Cette fiche de révisions propose quelques exercices corrigés classiques abordant des points fondamentaux des programmes de 1ère S ou de T°S en analyse.
En vous aidant de votre cours de l’an dernier, chercher ces exercices sérieusement et travaillez éventuellement les corrections fournies en notant sur une fiche, les méthodes importantes ou les points que vous n’avez pas compris.
Enfin, pour aborder votre rentrée sereinement, je ne peux que vous conseiller de refaire vos deux derniers Ds de première…
I - TRINÔMES
EXO I-1 (*) Soit P(x) = x3− 3x − 2.
1. Vérifier que 2 est racine de ce polynôme.
2. En déduire une factorisation de P(x).
EXO I-2 (*) Soit f(x) = x²+3x +4
x +2 .
1. Montrer qu’il existe 3 réels a, b et c tels que : pour tout x de Df, f(x) = ax + b + c x +2 . 2. En déduire 2 asymptotes de la courbe représentant f.
EXO I-3 (*) Soit P(x) = 8x²- 14x + 5.
1. Calculer P(0) et P(1).
2. En déduire, sans calculer le discriminant, que P(x) a 2 racines distinctes.
EXO I-4 (**)
Existe-t-il deux entiers (relatifs) consécutifs dont la somme des carrés est 1301 ? Si oui, trouver tous les cas possibles.
EXO I-5 (***)
P est la parabole d’équation y = (½)x²- x - 3/2 et ∀ m ∈ IR , Dm est la droite d’équation y = mx-6.
1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection de P et Dm, quand m=0, m=2 et m=4.
2. Discuter, suivant les valeurs de m, du nombre de points d’intersection de P et Dm.
II- ASYMPTOTES
EXO II-1 (*) Soit f la fonction définie sur par
2 2
8 1
( ) 4 1
x x
f x x
= − +
+ représentée par Cf.
1. Déterminer la limite de f en l’infini et en déduire l’asymptote à Cf.
2. Etudier les positions relatives de Cf par rapport à son asymptote.
3. En déduire, sans aucun calcul, une valeur approchée de f(7800).
EXO II-2 (*) Soit f la fonction définie sur par
3 2
2
( ) 5
1
x x x
f x x
− + − +
= + .
1. Montrer que Cf n’admet aucune asymptote horizontale.
2. Montrer que la droite D d'équation y = − x + 1 est une asymptote à la courbe C f en −∞ et en + ∞.
3. Déterminer les positions relatives de Cf et D.
4. Donner, sans calculatrice, une valeur approchée de f(125).
EXO II-3 (*) f est la fonction définie sur IR * par
x x x
f 1
2 ) 1
( = − +
.1. Pourquoi peut-on affirmer que la droite ∆ d'équation
2
− 1
= x
y
est asymptote à C fau voisinage de + ∞ ? au voisinage de – ∞ ? 2. Précisez la position relative de C f et de ∆.
3. C f et de ∆ s’interceptent-elles ?
EXO II-4 (*) f est la fonction définie sur IR – { – 2 } par
2 1 3 ) 2
(
2+ +
= + x
x x x
f
1. Étudier les limites quand x tend vers − 2.
2. Trouver trois nombres a, b, c tels que pour tout x ≠ – 2 ;
) 2
( = + + +
x b c ax x
f
3. Trouvez une équation d'une asymptote oblique ∆ à C f au voisinage de + ∞.
4. Vérifiez que ∆ est aussi asymptote à C f au voisinage de – ∞.
5. Précisez la position relative de C f et de ∆.
III- ETUDE DE FONCTIONS
EXO III-1 (*) Soit f(x) = x²+x -2
(x+1)² définie sur Df=]-∞ ;-1[ ∪ ]-1 ;+∞[.
Déterminer les variations de f sur son domaine.
EXO III-2 (*) Soit f(x) = x3- 3x² définie sur IR.
1. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.
2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3. Trouver les coordonnées des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
4. Trouver l’équation de la tangente T à Cf au point A(1 ;-2) et étudier les positions relatives de Cf et T.
5. Construire Cf et T dans un repère orthonormé.
EXO III-3 (*) Soit f(x) = 2x - 1
x + 1 définie sur Df = ]-∞ ;-1[∪]-1 ;+∞[.
