Revisions 02 Equations_Corrige

R6solution d'une 6quation

I

^{nesouOre dans R chaque 6quation.}

a.7r I 2: _-3x -

^{5 b.}

-4x - ^3:2x -

⁷

a.7xl2:-3x-5 I b.-+r -3:2x-7

1Ox

+2: -5 | _-6x - 3: -7

10x:-7 | -6x:-4

.:-*,: _{-*} I .:i ^,: _{i}

fensemble des solutions est

9: _{-a}.

et

x.*.L.*.O

.X.*.;.1... _^"

Les solutions sont 4.e1 .= 3....

Les solutions sont

0.et.-

1....

Or,.

-.1 ⁺ .-.l.il'ensemble

des solutions

"rt y: I-1J

2

^{,,J EJr}

r.'--i_-rl.

!!

^Resoudre

^tEquation -i:,t : t

-?* LA

+ x-s :

0 6quivaut ir

-3r *

⁶

:

0

etx -

³

=

^0,

c'est-d-dire

,: a:2 et.r =

^3.

Or,2

*

3; l'ensemble

-3

des solutions est

g : _{2}.

I

^nesouUre mentalement dans R chaque 6quation.

a.l:9 b,i:2 c.x2: -

⁴

.. . x.=.3. ou x.=.

-.3

^*.=. _^8.

^ou.*

^-=.

-.J5.

^P. as.de.solution

f,l

nesouareceprobtdme,

$G*tAffiifffitWe,4e-

trouv6 sur le

^papyrus

de M*;.;

Rhind(165oavantJ.-C.). ffi

1. Choix de

l'inconnue

Que cherche-t-on ?... Une quantit6"... "...

On note x cette inconnue.

2. Mise en

6quation

Quelle 6quation

traduit

la situation ?

"...x.*.lx.=.1.9...

3. R6solution de

ltquation

⁷

x.+.1 x _"=. 1.9. . dquiva.ut ^{A .}

I *.+.!*.

_=..t9.. ... ... ... .. ... ...

777

c'est.ir.dire .9x.=. 1.9.... Ains i^ .x

=.1

9.x1.=.9...

... ... _{^.. ..} .

788

4. Conclusion

La.quantite.cherch6eest.]:i . . .

^.

8

r _3x-

oux {+,4

.=.3.

ffi

33

!!

^{Compt6ter sans} effectuer de calcul.

a.(.r-a)(x+3):0

b.

3"t(-x -

¹⁾

:

0

fl

^Expliquer

pourquoi l6quation (x*5)'z:0 a

^une

seule solution. Indiquer cette solution.

Seul.. .[e.. .ca116 .. de.. 0.. est ..6gal _".

i.

..0,. . donc... ['6quation --r.*.5).'?.=.0.dqulva.ut )

x.*.5

"=.0-Sa. solution est.=

5...

Compl6ter.

1)(-x+3):O6quivauti:

3x.-.1..=.0...

cest-it-dire

.rc.-:.;.,1

3

l-iensemble des solutions est ff.

=

oU .=x*.3.=.0...

f!

^Compl6ter.

+#: ^o

^6quivaut

i

2x'.*.3..='o c'est-ir-dire .*.=.-.1*.. _"...

2

Chapitre

4 *

Equations et in6quations

;. Equation

du premierdegr6 i

^une

inconnueiox * b:

^cx

+ d(oir a,b,c,ddesignent

des nombres r6els,a

*c)

4x

*

1

:x -

¹³

"'onsoustraitxichaquemembre :4x - 1 r':x- 13

^r

3x -

¹

: _-

13

" .Onajoutel ichaquemembre:3x- 1,,.

^.i

:-13

¹

3x:_ 12

^:o

-^: - ;' ^on

divise chaque membre par 3 :

iI : ^--:3

. Equation

produit

nul ou

quotient nul (2r - ^{s)(x + 4).:0}

^dquivaut

i

Zx

- 5:0

^ou

^x I ^{4:0, soit} x: I ^{o, x} :

^_ 4.

2 L'ensemble des solutions est

9: {-0, t}.

t'2)

Equation x2

:

o (a d6signe un nombre r6el) Si o

>

0, l6quation admet

deux solutions

Jo et -Ja.

f

Deux catcuts

-l

CalculerA-5-3x (-2;3.

FactoriserB:4x2 _

_1.

. Si a

:

0, l6quation admet une seule solution 0.

:t]: r-2 _o

dquivaut

i

^3x

*

¹

:

o et

x -

²

^zo,

c'est-ir-dire, _3 : -f

^etx

_=2.

or

-! ^*

² donc l'eisemble des solutions

"u y : I- ]

_I.

3 ---' "'"-l _:J

Si a

<

0, l'6quation n'admet pas de solution.

I a.v6rifier

^que

-#'i:]:olution

^de

^l€quation:

*. x.

{-

^{2)?. *.8. .x . (} -. ^2). _=- ^{4. x. 4 "} -..1 ⁶ .=. 1.6. .= . I 6. =. o'. . . . . .'

Aj n si, .- 2. est. bien. une. sol utio.n. d e J.6quat[on.. ^. .'. ^. _" .

b. Factoriser

+* + 8x. 4x1*.8x.=.4x(x..+..2)... .

