Terminale S2 DS1 (2 heures) Le 20 septembre 2007
Exercice 1 :
Partie A:
D’après(2);8n2N; un vn . Or (vn)est décroissante doncvn vn 1 v0:
On a donc8n2N; un v0 qui prouve que la suite(un)est majorée parv0:Etant par ailleurs croissante, elle converge vers une limite (…nie)U.
On montre de même que(vn)est une suite décroissante minorée paru0donc convergente vers une limite …nieV:
(un)et (vn)étant convergente, d’après les théorèmes généraux sur les limites,(un vn)converge versU V:
Or d’après(1) lim
n!+1(un vn) = 0:On en déduit queU V = 0 qui prouve que les deux suites convergent vers la même limite.
Partie B:
(un)dé…nie sur Net à termes non nuls.vn = 2 un
1. Si(un)converge vers0;(vn)ne converge pas d’après les théorèmes généraux sur les limites . La première a¢ rmation est donc Fausse.
2.(un)est minorée par2 si et seulement si : 8n2N; un 2) 1 un
1 2 ) 2
un 1 Ainsi(vn)est minorée par1: La seconde a¢ rmation est vraie.
3. D’après les théorèmes de monotonie : si(un)est décroissante, 1
un est croissante et 2
un est décroissante.
L’a¢ rmation 3 est fausse. N’importe quel contrexemple aurait fait l’a¤aire : un = 1
n est décroissante etvn est alors vn= 2nqui est décroissante.
4. Faux: un= ( 1)nest un contrexemple évident. Une suite peut diverger sans tendre vers l’in…ni. La propriété qui serait vraie est : Si(un)tend vers l’in…ni;alors(vn)converge vers0; mais c’est une autre histoire.
Exercice 2 :
On sait que( 1)n2 f 1; +1g:On peut donc écrire 1 ( 1)n 1d’où : p
n2+ 1 1 p
n2+ 1 + ( 1)n p
n2+ 1 + 1:
En remarquant quep
n2+ 1 1 etp
n2+ 1 + 1 sont positifs et que la fonction 1
x étant décroissante surR+; on a , : 1
pn2+ 1 + 1 p 1
n2+ 1 + ( 1)n p 1
n2+ 1 1 et en multipliant par3n+ 1>0 : 3n+ 1
pn2+ 1 + 1 un
3n+ 1 pn2+ 1 1:
Or 3n+ 1 pn2+ 1 + 1 =
n 3 + 1 n n
r 1 + 1
n2 +1 n
!:
Donc pourn6= 0 : 3n+ 1 pn2+ 1 + 1 =
3 + 1 r n
1 + 1 n2 + 1
n Or lim
n!+1
1
n = 0donc lim
n!+1
r 1 + 1
n2 = 1et lim
n!+1
r 1 + 1
n2 1 n
!
= 1d’après les théorèmes généraux sur les limites.
De plus lim
n!+1 3 + 1
n = 3d’où 8>
>>
<
>>
>:
n!lim+1 3 + 1 n = 3
n!lim+1
r 1 + 1
n2 1 n
!
= 1
) lim
n!+1
3n+ 1 pn2+ 1 + 1 = 3
De même, 3n+ 1 pn2+ 1 1 =
3 + 1 r n
1 + 1 n2
1 n
et lim
n!+1
3n+ 1
pn2+ 1 1 = 3:
D’après le théorème des gendarmes, la suite converge donc vers 3
Exercice 3 :
1. f0(x) =2 (x+ 1) (2x+ 1)
(x+ 1)2 ) f0(x) = 1 (x+ 1)2 :
On a doncf0(x)>0sur[1; 2]. La fonctionf est donc strictement croissante sur cet intervalle.
Or on constate quef(1) = 1etf(2) = 5
3 <2:Ainsi, la fonction étant croissante sur [1; 2]: 8x2[1; 2]; f(x)2[f(1) ;f(2)]c’est à dire f(x)2 1;5
3 [1; 2]:D’où le résultat.
2.
2.1.
1 2
1 2
O U0 U1
U2
V1 V0 V2
On peut conjecturer, d’après le graphique, que(un)est croissante et convergente et que(vn)est décroissante et convergente.
IL semble aussi que les deux suites convergent vers la même limite. On peut directement conjecturer aussi que ces deux suites sont adjacentes.
2.2.1. Pour tout entier naturel n;1 vn 2 Soit(Pn)la propriété : 1 vn 2
Initialisation : v0= 2donc1 v0 2et P0 est vraie.