1. Montrer que Cf admet une asymptote horizontale D (en l’infini) ainsi qu’une asymptote verticale.
2. Dresser le tableau de variation de f sur son domaine.
EXO III-4 (**) f est la fonction définie par f(x) = x3-6x²+ 9x
(x-1)² et Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i→ ; j→) (unité 1 cm sur chaque axe)
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.
3. Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que : pour tout x de Df, f(x) = ax+b + c (x-1)² . 4. Soit D la droite d’équation y = x−4.
a. Montrer que D est asymptote à Cf en −∞ et +∞.
b. Etudier les positions relatives de Cf et D.
c. Cf a−t−elle d’autres asymptotes ?
5. Etudier le signe de f(x) et en déduire la position de Cf par rapport à l’axe (O ; i→) 6. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
On pourra utiliser la relation a3−b3 =(a b a− )
(
2+ab b+ 2)
.7. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution lorsque x < 1.
8. Déterminer l’équation de la tangente (T) à Cf au point O.
IV- SUITES
1. u est une suite arithmétique de raison r = 5 et de premier terme u1 = −1.
a. Exprimer un en fonction de n b. En déduire u20 et u100
c. Calculer S = u1 + u2 + …… + u20.
2. u est une suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme u0 = 4.
a. Exprimer un en fonction de n b. En déduire u20 et u50 (à 10−3 près) c. Calculer S = u0 + u1 + u2 + …… + u20.
3. Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont arithmétiques ou géométriques. (justifier votre réponse)
a. u définie par ∀ n ∈ IN , un = 3n
2 b. v définie par v0 = 3 et ∀ n ∈ IN , vn+1 = vn + v0 c. w définie par wn = 2n² + 3
4. u est la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par un = 2n - 1 n² . a. Etudier le sens de variation de la suite u.
b. Montrer que tous les termes de cette suite sont compris entre 0 et 1.
c. Déterminer la limite de u quand n tend vers +∞.
5. u est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = 1 3 un +1 a. Calculer u1 et u2
b. v est la suite définie, pour tout entier n, par vn = un − 3 − Montrer que v est géométrique 2
− En déduire vn puis un en fonction de n.
− Déterminer la limite de u quand n tend vers +∞.
6. OABC est un carré de côté a. On construit le quart de cercle de centre O et passant par A et C.
O1 est le milieu de [OC]. On construit le carré O1CB1C1 à l’extérieur du carré précédent et le quart de cercle de centre O1 et passant par C et C1.
O2 est le milieu de [O1C1]. On construit le carré O2C1B2C2 à l’extérieur du carré précédent et le quart de cercle de centre O2 et passant par C1 et C2.
Et on continue cette construction pour obtenir une spirale …
On note r1 le rayon du premier quart de cercle, r2 celui du deuxième quart de cercle, etc … 1. Réaliser la figure avec au moins 5 carrés.
2. Quelle est la nature de la suite r ?
3. Quelle est la longueur de la spirale obtenue avec 5 carrés ? avec 10 carrés ? 4. Que fait la longueur de la spirale quand n → +∞ ?
CORRIGES
Corrigé Exo I-1 1. On a, P(2) = 8 – 6 - 2 = 0 donc 2 est racine de P.
2. A savoir :
si a est une racine d’un polynôme P (c’est à dire P(a) = 0) alors P(x) est factorisable par x −−−− a.
P(2) = 0 donc P(x) se factorise par x-2 : comme P est de degré 3, on a P(x) = (x−2)
(
ax2+ +bx c)
.Développons le membre de droite : (x−2)
(
ax2+ + =bx c)
x a3( )+x b2( −2a) (+x c−2b)−2c. Mais P(x) = x3− 3x − 2, donc par identification des coefficients1 1
0 2
3 2 2 2 2 1
a a
b a c b b
c c
= =
= − ⇔ =
− = −
− = − =
.
On a ainsi, P(x) = (x−2)
(
x2+2x+1)
, soit après calcul du discriminant du deuxième facteur, P(x) = (x−2)(x+1)².Corrigé Exo I-2 1. Mettons au même dénominateur : ax + b + c
x +2 = … = ax²+ (a+b)x + 2b+c
x +2 .
