Terminale S1 DS4 (durée 2 heures) 11 janvier 2006
Exercice 1 : (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u ,−→v) d’unité graphique 4 cm.
On note Aet B les points d’affixes respectives1 eti.
A tout point M, distinct deAet d’affixez, est associé le pointM0 d’affixeZ = (1−i) (z−i) (z−1) . 1.a. Calculer l’affixz du point C0 associé au point C d’affixe−i.
1.b. Placer les pointsA, B etC sur unefigure.
2. Soit z=x+iy,où x ety désignent deux nombres réels.
2.a. Montrer l’égalité : Z= (x−1)2+ (y−1)2−1
(x−1)2+y2 − x2+y2−1 (x−1)2+y2i.
2.b. Déterminer l’ensembleE des pointsM tels que Z soit réel.
2.c. Déterminer l’ensembleF des points M tels que Re (Z) soit négatif ou nul.
3.a. Ecrire le nombre complexe (1−i) sous forme trigonométrique.
3.b. SoitM un point d’affixe z,distinct deA et de B.
Montrer que : (1−i) (z−i)
z−1 ∈R∗ si et seulement si il existe un entierk tel que³−−→M A,−−→M B´
= π 4 +kπ.
3.c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant ³−−→M A,−−→M B´
= π 4 +kπ.
3.d. Déterminer l’ensemble des pointsM vérifiant
³−−→
M A,−−→
M B
´
= π
4 + 2kπ.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[par : f(x) =x+ lnx.
On nomme (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal ³
O;−→i ,−→j´
du plan.
1.a. Déterminer les limites de la fonctionf aux bornes de son intervalle de définition.
1.b. Montrer que la fonctionf est strictement croissante sur ]0; +∞[.
2.a. Montrer que, pour tout entier n, l’équationf(x) =nadmet une unique solution dans]0; +∞[. On note αn cette solution. On a donc, pour tout entier natureln : αn+ lnαn=n.
2.b. On a tracé cidessous(Γ) dans le repère³
O;−→i ,−→j´ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Placer les nombresα0, α1, α2, α3, α4,etα5 sur l’axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents.
2.c. Préciser la valeur deα1.
2.d. Démontrer que la suite (αn) est strictement croissante.
3.a. Déterminer une équation de la tangente(T) à la courbe(Γ) au pointA d’abscisse 1.
3.b. Etudier les variations de la fonctionh définie sur ]0; +∞[par : h(x) = ln (x)−x+ 1.
En déduire la position de la courbe (Γ) par rapport à (T). 3.c. Tracer(T) sur le graphique.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul, n+ 1
2 ≤αn.Déterminer la limite de la suite (αn).
