Terminale S1 DS1 2005-2006 (durée 2 heures) Date
Exercice 1 :
On considère la suite numérique(un)définie sur Npar :
½ u0=a
un+1=un(2−un) oùaest un réel donné tel que0< a <1.
1. On suppose dans cette question quea=1 8. 1.a. On a immédiatementu0= 1
8, u1= 1 8
µ 2−1
8
¶
= 15
64 etu2=15 64
µ 2−15
64
¶
=1695 4096 1.b.c.
1 2
1
A0 A1 A2 A3
2. On suppose dans cette question queaest un réel quelconque de l’intervalle ]0; 1[. 2.a.SoitPn la propriété défine par :Pn: ”0< un<1”.
Initialisation:0< a <1etu0=a.On a donc bien0< u0<1c’est à dire P0 vraie.
Hérédité: SupposonsPn vraie, c’est à dire0< un<1et montrons quePn+1est encore vraie, c’est à dire que0< un+1<1 0< un<1⇒
½ −1<−un <0 0< un<1 ⇒
½ 1<2−un<2 0< un<1 ⇒
½ 2−un>0
un>0 ⇒un(2−un)>0donc un+1>0 De plus montrons queun+1<1en étudiant le signe de un+1−1c’est à dire de un(2−un)−1
un(2−un)−1 =−u2n+ 2un−1⇒un+1−1 =−(un−1)2⇒un+1−1<0⇒un+1<1 On a donc bien0< un+1<1.
La propriétéPnest vraie pourn= 0.La supposant vraie à l’ordren,on démontre qu’elle l’est encore à l’ordre n+ 1. D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n .
2.b.un+1−un=un(2−un)−un⇒un+1−un=un−u2n=un(1−un) Trinôme enun qui admet0et1pour racines et est positif entre0et1.
un appartenant à cet intervalle, on a doncun+1−un>0qui prouve que la suite(un)est croissante.
2.c.(un)étant croissante et majorée est une suite convergente.
On peut aller plus loin puisque sa limite est solution de l’équationf(x) =x,c’est à dire dex(2−x) =x.
Cette équation, qui s’écrit aussi−x2+x= 0 amet deux solutions 0et1.La suite étant croissante avec un premier terme 1
strictement positif, elle ne peut converger vers 0(facile à démontrer par l’absurde) et admet donc 1 pour limite. La suite propose une autre méthode pour trouver cette limite.
3.On suppose à nouveau dans cette question quea= 1
8et on considère la suite numérique(vn)définie surNparvn= 1−un. 3.a.On serait en droit de remplacerapar 1
8 mais je préfère conserver le calcul littéral.
un+1=un(2−un)⇒vn+1 = 1−un(2−un)⇒vn+1=u2n−2un+ 1⇒vn+1= (1−un)2. On a donc vn+1=vn2
3.b.Le calcul des premiers termes permet de conjecturer le résultat qu’il suffira ensuite de démontrer par récurrence.
v0= 1−a ;v1=v20= (1−a)2 ;v2=v12=³
(1−a)2´2
= (1−a)2×2 ;v3=v22=³
(1−a)2×2´2
= (1−a)23 On peut donc conjecturer quevn = (1−a)2n . Démontrons le par récurrence.
SoitPn: ”vn = (1−a)2n”
Initialisation: On a vu ci-dessusv0= 1−a= (1−a)20 doncP0 est vraie.
Hérédité : Supposons Pn vraie, c’est à dire vn = (1−a)2n et montrons que Pn+1 est encore vraie, c’est à dire que vn+1= (1−a)2n+1
½ vn= (1−a)2n
vn+1=vn2 ⇒vn+1=³
(1−a)2n´2
⇒vn+1= (1−a)2n×2vn+1= (1−a)2n+1 doncPn+1est vraie.
La propriétéPnest vraie pourn= 0.La supposant vraie à l’ordren,on démontre qu’elle l’est encore à l’ordre n+ 1. D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n .