Or f(x) = x²+3x +4
x +2 donc par identification : a = 1 a+b = 3
2b+c = 4 d’où a = 1 b = 1
c = 2 et donc f(x) = x + 1 + 2 x +2 . 2.
→On sait que
2
lim 1 2
x→− x = ±∞
+ donc
lim ( )2
x f x
→− = ±∞ : la droite d’équation x = -2 est donc asymptote à Cf.
→Par ailleurs, lim 1 0
2
x→∞x =
+ donc xlim→−2(f x( ) (− +x 1))=0 : par définition, la droite d’équation y = x +1 est asymptote à Cf en + et – l’infini.
Corrigé Exo I-3 1. On a P(0) = 5 et P(1) = -1.
2. P(x) n’est pas de signe constant, donc P(x) a un discriminant strictement positif ! Corrigé Exo I-4
Soit n un entier naturel : n+1 est donc son consécutif.
On cherche donc n ∈ Z tel que n²+ (n+1)²= 1301 , soit (E) cette équation.
(E) ⇔ 2n² + 2n – 1300 = 0 ⇔ n² + n – 650 = 0.
n² + n – 650 a pour discriminant ∆ = 2601=51². ∆ > 0 donc (E) ⇔ n = (-1-51)/2 = -26 ou n = (-1+51)/2 = 25. Ainsi, quand n = -26, n+1 = -25 et quand n = 25, n+1 = 26.
Les entiers cherchés sont donc –26 et –25 ou 25 et 26.
Corrigé Exo I-5
1. A savoir : pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf et Cg, on résout l’équation f(x) = g(x).
Ainsi, M(x ;y) ∈ P ∩ Dm ⇔ ( y = 1/2x²- x - 3/2 ET y = mx – 6) soit (S) ce système d’équations.
→quand m=0, (S) ⇔ y = 1/2x²- x - 3/2 ET y = -6 donc 1/2x²- x -3/2 = -6 c’est à dire x²-2x +9 = 0
x²- 2x + 9 a pour discriminant ∆ = - 8 et n’a donc pas de racines.
Donc P ∩ D0 = ∅
→quand m=2, (S) ⇔ y = 1/2x²- x - 3/2 ET y = 2x - 6 donc 2x - 6 = 1/2x²- x - 3/2 c’est à dire x²- 6x +9 = 0 or x²- 6x +9 = 0 ⇔ (x-3)²= 0 ⇔ x = 3, on a alors y = 0.
Donc P ∩ D2 = A(3 ;0).
→quand m=4, (S) ⇔ y = 1/2x²- x - 3/2 ET y = 4x - 6
donc 4x - 6 = 1/2x²- x - 3/2 c’est à dire x²- 10x +9 = 0
x²-10x +9 a pour racine évidente 1, l’autre racine est alors 9. Quand x=1, y=-2 et quand x=9, y=30.
Donc P ∩ D4 = {A(1;-2) ;B(9;30)}
2. Dans le cas général, (y = 1/2x²-x -3/2 ET y = mx –6) mx –6 = 1/2x²-x -3/2 c’est à dire x²-2(m+1)x+9=0.
x²-2(m+1)x +9 a pour discriminant ∆ = (m+1)²-9 = (m+1+3)(m+1-3) = (m+4)(m-2) d’après la règle du signe du trinôme :
→quand m ∈ ]-4 ;2[, ∆ < 0 donc x²- 2(m+1)x +9 n’a pas de solution donc (S) n’a pas de solution et P ∩ Dm = ∅.
→quand m = -4 ou m = 2, ∆ = 0 donc x²- 2(m+1)x +9 a une racine double donc (S) a une solution et P coupe Dm en un seul point.
→quand m ∈ ]-∞ ;-4[∪]2 ;+∞[, ∆ > 0 donc x²-2(m+1)x +9 a deux racines donc (S) a deux solutions et P coupe Dm en deux points.
II- CORRIGES ASYMPTOTES
Corrigé EXO II-1
1. A savoir : en l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est égale à celle du quotient de ses monômes de plus haut degré.
