Terminale S2 DS2 (2 heures) Octobre 2007

Terminale S2 DS2 (2 heures) Octobre 2007

Exercice 1 :

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire 1.a.Limite en −∞:φ(x) =

x²+x+ 1

e^−x−1 =x

x+ 1 + 1 x

e^−x−1







x→−∞lim x

x+ 1 + 1 x

=−∞

x→−∞lim e^−x= +∞

⇒ lim

x→−∞φ(x) =−∞

1.b.φest dérivable surRcomme composée et produit de fonctions dérivables surR. Sa dérivée estφ^′(x) = (2x+ 1)e^−x−

x²+x+ 1

e^−x⇒φ^′(x) =−x(x−1)e^−xqui est du signe de−x(x−1)donc positive sur[0,1].

La fonction est donc strictement croissante sur cet intervalle, et strictement décroissante ailleurs.

2.a. Une solution évidente de cette équation est x = 0. La fonction étant continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur]−∞; 0],elle n’admet pas d’autre solution dans ]−∞; 0].La fonction étant ensuite strictement croissante sur [0,1],l’équation n’admet pas de solution dans cet intervalle.

La fonction étant enfin continue et strictement décroissante sur [1; +∞[ avec φ(1) >0et lim

x→+∞φ(x) =−1<0, l’équation φ(x) = 0admet une solution unique dans cet intervalle.

Elle admet donc deux solutions :0etα∈[1; +∞[

2.b.A la calculette,

x²+x+ 1

e^−x−1, on obtientφ(1.79)>0etφ(1.8)<0.Une valeur approchée deαà10⁻² près est donc1.79

2.c.D’après les variations de φ, φ(x)est donc positive ou nulle sur]−∞;α]et négative sur]α; +∞[ Partie B : Etude de la position relative de deux courbes

1. Il suffit de montrer quef(0) =g(0) = 1et que les tangentes en ce point ont même coefficient directeur, c’est à dire, les fonctions étant dérivables surR, quef^′(0) =g^′(0).

f^′(x) = (−2x+ 1)e^−x⇒f^′(0) = 1etg^′(x) =−2x²+ 2x−1

(x²+x+ 1)² ⇒g^′(0) = 1

Les deux courbes admettent donc en ce point la même tangente d’équation :y= 1 +x

2.a.f(x)−g(x) = (2x+ 1)e^−x− 2x+ 1

x²+x+ 1 ⇒f(x)−g(x) =−(2x+ 1)

x²+x+ 1

e^−x−(2x+ 1) x²+x+ 1

Doncf(x)−g(x) =−(2x+ 1) x²+x+ 1

e^−x−1

x²+x+ 1 d’où le résultat.

2.b.Orx²+x+ 1>0puisqu’il s’agit d’un trinôme dont le discriminant est négatif et le coefficient dominant positif.

f(x)−g(x) est donc du signe de(2x+ 1)φ(x)

1

0 α

−∞

φ ( x ) + + −

− + +

−

− + 2 x + 1

f ( x ) – g ( x )

0

0 0

x − 1/2 +∞

+

0 +

0

0 +

On en déduit que la courbe def est au-dessus de celle de g sur [−1/2;α] et en dessous ailleurs.

Elles se coupent pourx= 1/2et x=α,sont tangentes pour x= 0.

Exercice 2 :

1. ∀n∈N, un+1−un= 2n+ 3>0donc(un)est strictement croissante.

2.1.Par récurrence : Soit(Pn) :un> n² Init :u0= 1doncu0>0² etP0 vraie

Hérédité : Supposons Pn vraie, c’est à direun > n²

Alorsun+1=un+ 2n+ 3> n²+ 2n+ 3doncun+1> n²+ 2n+ 1 + 2⇒un+1>(n+ 1)²+ 2 Doncun+1>(n+ 1)² etPn+1est vraie.

P0 est vraie ; SupposantPn on montre quePn+1 est vraie. Pn est donc vraie pour toutn≥0.

2.2.Dès lorsun> n²⇒ lim

n→+∞un> lim

n→+∞n² donc lim

n→+∞un= +∞

3. u0= 1;u1= 1 + 2×0 + 3 = 4;u2= 9 ... On peut conjecturer queuⁿ = (n+ 1)². Par récurrence :

Init :u0= 1doncu0>1² etP0 vraie.

Hérédité : Supposons Pn vraie, c’est à direun = (n+ 1)²

Alors,un+1=un+ 2n+ 3 = (n+ 1)²+ 2n+ 3⇒un+1=n²+ 4n+ 4doncun+1= (n+ 2)²et Pn+1est vraie. ...Conclusion

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