UNSA 2018-2019 L3–Mesure et Topologie
Feuille d’exercices no2
Topologie de Rn, continuit´e et densit´e.
1. Topologie deR.
1.a. Parmi les quatre parties suivantes de la droite r´eelleR
[
n∈Z
]n, n+ 1[, {0} ∪ {1
n, n >0}, [a,∞[, [a, b]− {a+b 2 }
lesquelles sont ouvertes, lesquelles sont ferm´ees, lesquelles ne sont ni ouvertes ni ferm´ees ? D´eterminer leur int´erieur et leur adh´erence.
1.b. Montrer que pour tout pointxd’un ouvertU deRil existe un intervalle ]α, β[ contenantxet contenu dansU. Montrer qu’on peut choisir cet intervalle de sorte que sa longueurβ−αet son centre α+β2 soient rationnels.
1.c. Montrer que R ne contient qu’un nombre d´enombrable d’intervalles ouverts ayant un centre et un rayon rationnels. D´eduire de1.bque tout ouvert deRest r´eunion de tels intervalles.
2. Topologie deR2. On consid`ere les parties suivantes deR2:
A={(x, y)∈R2| −x2≤y≤x2} B ={(x, y)∈R2|x2+y2<1}
C={(x, y)∈R2| |x|=|y|}
D=B\A
2.a. D´eterminer les adh´erences A, B, C, D. Parmi les parties A, B, C, D lesquelles sontouvertes, lesquelles sontferm´ees. Justifier !
2.b. D´eterminer lesint´erieurs deA, B, C, D.
2.c. La fronti`ere d’une partie P est F ront(P) = P\Int(P). D´eduire de 1.a-bles fronti`eres deA, B, C, D, ainsi que l’intersection des quatre fronti`eres.
2.d. Ecrire´ D comme une r´eunion de deux partiesD0, D1 de R2 tels que D0∩D1=∅ etD0∩D1={(0,0)}.
3. Passage `a la fronti`ere. Soitγ: [0,1]→R2une fonction continue v´erifiant γ(0) = (0,0) etγ(1) = (1,1). Montrer que l’image deγrencontre le cercle-unit´e S1ainsi que le losangeLde sommets (±1.5,0),(0,±1.5).
4. Graphe d’une fonction continue. Soitf :R→Rune fonction continue.
Montrer que le graphe def est un ferm´e de R2. La r´eciproque est-elle vraie ? (Consid´erer la fonction f(x) =x1 pourx6= 0 etf(0) = 0).
5. L’ensemble des fonctions continues r´eelles sur un espace m´etrique.
5.a. Montrer que l’addition et la multiplication sont des fonctions continues deR2 dansR.
5.b. Montrer que pour deux fonctions continues f, g : (E, d) → R, les applicationsx7→f(x)±g(x) etx7→f(x)g(x) d´efinissent des fonctions continues f ±g, f ·g : (E, d) → R. (Autrement dit, l’ensemble des fonctions continues r´eelles sur un espace m´etrique forme une R-alg`ebre).
5.c. Montrer (en utilisant b) que {f ≤g} ={x∈E|f(x)≤g(x)} est un ferm´e de (E, d) resp. {f < g}={x∈E|f(x)< g(x)}est un ouvert de (E, d).
4. Densit´e. SoitS1⊂R2 le cercle-unit´e qu’on munit de la topologie induite.
5.a. Montrer que l’applicationf :R→S1d´efinie parf(t) = (cost,sint) est continue et surjective.
5.b. Montrer que toute application continue surjective envoie partie dense sur partie dense. En d´eduire queS1 poss`ede une partie d´enombrable dense.
6. Points isol´es. On dit qu’un pointx∈Ad’un espace topologiqueE est un point isol´e deAs’il existe un ouvertU deE tel queA∩U ={x}.
6.a. En consid´erantZ et Q comme des parties deR montrer que tous les points deZsont isol´es mais qu’aucun point deQn’est isol´e.
6.b. On pose α(A) =
o
A, i.e. α(A) est l’adh´erence de l’int´erieur de A.
Montrer que siAest ouvert (resp. ferm´e) alorsA⊂α(A) (resp. A⊃α(A)).
6.c. SoitA une partie de Rn. Montrer que siA=α(A) alorsA est ferm´e et ne contient aucun point isol´e. La r´eciproque est-elle vraie ?
7. Espaces topologiques s´epar´es. Montrer qu’un espace topologiqueE est s´epar´e si et seulement si ∆E={(x, x)∈E×E} est un ferm´e dansE×E.
En d´eduire que pour deux applications continuesf, g:E1→E2, l’ensemble des pointsEq(f, g) ={x∈E1|f(x) =g(x)}est un ferm´e deE1pourvu queE2 est s´epar´e.
8. Topologie deRn.
8.a. Montrer que la topologie de (Rn,k−k) induite par une norme quelconque surRn coincide avec la topologie-produit surRn.
8.b. Montrer qu’une applicationf :Rk →Rn est continue si et seulement siπi◦f :Rk →Rl’est pour touti= 1, . . . , n.
8.c. Montrer que le d´eterminant det :Mn(R)→Rest une fonction continue.
On identifieMn(R) `aRn
2muni de la topologie standard. En d´eduire queGln(R) est un ouvert deMn(R).
Mots-Cl´es: Topologie deRn, continuit´e, densit´e, topologie-produit.