Ainsi, nous avons
2 2 2 2
2 2 2 2
8 1 8 8 1 8
lim lim 2 et lim lim 2
4 1 4 4 1 4
x x x x
x x x x x x
x x x x
→ −∞ → −∞ → +∞ → +∞
− + − +
= = = =
+ + soit
lim ( ) 2 et lim ( ) 2
x f x x f x
→ −∞ = → +∞ = .
Par conséquent, la droite (horizontale) D d’équation y = 2 est asymptote à Cf en l’infini
2. Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote D d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) −−−− 2.
On a
( )
2
2 2 2
8 1 1 1
( ) 2 2
4 1 4 1 4 1
x x x x
f x x x x
− + − − − +
− = − = =
+ + + . Comme 4x² +1 > 0 pour tout x, on a :
→pour x < − 1, ( )
2
1 0
4 1
x x
− +
+ > et la courbe est au dessus de l’asymptote.
→pour x > − 1, ( )
2
1 0
4 1
x x
− +
+ < et la courbe est au dessous de l’asymptote.
3. 7800 est un grand nombre et par définition de l’asymptote, quand x est grand Cf est très prés de D, donc f(x) est très prés de 2 : f x( ) 2≈ (vérifiez le !).
Corrigé EXO II-2 1. Cf admet une asymptote horizontale si lim ( ) tan
x f x cons te
→∞ = : toujours par le même résultat sur les
fonctions rationnelles 3 22 23
( )
lim 5 lim lim
1
x x x
x x x x
x x x
→ −∞ → −∞ → −∞
− + − + −
= = − = +∞
+ et
( )
3 2
2
lim 5 lim
1
x x
x x x
x x
→ +∞ → +∞
− + − +
= − = −∞
+ .
Soit lim ( ) et lim ( )
x f x x f x
→ −∞ = +∞ → +∞ = −∞.
2. Pour montrer que la droite D d'équation y = − x + 1 est une asymptote à la courbe C f en −∞ et en + ∞ on montre que lim ( ) ( 1) 0
x f x x
→ ∞ − − + = .
or 24 24
lim 0 et lim 0
1 1
x→ −∞x = x→ +∞ x =
+ +
donc
lim ( ) ( 1) 0 et lim ( ) ( 1) 0
x f x x x f x x
→ −∞ − − + = →+∞ − − + = .
On a donc bien lim ( ) ( 1) 0
x f x x
→ ∞ − − + = .
3. Comme x²+1 > 0 pour tout x, on en déduit que f(x) – (-x+1) > 0 pour tout x et donc que Cf est toujours au dessus de D.
4. 125 est grand donc f(125) est proche de –125 +1 = -124 ( par définition d’une asymptote).
A l’aide de la calculatrice, on obtient : pour x = 125 :
3 2 3 2
2 2
5 125 125 125 5 968810
1 125 1 7813 123.99
x x x
x
− + − + − + − +
= = −
+ + ≈ − et − x + 1 = −124 !!
(−124) est une valeur approchée de f (125) l’erreur commise
(
12542 1= 78132)
+ est inférieure à 10 − 3.
( ) ( )
( )
( )
3 2
2
2
3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
2
( ) 1 5 1
1
1 1
5
1 1
5 1
1 1
4 1
x x x
f x x x
x
x x
x x x
x x
x x x x x x
x x
x
− + − +
− − + = − − +
+
− + +
− + − +
= −
+ +
− + − + − + − +
= −
+ +
= +
Corrigé EXO II-3 1. Car on applique la définition : lim ( ) 1 lim1 0
2
x f x x x
x
→∞ − − = →∞ = .
2. On applique encore la méthode « signe de la différence » : Pour déterminer la position relative de 2 courbes C et Cf g, on détermine le signe de la différence f(x)-g(x).
Ici ( ) 1 1
f x x 2
− − = x donc ( ) 1 pour x>0
f x ≥ x−2 et ( ) 1 pour x<0
f x ≤ x−2 cad que Cf est en dessous de son asymptote pour x>0 et de même, Cf est au dessus de son asymptote pour x>0.
3. Les courbes Cf et Cg s’interceptent si l’équation f(x) = g(x) admet une solution.
La courbe, ici, ne croise jamais son asymptote car ( ) 1 1 f x x 2
− − = x ne peut jamais s’annuler.