Hérédité : SupposonsPn vraie, c’est à dire1 vn 2qui s’écrit encorevn 2[1; 2]:
On vient d’établir quex2[1; 2])f(x)2[1; 2]donc icivn 2[1; 2])f(vn)2[1; 2]c’est à dire1 vn+1 2:
La propriétéPn+1 est donc vraie.
La propriété est vraie pour n= 0 ; la supposant vraie pour n on montre qu’elle l’est encore pourn+ 1: Elle est donc vraie pour tout n 0:
2.2.2. Pour tout entier natureln; vn+1 vn: Soit(Pn)la propriété : vn+1 vn
Initialisation : v0= 2etv1= 5
3 doncv1 v0 etP0est vraie.
Hérédité : SupposonsPn vraie, c’est à direvn+1 vn
La fonctionf étant croissante, on a:f(vn+1) f(vn)c’est à dire vn+2 vn+1 qui prouve quePn+1 est vraie.
La propriété est vraie pour n= 0 ; la supposant vraie pour n on montre qu’elle l’est encore pourn+ 1: Elle est donc vraie pour tout n 0:
2.3. 8n2N; vn+1 un+1=f(vn) f(un))vn+1 un+1= 2vn+ 1 vn+ 1
2un+ 1 un+ 1
)vn+1 un+1=(2vn+ 1) (un+ 1) (2un+ 1) (vn+ 1) (vn+ 1) (un+ 1)
Et en développant : vn+1 un+1= vn un
(vn+ 1) (un+ 1) : FOn peut démontrer quevn un 0 par récurrence : Soit(Pn)la propriété : vn un 0
Initialisation : v0= 2etu0= 1)v0 u0 0etP0 est vraie.
Hérédité : SupposonsPn vraie, c’est à direvn un 0 Alorsvn+1 un+1= vn un
(vn+ 1) (un+ 1) 0puisque 1 un 2)un+ 1 0et de même pourvn:
La propriété est vraie pour n= 0 ; la supposant vraie pour n on montre qu’elle l’est encore pourn+ 1: Elle est donc vraie pour tout n 0:
FOr un 1)un+ 1 2 et de mêmevn 1)vn+ 1 2:
On en déduit que(vn+ 1) (un+ 1) 4 et que 1
(vn+ 1) (un+ 1) 1
4:D’oùvn+1 un+1 1
4(vn un): 2.4.Montrer que, pour tout entier naturel n; vn un 1
4
n
:
On peut écrire lesninégalités 8>
>>
>>
>>
<
>>
>>
>>
>:
vn un
1
4(vn 1 un 1) vn 1 un 1
1
4(vn 2 un 2) ...
v1 u1
1
4(v0 u0)
avecv0 u0= 1
En les multipliant membre à membre (tout est positif) on obtient : vn un
1 4
n
Mais une démonstration par récurrence est plus élégante : Soit(Pn)la propriété :vn un
1 4
n
Initialisation : v0 u0= 1doncv0 u0 1 4
0
et P0 est vraie.
Hérédité : SupposonsPn vraie, c’est à direvn un 1 4
n
Sachant d’après 2.3. quevn+1 un+1
1
4(vn un);on a en utilisant l’hypothèse de récurrence :vn+1 un+1
1 4
1 4
n
C’est à direvn+1 un+1
1 4
n+1
qui prouve quePn+1 est vraie.
La propriété est vraie pour n= 0 ; la supposant vraie pour n on montre qu’elle l’est encore pourn+ 1: Elle est donc vraie pour tout n 0:
2.5. Montrer que les suites (un)et(vn)convergent vers une même limite :Déterminer la valeur exacte de : Ayant établi à la question 2.3. que vn un 0; on a donc 0 vn un 1
4
n
qui prouve d’après le théorème des gendarmes que lim
n!+1(vn un) = 0:On a donc(un)croissante,(vn)décroissante et lim
n!+1(vn un) = 0qui prouve que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et convergent vers la même limite.
Dans le cas d’un suite dé…nie par récurrence, on sait que la limite , si elle existe véri…e =f( ): Ainsi =2 + 1
+ 1 ) 2+ = 2 + 1:Ainsi est solution de 2 1 = 0:
Qui donne, après résolution de l’équation du second degré : =1 p 5
2 ou = 1 +p 5 2 :
La première solution, inférieure à1n’est pas recevable puisque(un)converge en croissant et est minorée par1:
Ainsi =1 +p 5
2 qui est soit dit en passant le nombre d’or.