On a donc, pour tout entier natureln, vn = (1−a)2net en valeurs numériques,vn= µ7
8
¶2n
.
3.c.
⎧⎨
⎩
n→lim+∞2n= +∞ 0< 7
8<1 ⇒ lim
n→+∞
µ7 8
¶2n
= 0.
On a donc lim
n→+∞vn = 0donc lim
n→+∞un = 1comme l’indiquait la courbe ci-dessus.
Exercice 2 :
Soit à étudier la fonctionf(x) = (1−x)√
1−x2 sur l’intervalle[−1; 1]. 1. Etudier la dérivabilité de la fonction sur]−1; 1[.
La fonction√est dérivable sur]0; +∞[.Or, sur]−1; 1[,1−x2>0.La fonction√
1−x2est donc dérivable sur cet intervalle comme composée de telles fonctions.
La fonction1−xest évidemment dérivable sur cet intervalle.
f est donc dérivable sur]−1; 1[comme somme de telles fonctions.
2.Etude du signe def0(x)sur l’intervalle ]−1; 1[. La fonction est donc dérivable sur cet intervalle.
Sa dérivée vaut alors :f0(x) = (1−x)0√
1−x2+ (1−x)¡√
1−x2¢0
Or¡√
1−x2¢0
= −2x 2√
1−x2 = −x
√1−x2 d’oùf0(x) =−√
1−x2−(1−x) x
√1−x2
C’est à diref0(x) =−¡ 1−x2¢
−x(1−x)
√1−x2 ⇒f0(x) =2x2−x−1
√1−x2 qui est du signe de2x2−x−1.
Ce trinôme admet pour racines1et−1
2 et est négatif sur
¸
−1 2; 1
∙
intervalle sur lequel la fonction est décroissante, positif sur
¸
−1;−1 2
∙
et la fonction est alors croissante, et nul en−1
2 et1abscisses des extremums de la courbe.
2
On calculef µ
−1 2
¶
=3 4
√3. D’où le tableau :
x
f' (x)
− 1
0
-1/2 1
0
0 f (x)
+ −
4 3 3
Tableau de variations
1 0.5
0 -0.5 -1
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
x y
x y
La courbe (non demandée) 3.Etudier la dérivabilité de la fonction en−1et1
Une fonctionf définie en a est dérivables en asi et seulement si f(a+h)−f(a)
h admet une limite quand htend vers 0.
Cette limite est alors le nombre dérivé def ena.
Etude en1 : f(1 +h)−f(1)
h =−h
q
1−(h+ 1)2−0
h ⇒.f(1 +h)−f(1)
h =−
q
1−(h+ 1)2 On en déduit que lim
h→0 h <0
f(1 +h)−f(1)
h = lim
h→0
µ
− q
1−(h+ 1)2
¶
= 0.
La fonction est donc dérivable à gauche en1et sa dérivée en1vaut0.
Etude en−1 : f(−1 +h)−f(−1)
h =(2−h)
q
1−(h−1)2−0
h ⇒.f(−1 +h)−f(−1)
h = (2−h)p
h(2−h) h
Mais cette fois la convergence en0n’a rien d’évident car on est en présence d’une forme indéterminée.
Maish(2−h) =h2
µ2−h h
¶
doncp
h(2−h) = s
h2
µ2−h h
¶
=h
r2−h
h puisque h > 0, l’étude étant faite à droite de
−1.
Ainsi f(−1 +h)−f(−1)
h = (2−h)
r2−h h .
hlim→0(2−h) = 2 ⇒ lim h→0
h >0 2−h
h = +∞ et f(−1 +h)−f(−1)
h n’a pas de limite en 0. La fonction n’est pas dérivable à droite en−1.
4. La courbe aura donc une tangente "horizontale" d’équationy= 0 au point de la courbe d’abscisse1 La courbe aura donc une tangente "verticale" d’équationx=−1au point de la courbe d’abscisse−1 Remarque : ce sont de demi-tangentes.
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