Corrigé EXO II-4 1. lim 22 2 3 1 3
x x x
→− + + = et
lim2 2 0
x −x −
→− − = donc
lim ( )2
x − f x
→− = −∞. De même,
lim ( )2
x + f x
→− = +∞. Cela signifie que la droite verticale d’équation x = 2 est asymptote à Cf.
2. METHODE : procéder par identification (ou par division euclidienne).
( ) ( )
2
( ) 2
2 2 f x ax b c
x
x a x a b c
= x
= + + +
+ + +
+ donc par identification avec
2 1 3 ) 2
(
2+ +
= + x
x x x
f
on aa = 2 ; 2a+b = 3 donc b=-1 et c=3.
Ainsi ( ) 2 1 3
f x x 2
= − +x + .
3 et 4. Par conséquent : f x( )−(2x− =1) x+32 donc xlim→±∞
(
f x( )−(2x−1))
=xlim→±∞x3+2=0 et par définition, la droite D d’équation y = 2x-1 est asymptote à Cf en l’infini.-10,6 -8,48 -6,36 -4,24 -2,12 0 2,12 4,24 6,36 8,48
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5. Pour déterminer la position relative de 2 courbes C et Cf g, on détermine le signe de la différence f(x)-g(x).
Ici
(
f x( )−(2x−1))
= x+12 donc f x( )≥(2x−1 pour x>-2) et f x( )≤(2x−1 pour x<-2) cad que Cf est en dessous de son asymptote pour x>-2 et de même, Cf est au dessus de son asymptote pour x>-2.REMARQUE : la courbe, ici, ne croise jamais son asymptote car
(
f x( )−(2x−1))
= x3+2 ne peutjamais s’annuler.
III-CORRIGES ETUDE DE FONCTIONS
Corrigé EXO III-1
Pour déterminer les variations d’une fonctions, on étudie le signe de sa dérivée.
→f, fonction rationnelle, est dérivable sur son domaine et f ’(x) = … = x+5 (x+1)3 Ainsi, f ’(x) = 0 ⇔ x+5 = 0 ⇔ x = -5.
→ Comme (x+1)3 est du signe de (x+1), f’(x) a le signe de x+5
x+1 soit encore le signe du trinôme (x+5)(x+1).
D’après la règle du signe du trinôme : x f'(x)
+ -5 0
- -1
||
+
→f est donc croissante sur ]-∞ ;-5[ et sur ]-1 ;+∞[, décroissante sur ]-5 ;-1[.
-15,2 -12,7 -10,1 -7,6 -5,1 -2,5 0,0 2,5 5,1 7,6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Corrigé EXO III-2
1. f étant un polynôme, en l’infini il se comporte comme son monôme de plus haut degré.
Ainsi xlim ( )→−∞ f x =xlim→−∞x3 = −∞et xlim ( )→+∞f x =xlim→+∞x3 = +∞.
2. f est dérivable sur IR et f’(x) = 3x²- 6x = 3x(x-2) qui a le signe du trinôme x(x-2).
Par conséquent :
x -∞ 0 2 +∞
f’(x) + 0 - 0 + +∞
f(x) -∞ 0
-4
3. Les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses sont solutions de f(x) = 0 ⇔ x3- 3x²=0 ⇔ x²(x-3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3, donc Cf ∩ (x’Ox) = {O(0 ;0), B(3 ;0)}.
4. →f étant dérivable en a, l’équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse a a pour équation T a pour équation y = f(a) + f ’(a)(x-a).
Ici, y = f’(1)(x-1) + f(1), or f’(1) = -3 et f(1) = -2 donc T a pour équation y = -3x + 1.
→Les positions relatives de Cf et T sont données par le signe de f(x) – (-3x+1).
On a f(x) – (-3x+1) = x3- 3x²+ 3x –1 = x3- 1 - 3x(x-1) = (x-1)(x²+2) qui a le signe de x-1, donc quand x ∈ ]-∞ ;1[, f(x) – (-3x+1) < 0 donc Cf est en dessous de T
quand x ∈ ]1 ;+∞[, f(x) – (-3x+1) > 0 donc Cf est au dessus de T quand x = 1 , f(x) – (-3x+1) = 0 donc Cf et T se coupent en A(1 ;-2) 5.