^....

c. En d6duire, par calcul mental, l'ensemble

I

^{des solutions}

de l'6quation 4x2

+ 8x:0. 9=.{"-.2.;0}.

R6soudre dans R chaque 6quation.

a.x'- 16:

o

b.25 -

^4x2

:0

ff

^nesouare l'6quation

2: _-+.

l-l6quation

2 _x :

_-.a, 6quivaut it

-4x:

⁵

etx =

^0,

c'est-ir-dire

*: -1

₄

^{etr *}

^0.

5

'^

r^.

aar,,+ianc

^"- * - I-11

Or,

-i= ^0;

l'ensemble des solutions est

I : t;l

ffi

34

a.l - ^16:

^{0 6quivaut a (x}

⁺

^a)(x

- ^4):0

c'est-i-dire ^:

x*4:0 ou x-4:0 x: -4 ou x:4

l-'ensemble des solutions est

I : _{- ^4;4}.

b. 25

-

^4x2

:

o 6quivaut e 52

-

^(2x)z

:

0 c'est-ir-dire (s

+ zr)(s -

^zx)

^{:0 soit:}

5*2x:O ou 5-2x:O

x:-- 55 ou x:- 22

l-lensembte des solutions est

9:

{j, ;}

Gquations se ramenant a une 6quation du premier _degr6

Pour

tout nombre r6el x, on donne

l'expression

A(r) :

(x

+

^3)(3x

- ^s) -

^(x

^{+ 3)(x} -

^2).

a. Factoriser A(x).

-A(.r)"

=

^.(r.

+

^.3) [(3r. _=. ^. s)..=. (r. .=.2)J

A.k).

= .k +

.3) (ax..=. .s..-- ;r. *. .2)..=. (r. .+ " 3) (2r. .= "3.).' ^{- .. . ..} .' b. En d6duire la r6solution de l'6quation A(x)

:

^g'

L6quation {x. +. 3).(Zr. =. ^3).

=

^{O. 6quivaul}

it.'....

..'.. .

x.*.3.=.0.ou.2r":.3.

_=.0.

c'est.i.dire.x.=.:3

^{o.u. J'}

=.:.

^{' '..}

Lensemble der.sotutions est

g.=. J--:;. X i l2)

f! nu*"nerl'6quation (x- 1)(x+3) - ^{(r+ s)(r-}

²⁾

:6

ir une 6quation

du 1"'degr6,

en d6veloppant le membre de gauche, puis la r6soudre dans R.

l-l6quation

(, -

^{1) (x}

⁺

³⁾

- ^{(, + s) (,} -

²⁾

:

0 6quivaut ity'-

+zx -x -

³

- ^(*'-2x+

^5x

- ^10):g

c'est-i-direr2

*

^3x

_- ^x _{-3 -} f +

^zx

-

^5x

* 10:0 Ainsi,-xl7:0soitx:7.

Llensemble des solutions est

g : _{7}.

!!

Expliquerpourquoil6'quation

(, - ^5)' - ^{(. -3)'} :

O

est 6quivalente

i _-

^2(2r

-

⁸⁾

:

0, puis la r6soudre dans R' L€quation

(, - ^5)' -

^(x

- ^3)' :

0 6quivaut ir

[(,-

^s)

⁺

^(x

- ^{3)] tk} - ^s) - ^(, - ^3)l :o

c'est-i-dire

(r -

⁵

^*x - ^3)(, -

⁵

-

^x

*

³⁾

:

^g

soit-2(2x-8):0.

Ainsi, 2x

-

⁸

:

0 (car

-

²

=

⁰⁾ c'est-i-dire x

:

4.

l-lensemble des solutions est

g : _{4}.

.x-2:0 6quivaut i x:2 ^{donc 2 est} la

^valeur

interdite. On r6sout l€quation dans R

- ^{2}.

.

Pour x

=

^2,

l'6quation t' -l : 2

6quivaut

i x-z

5x

-

¹

:

2(x

-

²⁾ c'est-i-dire

5r -

¹

:

2x

-

^4.

Ainsi, 3x

: _-

3 cest-ir-direx

- -

^1.

Or,

- ¹ =

^2; l'ensemble des solutions est

I : _{-

^1}.

@

^Resouare

^l6quation ':-):r.

?4

*

^pour r6soudre certaines 6quations,

on

^{peut penser}

i

^{regrouper tous les} termes dans un membre,

i

d6velopper, il factoriser

...

On se ramEne alors

i

^{une 6quation de type}

L'6quation 9 : 2

6quivaut successivementi

8: x

^{Zx et.x}

₌

⁰

x:4elx=0

Or 4

*

0, donc l'ensemble des solutions est

g : _{4}.

Donner l'6criture fractionnaire de A

:

3-2

+

^2-3.

1

On donne une liste de nombres :1

;2;7

^;

a;6.

D6terminer mentalement le nombre a ^{pour que}

^la

moyenne de ces cinq nombres soit 69ale

i

^4.

connu (voir ^p. 33).

Ltquation

^x2

:

3x 6quivaut successivement

i

x' - 3x:

⁰

<-

On regroupe ^1es termes en x.

x(x-3) :

0

<-

^{On factorise}

^x' -

^{3, pout se ramener}

i

une 6quation Produit nul.

x:0oux:3

L'ensemble des solutions est

9: _{0;3}.