃗, ⃗),ou Al Kashi
= + − 2 × × cos
Sans coordonnées
1. On montre qu’ils appartiennent tous les trois à deux plans sécants.
2. On montre qu’elle est parallèle à une droite de ce plan.
3. On montre qu’elle est orthogonale à deux sécantes de ce plan.
4. On montre qu’elles sont coplanaires sans point commun.
On a aussi le théorème du toit : quand deux plans sécants contiennent deux parallèles, leur intersection est parallèle à ces deux droites.
5. On montre qu’elles sont coplanaires et non parallèles.
6. On montre qu’une des droites est orthogonale à un plan qui contient l’autre.
7. On cherche deux points appartenant à ces plans.
On peut aussi chercher un point et utiliser le théorème du toit.
On peut aussi chercher un point, et utiliser que deux plans parallèles sont coupés par un même troisième en deux droites parallèles.
8. On construit l’intersection du plan et d’un plan bien choisi contenant la droite.