2 3
-1 -2
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x y
Corrigé EXO III-3 1.
→En ± ∞, la fonction rationnelle f se comporte comme le quotient de ses monômes de plus haut degré donc lim ( ) 2
x f x
→∞ = : la droite d’équation y = 2 est donc asymptote à Cf en l’infini.
→ –1 est valeur interdite, mais ça ne suffit pas pour conclure à l’existence d’une asymptote verticale (penser à la fonction ( ) 2 2 1
1
x x
f x x
+ +
= + ).
Par contre quand x → -1-, f(x) → +∞
x → -1+ f(x) → -∞
La droite d’équation x = -1 est donc bien asymptote à Cf. 2. f est dérivable et on a f ’(x) = 2(x+1) - (2x-1)
(x+1)² = 3
(x+1)² qui est toujours strictement positif (mais f n’est pas croissante sur son domaine, attention)
On a donc sur son domaine :
Corrigé EXO III-4
1. f(x) existe à condition que (x−1)²≠ 0 c’est à dire x ≠ 1 donc Df = ]−∞ ;1[ ∪ ]1 ;+∞[
2. Limites de f en −∞ et +∞ : f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ »
Mais, en l’infini, la fonction rationnelle f se comporte comme x3/x² c’est à dire x donc limx→-∞f(x) = −∞ et x→+∞lim f(x) = +∞ (pas d’asymptote horizontale).
limite de f en 1 : quand x → 1, x3−6x²+9x → 4 et (x−1)² → 0+ donc limx→1f(x) = +∞ (asymptote verticale d’équation x = 1).
3. On a ax+b + c
(x-1)² = … = ax3+ (b-2a)x²+(a-2b)x + (b+c)
(x-1)² et par identification avec f(x), on obtient a = 1, b = −4 et c = 4 donc f(x) = x−4 + 4
(x-1)² . 4a. Comme
( )2
lim 4 0
1
x→∞ x =
− on en déduit que lim ( )x→∞ f x − − =(x 4) 0 donc la droite D d’équation y = x−4 est asymptote à Cf en l’infini.
4b. Les positions relatives de Cf et D sont données par le signe de f(x) −(x−4) c’est à dire de 4/(x−1)² or (x−1)²>0 donc f(x)−(x−4) > 0. On en déduit que Cf est toujours au dessus de D.
4c. On a vu que limx→1f(x) = +∞, donc la droite ∆ d’équation x = 1 est asymptote à Cf.
x -∞ -1 +∞
f’(x) + +
f(x) 2 +∞ -∞ 2
5. Etude du signe de f(x) : dans Df, (x−1)² > 0, donc f(x) est du signe de x3−6x²+9x.
Or x3−6x²+9x = x(x²−6x+9) = x(x−3)² qui a le signe de x et s’annule pour 0 et 3.
Ainsi Cf et l’axe (O ; i→) ont deux points communs :O(0 ;0) et A(3 ;0) avant O, Cf est en dessous de l’axe (O ; i→) et au dessus après.
6. Etude des variations de f : f est dérivable dans Df.
f’(x) = (x−4)’ + 4( 1
(x-1)² )’ = 1 + 4×-2(x-1)
(x-1)4 = (x-1)3- 23
(x-1)3 =( )
( )
( )
2 3
3 3
1
x x
x
− +
− .
Mais x²+3 > 0 et (x−1)²> 0 pour tout x donc f’(x) est du signe de (x−3)/(x−1) donc du trinôme (x−3)(x−1) c’est à dire : x
f'(x)|
|-∞
+ 1
|| - 3
0 + +∞
7. Sur l’intervalle ] ;1]∞ , f est dérivable, passe d’une valeur négative (−∞) à une valeur positive (+∞) et elle est strictement croissante. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ] ;1]∞ .
8. La tangente (T) à Cf au point O(0 ;0) a pour équation : y = f’(0)(x−0) + f(0).
Or f’(0) = 9 et f(0) = 0 donc (T) a pour équation y = 9x.
CORRIGES SUITES
1. u est une suite arithmétique de raison r = 5 et de premier terme u1 = −1.
a. un est n−1 termes « après » u1 donc un = u1 + (n−1)r c’est à dire un = −1 +5(n−1) = 5n −6 b. u20 = 5×20 −6 = 94 et u100 = 5×100 − 6 = 494 c. S = u1 + u2 + …… + u20 = u1 + u20
2 ×20 = -1+94 2
×20 = 930
2. u est une suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme u0 = 4.
a. un est n termes « après » u0 donc un = u0×qn c’est à dire un = 4(0,9)n b. u20 = 4(0,9)20 ≈ 0,486 et u50 = 4(0,9)50 ≈ 0,021
c. S = u0 + u1 + u2 + …… + u20. et 0,9S = u1 + u2 + …… + u20 + u21 donc S −0,9S = u0 − u21 S −0,9S = u0 − u21 ⇔ 0,1S = 4 − 4(0,9)21 ⇔ S = 40 − 40(0,9)21 ≈ 35,623
x −∞ 1 3 +∞
f ’(x) + − 0 + f (x) −∞ +∞ +∞
0 +∞
3. ∀n∈IN, un = 3n
2 un+1
un = 3n+1 2 × 2
3n = 3 donc u est une suite géométrique de raison 3.
v0 = 3 et ∀n∈IN, vn+1 = vn + v0 vn+1 – vn = v0 = 3 donc v est une suite arithmétique de raison 3.
wn = 2n²+ 3 w0 = 3, w1 = 5 et w2 = 11. 5-3 ≠ 11-5 et 5/3 ≠ 11/5 donc w n’est ni arithmétique ni géométrique.
4. ∀n∈IN*, un = 2n - 1
n² . un = f(n) avec f(x) = 2x-1
x² sur l’intervalle [1 ;+∞[.
f’(x) = 2x² - (2x-1)2x
x4 = -2x²+2x
x4 = 2x(1-x) x4
Sur [1 ;+∞[, f’(x) < 0 car 2x > 0, x4 >0 et 1−x < 0 donc f décroît sur [1 ;+∞[ donc u décroît sur IN* (car IN* est inclus dans [1 ;+∞[).
b. u décroît donc u est majorée par son premier terme u1 = 1
de plus, n ∈ IN* donc 2n−1 >0 et n²> 0 donc un > 0. La suite est donc bornée par 0 et 1.
c. qd n → +∞, un se comporte comme 2n/n² c’est à dire 2/n donc un → 0.
5.
u0 = 1 et ∀n∈IN, un+1 = 1
3 un +1. a. u1 = 1/3 +1 = 4/3 et u2 = 4/9 +1 = 13/9 b. ∀n∈IN, vn = un − 3
2 donc vn+1
vn = un+1 -3/2
un - 3/2 = (1/3)un + 1 - 3/2
un - 3/2 = (1/3)un - 1/2
un - 3/2 = (1/3)(un - 3/2)
un - 3/2 = 1/3.
Donc v est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme v0 = u0 − 3/2 = 1 − 3/2 = −1/2 vn étant n termes « après » v0, vn =v0 × qn c’est à dire vn = −1/2(1/3)n
vn = un − 3
2 donc un = vn + 3/2 c’est à dire un = −1/2(1/3)n + 3/2
quand n tend vers +∞, (1/3)n → 0 car 0 < 1/3 < 1 donc −1/2(1/3)n → 0 et un → 3/2.
6. 2. le premier carré a pour côté a donc le premier quart de cercle a pour rayon a. donc r1 = a
Compte tenu de la construction, le côté de chaque carré est la moitié du côté du carré précédent, donc rn+1 = ½ rn.
Donc la suite r est géométrique de raison ½ et de premier terme r1 = a.
3. dans le nième carré le quart de cercle a pour longueur 2πrn/4 c’est à dire ½ πrn ; Soit Ln la longueur de la spirale obtenue avec n carrés.
Ln = π/2(r1 + r2 + r3 + … + rn) = π/2(a×1 - (1/2)n
1 - 1/2 ) = πa × (1 – (1/2)n)
donc L5 = πa × (1 – (1/2)5) = 0,968πa et L10 = πa × (1 – (1/2)10) = 0,999πa 4. 0 < ½ < 1 donc : quand n → +∞, (1/2)n → 0, donc 1 - (1/2)n → +∞ d’où Ln → πa.
